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乘法公式
教学课题
乘法公式
教学目标
1.能熟练地运用乘法公式进行计算;
2.能正确的根据题目要求选择不同的乘法公式进行运算;
教学重难点
重点:
正确选择乘法公式进行运算;
难点:
综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算;
一、复习
(a+b)(a-b)=a2-b2;(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3;(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;
二、公式的变式
(1)位置变化,xyyxx2y2
(2)符号变化,xyxyx2y2x2y2
(3)指数变化,x2y2x2y2x4y4
(4)系数变化,2ab2ab4a2b2
(5)换式变化,xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
(6)增项变化,xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
(7)连用公式变化,xyxyx2y2
x2y2x2y2
x4y4
(8)逆用公式变化,xyz2xyz2
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
运用一:
基础练习
例1:
已知
,
,求
的值。
例2:
已知
,
,求
的值。
例3:
计算19992-2000×1998。
例4:
已知a+b=2,ab=1,求a2+b2和(a-b)2的值。
例5:
已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。
求x2-z2的值。
例6:
判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几?
例7:
运用公式简便计算
(1)1032
(2)1982
例8:
计算
(1)a4b3ca4b3c
(2)3xy23xy2
例9:
解下列各式
(1)已知aa1a2b2,求
的值。
(2)已知
,求
的值。
例10:
四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?
为什么?
例11:
计算
(1)x2x12
(2)3mnp2
运用二:
乘法公式的具体应用
(一)套用:
这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础。
例1:
计算:
(二)连用:
连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2:
计算:
例3:
计算:
(三)逆用:
学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题。
例4:
计算:
(四)变用:
题目变形后运用公式解题。
例5:
计算:
(五)活用:
把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力。
例6:
已知
,求
的值。
例7:
计算:
例8:
已知实数x、y、z满足
,那么
()
运用三:
学习乘法公式应注意的问题
(一)注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”。
例1:
计算(-2x2-5)(2x2-5)
例2:
计算(-a2+4b)2
(二)注意为使用公式创造条件
例3:
计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)。
例4:
计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2
例5:
计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)。
(三)注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。
可叙述为:
多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍。
例6:
计算(2x+y-3)2
(四)注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7:
(1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值;
(2)已知:
x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值。
例8:
计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2。
(五)注意乘法公式的逆运用
例9:
计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2。
例10:
计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
运用四:
正确认识和使用乘法公式
1.数形结合的数学思想认识乘法公式
假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为(a+b)(a-b),通过左右两图的对照,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;
图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。
2.乘法公式的使用技巧:
(一)提出负号:
对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。
例一:
运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x);
(2)(-2m-1)2
(二)改变顺序:
运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显。
例二:
(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)
(三)逆用公式:
将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a2-b2=(a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得anbn=(ab)n,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果。
例三:
(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2
(四)合理分组:
对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
例四:
(1)(x+y+1)(1-x-y);
(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)。
运用五:
巧用公式做整式乘法
(一)先分组,再用公式
例1:
计算:
(二)先提公因式,再用公式
例2:
计算:
(三)先分项,再用公式
例3:
计算:
(四)先整体展开,再用公式
例4:
计算:
(五)先补项,再用公式
例5:
计算:
(六)先用公式,再展开
例6:
计算:
(七)乘法公式交替用
例7:
计算:
运用六:
中考试一试(作业)
(一)结论开放
例1:
请你观察图1中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是______________。
例2:
如图2,在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(
),把余下的部分剪成一个矩形,如图3,通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是______________。
(二)条件开放
例3:
多项式
加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式可以是____________。
(三)找规律
例4:
观察下列各式
由猜想到的规律可得
____________。
(四)推导新公式
例5:
在公式
中,当a分别取1,2,3,……,n时,可得下列n个等式
将这n个等式的左右两边分别相加,可推导出求和公式:
__________(用含n的代数式表示)
例6:
阅读材料并解答问题:
我们已经知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些等式也可以用这种形式表示,例如:
就可以用图4或图5等图表示。
(1)请写出图6中所表示的代数恒等式____________;
(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示:
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