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非线性时间序列
近代时间序列分析选讲:
一.非线性时间序列
二.GARCH模型
三.多元时间序列
四.协整模型
非线性时间序列
第一章.非线性时间序列浅释
1.从线性到非线性自回归模型
2.线性时间序列定义的多样性
第二章.非线性时间序列模型
1.概述
2.非线性自回归模型
3.带条件异方差的自回归模型
4.两种可逆性
5.时间序列与伪随机数
第三章.马尔可夫链与AR模型
1.马尔可夫链
2.AR模型所确定的马尔可夫链
3.假设干例子
第四章.统计建模方法
1.概论
2.线性性检验
3.AR模型参数估计
4.AR模型阶数估计
第五章.实例和展望
1.实例
2.展望
第一章.非线性时间序列浅释
1.从线性到非线性自回归模型
时间序列{*t}是一串随机变量序列,
它有广泛的实际背景,特别是在经济与金融领域中尤其显著.关于它们的从线性与非线性概念,可从以下的例子入手作一浅释的说明.
考察一阶线性自回归模型---LAR
(1):
*t=α*t-1+et,t=1,2,…(1.1)
其中{et}为i.i.d.序列,且Eet=0,Eet=σ2<∞,而且et与{*t-1,*t-1,…}独立.反复使用(1.1)式的递推关系,就可得到
*t=α*t-1+et
=et+α*t-1
=et+α{et-1+α*t-2}
=et+αet-1+α2*t-2
=…
=et+αet-1+α2et-2
+…+αn-1et-n+1+αn*t-n.(1.2)
如果当n→∞时,
αn*t-n→0,(1.3)
{et+αet-1+α2et-2+…+αn-1et-n+1}
→∑j=0∞αjet-j.(1.4)
虽然保证以上的收敛是有条件的,而且要涉及到具体收敛的含义,但是,对以上的简单模型,不难相信,当|α|<1时,(1.3)(1.4)式成立.于是,当|α|<1时,模型LAR
(1)有平稳解,且可表达为
*t=∑j=0∞αjet-j.(1.5)
通过上面表达可见求LAR
(1)模型的解有简便之优点,此其一.还有第二点,容易推广到LAR(p)模型.为此考察如下的p阶线性自回归模型LAR(p):
*t=α1*t-1+α2*t-2+...+αp*t-p+et,
t=1,2,…(1.6)
其中{et}为i.i.d.序列,且Eet=0,Eet=σ2<∞,而且et与{*t-1,*t-1,…}独立.虽然反复使用(1.6)式的递推式,仍然可得到(1.2)式的类似结果,但是,用扩后的一阶多元AR模型求解时,可显示出与LAR
(1)模型求解的神奇的相似.为此记
*t=
U=
A=
(1.7)
于是(1.6)式可写成如下的等价形式:
*t=A*t-1+etU.(1.8)
反复使用此式的递推关系,形式上仿照(1.2)式可得
*t=A*t-1+etU
=etU+et-1AU+A2*t-2
=⋯
=etU+et-1AU+et-2A2U+…
+et-n+1An-1U+An*t-n.
如果矩阵A的谱半径(A的特征值的最大模)λ(A),满足如下条件
λ(A)<1,(1.10)
由上式可猜测到(1.8)式有如下的解:
*t=∑k=0∞AkUet-k.(1.11)
其中向量*t的第一分量*t形成的序列{*t},就是模型(1.6)式的解.由此不难看出,它有以下表达方式
*t=∑k=0∞ϕket-k.(1.11)
其中系数ϕk由(1.6)式中的α1,α2,...,αp确定,细节从略.不过,(1.11)式给了我们重要启发,即考虑形如
*t=∑k=0∞ψket-k,∑k=0∞ψk2<∞,(1.12)
的时间序列类(其中系数ψk能保证(1.12)式中的*t有定义).在文献中,这样的序列{*t}就被称为线性时间序列.
虽然以上给出了线性时间序列的定义,以下暂时不讨论什么是非线性时间序列,代之先讨论一阶非线性自回归模型---NLAR
(1),以便与LAR
(1)模型进展比拟分析.首先写出NLAR
(1)模型如下
*t=ϕ(*t-1)+et,t=1,2,…(1.13)
其中{et}为i.i.d.序列,且Eet=0,Eet=σ2<∞,而且et与{*t-1,*t-2,…}独立,这些假定与LAR
(1)模型一样,但是,ϕ(*t-1)不再是*t-1的线性函数,代之为非线性函数,比方
ϕ(*t-1)=*t-1/{a+b*t-12}.
此时虽然仍可反复使用(1.13)式进展迭代,但是所得结果是
*t=ϕ(*t-1)+et
=et+ϕ(*t-1)
=et+ϕ(et-1+ϕ(*t-2))
=et+ϕ(et-1+ϕ(et-2+ϕ(*t-3)))
=…
=et+ϕ(et-1+ϕ(et-2+…+ϕ(*t-n))…).
(1.14)
根据此式,我们既不能轻易判断ϕ(*t-1)函数满足怎样的条件时,上式会有极限,也不能猜测其极限有怎样的形式.
对于p阶非线性自回归模型
*t=ϕ(*t-1,*t-2,…,*t-p)+et,
t=1,2,…(1.15)
仿照(1.6)至(1.9)式的扩的方法,我们引入如下记号
Φ(*t-1,*t-2,…,*t-p)≡
(1.16)
我们得到与(1.15)式等价的模型
*t=Φ(*t-1)+etU,t=1,2,…(1.17)
但是,我们再也得不出(1.9)至(1.14)式的结果,
至此我们已将看出,从线性到非线性自回归模型有实质性差异,要说清楚它们,并不是很简单的事情.从数学角度而言,讨论线性自回归模型可借用泛函分析方法,然而,讨论非线性自回归模型,则要借用马尔可夫链的理论和方法.这也正是本讲座要介绍的主要容.
2.线性时间序列定义的多样性
现在简单表达一下非线性时间序列定义的复杂性,它与线性时间序列的定义有关.前一小节中(1.12)式所显示的线性时间序列,只是一种定义方式.如果改变对系数ψk的限制条件,就会给出不同的定义.更为重要的是,在近代研究中,将(1.12)式中的i.i.d.序列{et}放宽为平稳鞅差序列,这在预报理论中很有意义.
无论引用哪一种线性时间序列定义,都对相应的序列的性质有所研究,因为其研究成果可用于有关的线性时间序列模型解的特性研究.事实上,已经有丰富的成果被载入文献史册.
依上所述可知,由于线性时间序列定义的多样性,必然带来非线性时间序列定义的复杂性.这里需要强调指的是,对于非线性时间序列,几乎没有文章研究它们的一般性质,这与线性时间序列情况不同.于是人们要问,我们用哪些工具来研究非线性时间序列模型解的特性呢"这正是本次演讲要答复的问题.确切地说,我们将介绍马尔可夫链,并借助于此来讨论非线性自回归模型解的问题.
第二章.非线性时间序列模型
1.概论
从(1.12)式可见,一个线性时间序列{*t},被{et}的分布和全部系数ψi所决定.在此有无穷多个自由参数,这对统计不方便,因此人们更关心只依赖有限个自由参数的线性时间序列,这就是线性时间序列的参数模型.其中最常用的如ARMA模型.对于非线性时间序列而言,使用参数模型方法几乎是唯一的选择.由于非线性函数的多样性,带来了非线性时间序列模型的多样性.但是,迄今为止被研究得较多,又有应用价值的非线性时序模型,为数极少,而且主要是针对非线性自回归模型.在介绍此类模型之前,我们先对非线性时序模型的分类作一概述.
通用假定:
{εt}为i.i.d.序列,且Eεt=0,而且εt与{*t-1,*t-2,…}独立.
可加噪声模型:
*t=ϕ(*t-1,*t-2,…)+εt,
t=1,2,…(2.1)
其中ϕ(…)是自回归函数.当它仅依赖于有限个未知参数时,记此参数向量为α,其相应的(2.1)模型常写成
*t=ϕ(*t-1,*t-2,…;α)+εt,
t=1,2,…(2.2)
否则,称(2.1)式称为非参数模型.
关于(2.1)(2.2)的模型的平稳性,要在下一章讨论,但是,它有类似于线性AR模型的几个简单性质,是重要的而且容易获得的,它们是:
E(*t|*t-1,*t-2,…)
=E{ϕ(*t-1,*t-2,…)+εt|*t-1,*t-2,…}
=ϕ(*t-1,*t-2,…)+E(εt|*t-1,*t-2,…)
=ϕ(*t-1,*t-2,…)(2.3)
var{*t|*t-1,*t-2,…}
≡E{[*t-ϕ(*t-1,…)]2|*t-1,*t-2,…}
=E{εt2|*t-1,*t-2,…}
=Eεt2
=σ2.(2.4)
P{*t<*|*t-1,*t-2,…}
=P{ϕ(*t-1,…)+εt<*|*t-1,*t-2,…}
=P{εt<*-ϕ(*t-1,…)|*t-1,*t-2,…}
=Fε(*-ϕ(*t-1,…)).(2.5)
其中Fε是εt的分布函数.
带条件异方差的模型:
*t=ϕ(*t-1,*t-2,…)
+S(*t-1,*t-2,…)εt,
t=1,2,…(2.6)
其中ϕ(…)和S(…)也有限参数与非参数型之分,这都是不言自明的.另外,(2.6)式显然不属于可加噪声模型.但是,它比下面的更一般的非可加噪声模型要简单得多.这可通过推广(2.3)(2.4)(2.5)式看出,即有,
E(*t|*t-1,*t-2,…)
=E{ϕ(*t-1,*t-2,…)
+S(*t-1,*t-2,…)εt|*t-1,*t-2,…}
=ϕ(*t-1,*t-2,…)
+S(*t-1,*t-2,…)E{εt|*t-1,*t-2,…}
=ϕ(*t-1,*t-2,…).(2.3)’
var{*t|*t-1,*t-2,…}
≡E{[*t-ϕ(*t-1,…)]2|*t-1,*t-2,…}
=E{S2(*t-1,*t-2,…)εt2|*t-1,*t-2,…}
=S2(*t-1,*t-2,…)E{εt2|*t-1,*t-2,…}
=S2(*t-1,*t-2,…)σ2.(2.4)’
P{*t<*|*t-1,*t-2,…}
=P{ϕ(*t-1,…)
+S(*t-1,…)εt<*|*t-1,*t-2,…}
=P{εt<[*-ϕ(*t-1,…)]/S(*t-1,…)}
=Fε([*-ϕ(*t-1,…)]/S(*t-1,…)).(2.5)’
一般非线性时序模型:
*t=ψ(*t-1,*t-2,…;εt,εt-1,…)
t=1,2,…(2.7)
其中ψ(…)也有参数与非参数型之区别,这也是不言自明的.显然,(2.7)式既不是可加噪声模型,也不属于(2.6)式的带条件异方差的模型.虽然,它可能具有条件异方差性质.相反,后两者都是(2.7)式的特殊类型.虽说(2.7)式是更广的模型形式,在文献中却很少被研究.只有双线性模型作为它的一种特殊情况,在文献中有些应用和研究结果出现.现写出其模型于后,可供理解其双线性模型的含义
*t=∑j=1pαj*t-j+∑j=1qβjεt-j
+∑i=1P∑j=1Qθijεt-i*t-j.
2.非线性自回归模型
在前一小节中的(2.1)和(2.2)式就是非线性自回归模型,而且属于可加噪声模型类.在这一小节里,我们将介绍几种(2.2)式的常见的模型.
函数后的线性自回归模型:
f(*t)=α1f(*t-1)+α2f(*t-2)+...+αpf(*t-p)+εt,
t=1,2,…(2.8)
其中f(.)是一元函数,它有和未知的不同情况,不过总考虑单调增函数的情况,α=(α1,α2,…,αp)τ是未知参数.在实际应用中,{*t}是可获得量测的序列.
当f(.)是函数时,{f(*t)}也是可获得量测的序列,于是只需考虑yt=f(*t)所满足的线性AR模型
yt=α1yt-1+α2yt-2+...+αpyt-p+εt,
t=1,2,…(2.9)
此时可不涉及非线性自回归模型概念.在宏观计量经济分析中,常常对原始数据先取对数后,再作线性自回归模型统计分析,就属于此种情况.这种先取对数的方法,不仅简单,而且有经济背景的合理解释,它反响了经济增长幅度的量化规律.虽然在统计学中还有更多的变换可使用,比方Bo*-Co*变换,但是,由于缺少经济背景的合理解释,很少被使用.由此看来,当f(.)有实际背景依据时,可以考虑使用(2.7)式的模型.
当f(.)是未知函数时,{f(*t)}不是可量测的序列,于是只能考虑(2.8)模型.注意f(.)是单调函数,可记它的逆变换函数为f-1(.),于是由(2.8)模型可得
*t=f-1(α1f(*t-1)+α2f(*t-2)+...
+αpf(*t-p)+εt),
t=1,2,…(2.9)’
此式属于(2.7)式的特殊情况,此类模型很少被使用.取而代之是考虑如下的模型
*t=α1f(*t-1)+α2f(*t-2)+...+αpf(*t-p)+εt,
t=1,2,…(2.10)
其中f(.)是一元函数,也有和未知之分,可不限于单调增函数.此式属于(2.1)式的特殊情况,有一定的使用价值.
当(2.10)式中的f(.)函数是时,此式还有更进一步的推广模型,
*t=α1f1(*t-1,…,*t-s)+α2f2(*t-1,…,*t-s)
+...+αpfp(*t-1,…,*t-s)+εt,
t=1,2,…(2.11)
其中fk(…)(k=1,2,…,p)是的s元函数.
例如,以后将要屡次提到的如下的模型:
*t=α1I(*t-1<0)*t-1+α2I(*t-1≥0)*t-1+εt,
t=1,2,…(2.12)
其中I(.)是示性函数.此模型是分段线性的,是著名的TAR模型的特殊情况.为了有助于理解它,我们写出它的分段形式:
*t=
t=1,2,…
请注意,(2.8)(2.10)和(2.11)式具有一个共同的特征,就是未知参数都以线性形式出现在模型中.这一特点在统计建模时带来极大的方便.此类模型便于实际应用.但是,对于{*t}而言不具有线性特性,所以,讨论它们的平稳解的问题,讨论它们的建模理论依据问题,都需要借助于马尔可夫链的工具.
非线性自回归函数的模型:
*t=ϕ(*t-1,*t-2,…,*t-p;α)+εt,
t=1,2,…(2.13)
其中ϕ(…)是p元函数,但是其中含有未知参数α=(α1,α2,…,αp)τ.一般说来,α在一定围取值.
例如,
*t=
t=1,2,…
其中α=(α1,α2)τ是未知参数,它们的取值围是:
-∞<α<∞,0≤α<∞.
这里需要指出,使用上式的模型,不仅要借助于马尔可夫链的工具,而且在统计建模时遇到两种麻烦,其一是参数估计的计算麻烦,二是确定ϕ(…)函数的麻烦.一般来说,只有根据应用背景能确定ϕ(…)函数时,才会考虑使用此类模型.
广义线性模型(神经网络模型):
*t=ϕ(α1*t-1+α2*t-2+…+αp*t-p)+εt,
t=1,2,…(2.14)
其中ϕ(.)是一元或未知函数,参数α=(α1,α2,…,αp)τ总是未知的.为保证模型的唯一确定性,或者说是可识别性,要对α作些约定,其一,||α||=1,其二,α=(α1,α2,…,αp)τ中第一个非零分量为正的.不难理解,假设不加这两条约定,模型(2.14)不能被唯一确定.
当ϕ(.)是一元函数时,与神经网络模型相通.
当ϕ(.)是一元未知函数时,与回归模型中的PP方法相通.
除了以上两类模型外,还有(2.1)式的非参数自回归模型,以及从统计学中引入的半参数自回归模型.对它们的统计建模更困难.本讲座主旨在于介绍如何用马尔可夫链的工具,描述非线性自回归模型的根本特性问题,对这类模型不再仔细讨论.
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