高三数学第一轮复习教案第三章数列5课时1.docx
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高三数学第一轮复习教案第三章数列5课时1
第三章数列
第1课时数列的有关概念
一.课题:
数列的有关概念
二.教学目标:
理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项,理解与的关系,培养观察能力和化归能力.
三.教学重点:
数列通项公式的意义及求法,与的关系及应用.
四.教学过程:
(一)主要知识:
1.数列的有关概念;
2.数列的表示方法:
(1)列举法;
(2)图象法;(3)解析法;(4)递推法.
3.与的关系:
.
(二)主要方法:
1.给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归;
2.数列前项的和和通项是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式时,一定要注意条件,求通项时一定要验证是否适合.
(三)例题分析:
例1.求下面各数列的一个通项:
;
数列的前项的和;
数列的前项和为不等于的常数).
解:
(1).
(2)当时,当时,显然不适合
∴.
(3)由可得当时,,
∴,∴∵∴,∵,
∴是公比为的等比数列.
又当时,,∴,∴.
说明:
本例关键是利用与的关系进行转化.
例2.根据下面各个数列的首项和递推关系,求其通项公式:
(1);
(2);
(3).
解:
(1),∴,
∴
(2),∴=.
又解:
由题意,对一切自然数成立,
∴,∴.
(3)是首项为
公比为的等比数列,.
说明:
(1)本例复习求通项公式的几种方法:
迭加法、迭乘法、构造法;
(2)若数列满足,则数列是公比为的等比数列.
例3.设是正数组成的数列,其前项和为,并且对所有自然数,与的等差中项等于与的等比中项,
写出数列的前三项;求数列的通项公式(写出推证过程);
令,求.
解:
(1)由题意:
,令,,解得
令,,解得
令,,解得
∴该数列的前三项为
(2)∵,∴,由此,
∴,整理得:
由题意:
,∴,即,
∴数列为等差数列,其中公差,∴
(3)
∴.
例4.(《高考计划》考点19“智能训练第17题”)
设函数,数列满足
(1)求数列的通项公式;
(2)判定数列的单调性.
解答参看《高考计划》教师用书.
(四)巩固练习:
1.已知,则.
2.在数列中,且,则.
五.课后作业:
《高考计划》考点1,智能训练12.13.14.15.16.
第2课时等差数列与等比数列的基本运算
一.课题:
等差数列与等比数列的基本运算
二.教学目标:
掌握等差数列和等比数列的定义,通项公式和前项和的公式,并能利用这些知识解决有关问题,培养学生的化归能力.
三.教学重点:
对等差数列和等比数列的判断,通项公式和前项和的公式的应用.
四.教学过程:
(一)主要知识:
1.等差数列的概念及其通项公式,等差数列前项和公式;
2.等比数列的概念及其通项公式,等比数列前项和公式;
3.等差中项和等比中项的概念.
(二)主要方法:
1.涉及等差(比)数列的基本概念的问题,常用基本量来处理;
2.使用等比数列前项和公式时,必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1,如果不能确定则需要讨论;
3.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为;若偶数个成等差数列且和为定值时,可设中间两项为,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.若干个数个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似.
4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求.
(三)例题分析:
例1.
(1)设数列是递增等差数列,前三项的和为,前三项的积为,则它的首项为2.
(2)已知等差数列的公差,且成等比数列,则.
例2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个书的和是,求这四个数.
解:
设这四个数为:
,则
解得:
或,所以所求的四个数为:
;或.
例3.由正数组成的等比数列,若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列的通项公式.
解:
当时,得不成立,∴,
∴
由①得,代入②得,
∴.
说明:
用等比数列前项和公式时,一定要注意讨论公比是否为1.
例4.已知等差数列,
(1)在区间上,该数列有多少项?
并求它们的和;
(2)在区间上,该数列有多少项能被整除?
并求它们的和.
解:
,
(1)由,得,又,
∴该数列在上有项,其和.
(2)∵,∴要使能被整除,只要能被整除,即,
∴,∴,∴,∴在区间上该数列中能被整除的项共有项即第项,其和.
五.课后作业:
《高考计划》考点20,智能训练5,6,12,13,14,15.
第3课时等差数列、等比数列的性质及应用
一.课题:
等差数列、等比数列的性质及应用
二.教学目标:
熟练掌握等差(比)数列的基本公式和一些重要性质,并能灵活运用性质解决有关的问题,培养对知识的转化和应用能力.
三.教学重点:
等差(比)数列的性质的应用.
四.教学过程:
(一)主要知识:
有关等差、等比数列的结论
1.等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列.
2.等差数列中,若,则
3.等比数列中,若,则
4.等比数列{an}的任意连续项的和构成的数列仍为等比数列.
5.两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列.
6.两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列.
(二)主要方法:
1.解决等差数列和等比数列的问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:
即运用条件转化为关于和的方程;②巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
2.深刻领会两类数列的性质,弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键.
(三)例题分析:
例1.
(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后三项的和为146,且所有项的和为,则这个数列有13项;
(2)已知数列是等比数列,且,,,则9.
(3)等差数列前项和是,前项和是,则它的前项和是210.
例2.若数列成等差数列,且,求.
解:
(法一)基本量法(略);
(法二)设,则
得:
,,∴,
∴.
例3.等差数列中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为,偶数项之和为,,求其项数和中间项.
解:
设数列的项数为项,
则,
∴,∴,∴数列的项数为,中间项为第项,且.
说明:
(1)在项数为项的等差数列中,;
(2)在项数为项的等差数列中.
例4.数列是首项为,公比为的等比数列,数列满足
,
(1)求数列的前项和的最大值;
(2)求数列的前项和.
解:
(1)由题意:
,∴,∴数列是首项为3,公差为的等差数列,
∴,∴
由,得,∴数列的前项和的最大值为
(2)由
(1)当时,,当时,,
∴当时,
当时,
∴.
例5*.若和分别表示数列和的前项和,对任意自然数,有,,
(1)求数列的通项公式;
(2)设集合,
.若等差数列任一项是中的最大数,且,求的通项公式.
解:
(1)当时:
,
两式相减得:
,∴,又也适合上式,
∴数列的通项公式为.
(2)对任意,,∴,∴
∵是中的最大数,∴,设等差数列的公差为,则,
∴,即,又是一个以为公差的等差数列,
∴,∴,∴.
(四)巩固练习:
1.若数列(*)是等差数列,则有数列(*)也为等差数列,类比上述性质,相应地:
若数列是等比数列,且(*),则有(*)也是等比数列.
2.设和分别为两个等差数列的前项和,若对任意,都有,则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是.
说明:
.
五.课后作业:
《高考计划》考点21,智能训练4,8,12,14,15,16.
第4课时数列求和
一.课题:
数列求和
二.教学目标:
1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;
2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算;
3.熟记一些常用的数列的和的公式.
三.教学重点:
特殊数列求和的方法.
四.教学过程:
(一)主要知识:
1.等差数列与等比数列的求和公式的应用;
2.倒序相加、错位相减,分组求和、拆项求和等求和方法;
(二)主要方法:
1.求数列的和注意方法的选取:
关键是看数列的通项公式;
2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;
3.转化思想的运用;
(三)例题分析:
例1.求下列数列的前项和:
(1)5,55,555,5555,…,,…;
(2);
(3);(4);
(5);(6).
解:
(1)
.
(2)∵,
∴.
(3)∵
∴
.
(4),
当时,…,
当时,…,
…,
两式相减得…,
∴.
(5)∵,
∴原式…….
(6)设,
又∵,
∴,.
例2.已知数列的通项,求其前项和.
解:
奇数项组成以为首项,公差为12的等差数列,
偶数项组成以为首项,公比为4的等比数列;
当为奇数时,奇数项有项,偶数项有项,
∴,
当为偶数时,奇数项和偶数项分别有项,
∴,
所以,.
例3.(《高考A计划》智能训练14题)数列的前项和,数列满足,若是等比数列,
(1)求的值及通项;
(2)求和….
(解答见教师用书127页)
(四)巩固练习:
设数列的前项和为,则等于()
五.课后作业:
《高考计划》考点22,智能训练2,4,5,12,15,16.
第5课时数列的实际应用
一.课题:
数列的实际应用
二.教学目标:
1.理解“复利”的概念,能解决分期付款的有关计算方法;
2.能够把实际问题转化成数列问题.
三.教学重点:
建立数列模型解决数列实际应用问题.
四.教学过程:
(一)主要知识:
1.解应用问题的核心是建立数学模型;
2.一般步骤:
审题、抓住数量关系、建立数学模型;
3.注意问题是求什么().
(二)主要方法:
1.解答数列应用题要注意步骤的规范性:
设数列,判断数列,解题完毕要作答;
2.在归纳或求通项公式时,一定要将项数计算准确;
3.在数列类型不易分辨时,要注意归纳递推关系;
4.在近似计算时,要注意应用对数方法和二项式定理,且要看清题中对近似程度的要求.
(三)例题分析:
例1.某地区森林原有木材存量为,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为,设为年后该地区森林木材的存量,
(1)求的表达式;
(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量不少于,如果,那么该地区今后会发生水土流失吗?
若会,需要经过几年?
(参考数据:
)
解:
(1)设第一年的森林的木材存量为,第年后的森林的木材存量为,则
,
,
,
………
.
(2)当时,有得即,
所以,.
答:
经过8年后该地区就开始水土流失.
例2.轻纺城的一家私营企业主,一月初向银行贷款一万元作开店资金,每月月底获得的利润是该月月初投入资金的,每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额(包括利润)的,每月的生活费开支300元,余款作为资金全部投入再经营,如此继续,问该年年底,该私营企业主有现款多少元?
如果银行贷款的年利率为,问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元?
解:
第一个月月底余元,
设第个月月底余,第个月月底余,
则,
从而有,
设,∴是等比数列,
∴,,
还贷后纯收入为元.
例3.银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次,结算后即将利息并入本金,这种计算利息的方法叫做复利.现在有某企业进行技术改造,有两种方案:
甲方案:
一次性贷款10万元,第一年便可获得利润1万元,以后每年比上年增加30%的利润;
乙方案:
每年贷款1万元,第一年可获得利润1万元,以后每年比前一年多获利5000元.
两种方案的期限都是10年,到期一次行归还本息.若银
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