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maxima

如何下載Maxima

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這篇文章，是介紹Maxima這套數學軟體，在學習線性代數的應用。

Maxima是一個所謂的「電腦代數系統」（ComputerAlgebraSystem,CAS），這種系統比較為人熟知的還有Mathematica和Maple等等。

我們選定Maxima做為我們使用的程式，主要有三個原因：

1.免費Maxima是免費，又是各平台都有的。

所有的人可以在自己的

電腦上練習。

2.功能完整Maxima雖然不要錢，並不代表不好。

Maxima不論計算

或圖形功能都十分完整。

事實上，Maxima是最早的全功能CAS系統Macsyma的後代。

3.具代表性許多新的CAS系統，如Maple,Mathematica都多少受

到Macsyma的啟發。

所以學會Maxima，要學會Maple或Mathematica等軟體都是很容易的事。

如果同學們比較喜歡使用Mathematica，Maple，或是Matlab等商業軟體也是可以的。

我們系上的電腦室有提供這些軟體，可以上機試用看看。

看到這,你可能有個疑問,「如果Maxima這樣好,為什麼Maxima好像沒什麼名氣呢？

」很重要的原因是,自由軟體版的Maxima是到1998年才被授權的!

Macsyma原本是MIT一個實驗室發展的軟體,後來MIT決定要將這個軟體商業化。

這舉動正是讓RichardStallman決定要推動自由軟體的重要原因。

1982年,UniversityofTexas,Austin的教授WilliamSchelter決定自行開發Macsyma的自由版本,也就是這裡介紹的Maxima。

這個版本在有商業版Macsyma的情況,自然難以得到正式授權,因此只有少部份的人知道並使用Maxima。

Schelter教授就在這不知何時才能讓他的Maxima自由流傳的情況下,仍堅持他的理想,繼續Maxima的開發長達16年!

終於,1998年,Maxima才得到正式授權。

遺憾的是,Schelter教授在2001年突然過逝。

我們現在在Maxima的mailinglist,可以看到Schelter教授過逝之前,還在回答網友對Maxima的問題。

還好,Maxima已經是合法的自由軟體,所以有一批熱心的開發人員,繼續開發,推出更好的Maxima。

1.1Maxima當計算機

我們先來看，如果我們要把Maxima當計算機用，會是什麼情況？

（%i1）

1+1;

（%o1）

2

（%i2）

3*4*7;

（%o2）

84

（%i3）9/3;

（%o3）3

到目前為止，似乎還沒什麼特別。

除了可以做複雜一點點的運算，和平常的計算機或數值計算軟體也沒什麼不同。

以下的例子就不一樣了：

（%i4）7/3;

（%o4）

（%i5）1/2+2/3;

（%o5）

從運算我們看到，7/3這種運算，Maxima不是告訴我們2.3333...，而是分數的形式！

難道Maxima真的懂分數？

不要懷疑，這就是所謂電腦代數系統（CAS）的特長。

我們可以像下列的例子一樣，輸入個分數的四則運算試試即知。

如果堅持要用浮點數，那只要加個float指令即可：

（%i6）float（7/3）;

（%o6）2.333333333333333

為了完整，我們順便再介紹指數，根號，階乘表示法：

（%i7）2^10;（%o7）1024

（%i8）sqrt（9）;（%o8）3

（%i9）5!

;（%o9）120

我們可以看出，這些運算不是自然的數學符號，就是和我們平常電腦程式語言的寫法。

1.2指令結尾

在上面的例子中，我們發現，在Maxima下指令，結束時一定要打上分號「;」，讓Maxima知道我們下的指令已結束。

為什麼要多這一個動作，主要是為了有時打比較長的指令可以換行之故。

另一個結束方式是打入「＄」的符號。

不同於分號的地方是「運算結果不會顯示出來」：

（%i10）2+3$（%i11）2+3;（%o11）5

有一些CAS程式，如Matehmatica是用分號表示不顯示運算結果。

不過Maxima中分號已用上，必需用其他字元。

1.3離開Maxima

離開Maxima打入“quit（）;”即可。

當然，很多人可能會覺得奇怪，為什麼不是打入“quit”就好了呢？

原來像這種程序導向的語言，什麼動作其實都是執行一個函數。

所以我們事實上是執行一個叫「離開」的函數。

這函數沒有引數，所以就成了quit（）的形式。

1.4結果的引用

我們時常會需要引用前面的結果，這時就用百分比符號“%”。

比方說：

（%i12）7/3;

（%o12）

（%i13）float（%）;（%o13）2.333333333333333

1.5重要常數

Maxima當然有內建e或是π常常用到的數，只是表示法奇怪一點。

e是%e而π是%pi。

例如：

（%i8）cos（%pi）;

（%o8）-1

（%i9）log（%e）;

（%o9）1

1.6指派，我在數學中常常會用的x=1或者y=1…等等，在這邊我們如何使用。

例如：

（%i1）x:

1;

（%o1）1

2.1介紹命令列

1.Operator:

'這個運算我們稱為quote

功能：

這個運算quote主要是暫停符號的運算，而在視窗上以符號

顯示。

2.Operator:

''這個運算我們稱為quote-quote

功能：

這個運算quote主要是把符號的運算。

例如：

（%i1）aa:

1024;

（%o1）1024

（%i2）aa^2;

（%o2）1048576

（%i3）'aa^2;

2

（%o3）aa

（%i4）''%;

（%o4）1048576

（%是指上一個的結果，所以我們可以看出上一個是aa經過，

quote-quote之後，就把符號求值出來）。

3.ev（expr,arg_1,...,arg_n）：

只要是利用所給的arg求解expr

例如：

（%i1）sin（x）+cos（y）+（w+1）^2+'diff（sin（w）,w）;

（diff為數學微分指令，下章會說明）

（%o1）cos（y）+sin（x）+

（sin（w））+

4.解聯立方程式，使用solve指令。

（%i2）2*x-3*y=3;

（%o2）2x-3y=3

（%i3）-3*x+2*y=-4;

（%o3）2y-3x=-4

（%i4）solve（[%o2,%o3]）;

Solution

（%t4）y=-

（%t5）x=

3.1Arithmeticoperators

Arithmeticoperators算術算符

（1）Operator+

（2）Operator:

-

（3）Operator:

*

（4）Operator:

/

（5）Operator:

^

（6）Operator:

**

（1）Operator:

+

（%i10）c+g+d+a+b+e+f;

（%o10）g+f+e+d+c+b+a

（2）Operator:

-

（%i11）c-g-d-a-b-e-f;

（%o11）-g-f-e-d+c-b-a

（3）Operator:

*

（%i12）c*g*d*a*b*e*f;

（%o12）bcdefg

（4）Operator:

/

（%i1）a/b;

（%o1）

（5）Operator:

^

（%i2）a^b;

（%o2）

（6）Operator:

**

 在maxima中**運符，等於^運符。

（%i1）x**y+x^z;

（%o1）

3.2關係運符

（1）Operator:

<小於

（2）Operator:

<=小於等於

（3）Operator:

>=大於等於

（4）Operator:

>大於

例如：

（%i2）[x,y,z]:

[123,456,789];

首先讓x=123,y=456,z=789

（%o2）[123,456,789]

（%i3）is（x

利用is指令請問x是否小於y

（%o3）true代表x

（%i4）is（x>y）;

（%o4）false代表x>y是為假的

3.3IntroductiontoExpressions

（%i4）x:

3;

（%o4）3將x令作為3

（%i5）（x:

x+1,x:

x^2）;x先加1在平方

（%o5）16

3.4Strings（字串）

（%i6）s_1:

"Thisisastring.";

（%o6）Thisisastring.

4.1FunctionsandVariablesforPlotting

Function:

contour_plot（expr,x_range,y_range,options,...）

主要功用是繪圖輪廓線,expr：

為你所要畫圖的式子，x_range：

x範圍，y_range：

y範圍。

（%i2）contour_plot（x^2+y^2,[x,-4,4],[y,-4,4]）;

（%o2）

（%i4）contour_plot（sin（y）*cos（x）^2,[x,-4,4],[y,-4,4]）;

（%i5）F（x,y）:

=x^3+y^2;

（%o5）F（x,y）:

=

令函數f（x,y）為

（%i6）contour_plot（F,[u,-4,4],[v,-4,4]）;

Function:

plot2d（expr,x_range,...,options,...）

主要是畫圖2d。

（%i7）plot2d（sin（x）,[x,-5,5]）;

5.1函數定義

Maxima可以定義數學函數，函數運算子以:

=來將變數與所定義函數連接起來，例如f（x）:

=5*x+3

這個定義為單變數函數，名稱為f，引數為x，而函數的定義為f（x）=5x+3

1.f（x）:

=5*x+5定義單變數函數f（x）=5x+5

2.f（x,y）:

=5*x*y+5定義多變數函數f（x,y）=5xy+5

（%i3）f（x）:

=5*x+5;

（%o3）f（x）:

=5x+5

（%i4）f（3）;當x=3會等於20

（%o4）20

我們可以用x代換為sin（x）

（%i5）f（sin（x））;

（%o5）5sin（x）+5

而且函數的引數不一定是一個數、一個函數，也可以是一個運算式

我們可以用x代換為a+b

（%i6）f（a+b）;

（%o6）5（b+a）+5

（%i7）g（x,y）:

=sin（x）+cos（y）;

（%o7）g（x,y）:

=sin（x）+cos（y）

（%i08）plot3d（g（x,y）,[x,-%pi,%pi],[y,-%pi,%pi]）;

（%o09）

5.2函數的基本運算

1.f（x）+g（x）

2.f（x）-g（x）

3.f（x）*g（x）

4.f（x）/g（x）

以上是函數的四則運算

（%i1）f（x）:

=2*x+1;

（%o1）f（x）:

=2x+1

（%i2）g（x）:

=5*x+1;

（%o2）g（x）:

=5x+1

（%i3）f（x）+g（x）;

（%o3）7x+2

（%i4）f（x）-g（x）;

（%o4）-3x

（%i5）f（x）*g（x）;

（%o5）（2x+1）（5x+1）

（%i6）f（x）/g（x）;

（%o6）

5.3函數合成運算式子

1.f（g（x））以f合成g，產生合成函數f（g（x））

（%i1）f（x）:

=sin（x）;

（%o1）f（x）:

=sin（x）

（%i2）g（x）:

=x-（%pi/2）;

（%o2）g（x）:

=

（%i3）f（g（%pi））;

（%o3）1

5.4基本的代數運算指令

代數表示式（algebraicexpression）係指包含有未知數的數學式，如

，（

），等是屬於代數。

許多代數的基本運算大家應該有所了解，例如多項式的因式分解與展開

Maxima提供了expand與factor兩個指令來處理代數式的因數分解與展開運算。

1.expand（exp）將exp展開

2.factor（exp）將exp做因式分解

（%i2）expand（（a+b）^2）;

（%o2）

（%i3）expand（（x^2+x-2）/（x^3+x-1））;

（%o3）

（%i4）expand（（a+b）^2）;

（%o4）

（%i5）factor（%）;

（%o5）

（%i6）factor（（x^2-2*x-15）/（（x+3）*（x-7）））;

Factor會同時分解分子與分母，並會消去共同的因子

（%o6）

5.5代數式簡化

Maxima提供了簡化代數式的指令，ratsimp、trigsimp。

1.ratsimp指令是簡化有理數。

（%i1）ratsimp（（x^2-1）/（x+1））;

（%o1）x–1

2.trigsimp簡化三角方程式。

（%i2）trigsimp（2*cos（x）^2+sin（x）^2）;

（%o2）

5.6分式整理的常用函數

combine（）和rncombine（）

這兩個都是做分式整理的常用函數，其中rncombine（）在使用前必須先載入rncomb 模組，載入模組語法為load（模組名）:

（%i1）a1:

x/a+y/a+z/（2*a）;

（%o1）

（%i2）combine（a1）;

（%o2）

（%i3）load（rncomb）$

（%i4）rncombine（a1）;

（%i5）

denom（expr）和num（expr）

這兩個函數分別可以取得分式的「分母」、「分子」。

（%i5）a2:

（2*x+5）/z;

（%o5）

（%i6）denom（a2）;

（%o6）z

（%i7）num（a2）;

（%o7）2x+5

5.6數學式子求值

給予一個表式式子y=f（x），如果想要求x=x0,f（x0）的值，當然你可以先把x0設給x，再納入f（x），便可以求值。

將x設為3;

（%i1）x:

3;

（%o1）3

（%i2）sqrt（x）+2*x^3;

（%o2）sqrt（3）+54