三角函数的图像.docx
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三角函数的图像
三角函数的图象
、知识回顾
(一)熟悉•三角函数图象的特征:
1•几何法(利用三角函数线)
2.描点法:
五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线)3.利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等,重点掌握函数y=Asin(①x+0+B
的作法.
函数y=Asin(3x+^)的物理意义:
振幅|A|,周期tJ,频率f1」,相位x;初相(即当x=0时的相位).(当A>0,3
IIT2
>0时以上公式可去绝对值符号),
(1)振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换•(用y/A替换y)由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当Ov|A|V1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象.
(2)周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用3x替换x)由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|3|V1)或缩短(I3|>1)到原来的|]|倍,得到y=sin3x的图象.
(3)相位变换或叫做左右平移.(用x+©替换x)由y=sinx的图象上所有的点向左(当©>0)或向右(当©V0)平行移动丨©丨个单位,得到y=sin(x+妨的图象.
(4)上下平移(用y+(-b)替换y)由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当bV0)平行移动Ib|个单位,得到y=sinx+b的图象.
注意:
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(3x+©)+B(A>0,3>0)(x€R)的图象,要特别注意:
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。
5、已知函数f(x)4sin2x4cosx1a,当x[,一]时f(x)=0恒有解,则a的范围是
43
6方程lg|x|sin(x亍)有个实数根
三、例题分析
例1、已知函数y2sin(2x-)。
3
(1)求它的振幅、周期和初相;
(2)用五点法作出它的图象;⑶说明y2sin(2x-)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到
例2、把函数y.3cosxsinx的图象向左平移m(m0)个单位,所得的图象关于y轴对称,求m
的最小值
例3、如图为yAsin(x)
(AO,0,11-)的图象的一段’求其解析式
例4、受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时驶进航
道,靠近船坞;缺货后落潮时返回海洋。
某港口水的深度y(米)是时间t(0t24,单位:
时)
的函数,记作yf(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
经长期观察,yf(t)曲线可以近似地看做函数yAsintk的图象
(1)根据以上数据,求出函数yf(t)的近似表达式;
例5.(00)
已知函数
⑵一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为米。
如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
(I)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(II)该函数的图象可由y=sinx(x€R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到
四、作业同步练习三角函数的图象
1、若函数f(x)3sin(x
)对任意实数x,都有f(—x)f(—x),则f(—)等于
444
A、0
B、3
C-3D、3或一3
2、把函数y
3cos(2x)的图象向右平移m(m
0)个单位,设所得图象的解析式为
yf(x),
则当yf(x)是偶函数时,m的值可以是
A、
B、-
6
C、
D、
12
3、函数y
sin(x)(x
R,
0,0
A.,
-B.
2
4
3
6
5
C.,
-D.
4
4
4
4
4、函数yAsin(x
)(0,2,x
R)的部分图象
示,则函数表达式为)
(A)y4sin(x)
84
(B)y4sin(—x
8
4)
(C)y
4sin(—x—)
84
(D)y
4sin(一x
8
如图所
5、函数y3sin(2x—)与y轴距离最近的对称轴是.
6、将函数yf(x)sinx(xR)的图象向右平移一个单位后,再作关于x轴的对称变换,得到函数
4
y12sin2x的图象,贝Uf(x)可以是。
3
7、给出下列命题:
①存在实数,使sincos1;②存在实数,使sincos-:
③
2
ysin(52x)是偶函数;④x是函数ysin(2x—)的一条对称轴方程;⑤若、是第一象
284
限角,且,则tantan。
其中正确命题的序号是。
(注:
把你认为正确命题
的序号都填上)
8、函数f(x)sinx2|sinx|,x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是。
9、设函数f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a,b]上的面积,已
22
知函数y=sinnx在[0,—]上的面积为—(n€N*),(i)y=sin3x在[0,——]上的面积为;(ii)y=
nn3
4sin(3x—n)+1在[—,]上的面积为.
33
10、已知函数f(x)2sinx(sinxcosx)。
(1)求它的振幅、周期和初相;
(2)用五点法作出它的图象;
(3)说明f(x)2sinx(sinxcosx)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到
11、若函数yf(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后将所得图象
12、函数yAsin(x)(A0,
2
1I)在x(0,1T)内只取到一个最大值和一个最小值,
且当
x石时,函数的最大值为3,当x
7
12
时,函数的最小值为一3,试求此函数的解析式
13、设函数f(x)sin(x)(0,||),给出以下四个论断:
2
①它的图象关于直线x对称;②它的图象关于点(―,0)对称;
123
③它的周期是;④它在区间[—,0]上是增函数。
6
以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的两个命题,并对其中一个命题加以证明。
参考答案:
基本练习:
1、B2、C3、B4、D5、[-4,5]6、6
例题分析:
例1
(1)振幅2,周期,初相一;
(2)略;(3)把ysinx的图象上所有的点左移—个33
1
单位,得到ysin(x)的图象,再把ysin(x)的图象上的点的横坐标缩短到原来的-(纵
332
坐标不变),得到ysin(2x)的图象,最后把ysin(2x)图象上点的纵坐标伸长到原来的2
33
倍(横坐标不变),即可得到y2sin(2x-)的图象例2、—例3、y、、3sin(2x-)
363
例4
(1)y3sin—t10(0t24);⑵该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港口至6
多停留16小时
作业:
1—4、DBCA
2
5、直线x—6、f(x)2cosx7、③④8、1k39、-
63
10、振幅2,周期,初相―;
(2)略;(3)把ysinx的图象上所有的点右移个单位,得到
34
1
ysin(x)的图象,再把ysin(x)的图象上的点的横坐标缩短到原来的一(纵坐标不变),得到
442
ysin(2x—)的图象,然后最把ysin(2x—)图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),
得到y,2sin(2x—)的图象,最后把yV2sin(2x—)的图象向上平移1个单位,即可得到
44
y・2sin(2x)1的图象,即f(x)2sinx(sinxcosx)的图象
4
1
11、y—sin2x112、y3sin(2x)
23
13、①③②④;②③①④
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