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行列式的计算方法
行列式的计算方法
摘要:
线性代数主要内容就是求解多元线性方程组,行列式产生于解线性方程组,行列式的计算是一个重要的问题。
本文依据行列式的繁杂程度,以及行列式中字母和数字的特征,给出了计算行列式的几种常用方法:
利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法,并总结了几种较为简便的特殊方法:
矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法,而且对这些方法进行了详细的分析,并辅以例题。
关键词:
行列式矩阵降阶
TheMethodsofDeterminantCalculation
Abstract:
Solvingmultiplelinearequationsisthemaincontentofthelinearalgebra,determinantsproducedinsolvinglinearequations,determinantcalculationisanimportantarticleisbased
onthecomplexitydegreeofthedeterminant,andthecharacteristicsoflettersandnumbersofthedeterminant,andthengivesseveralcommonlyusedmethodstocalculatethedeterminant:
directcalculationusingthedefinitionofdeterminant,intothetriangle,reductionmethod,edgingmethod,recursion,andsummarizesseveralrelativelysimpleandspecificmethods:
matrix,linearseparationfactormethod,toborrow"thethirdparty"method,usingVandermondedeterminantmethod,usingLaplacetheorem,alsoanalyzethesemethodsindetail,andsupportedbyexamples.
Keywords:
determinantmatrixreduction.
1.引言
线性代数主要内容就是求解多元线性方程组,行列式产生于解线性方程组
然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工
程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具,所以说行列式的计算是一
个重要的问题
三阶行列式:
由此可以看出二阶、三阶行列式计算结果的一些规律:
①⑵中每项都是三个数的乘积,并由行标与列标可以看出,这三个数分别取自行列式的不同行与不同列;
①⑵式正好有6项,它恰好是1,2,3全排列的个数。
①每项aij「a2j2,a3j3前面的符号为
(1)(jlj,其中(川2」3)为jjjs的逆序数。
这就是比较简单的采用对角线的方法计算行列式。
在行列式的定义中,虽然计算结果的每一项是n个元素的乘积,但是由于这n个元素是取自不同的行与列,所以对于某一确定的行中的n个元素(譬如
aii,ai2am)来说,每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素,而n级
行列式一共有n!
项,计算它就需要做n!
(n1)个乘法。
当n较大时,n!
是一个相当大的数字,直接从定义采用对角线法计算行列式几乎是不可能的事,[1]本文依
据行列式元素间的规律和行列式的性质总结了计算行列式几种常用和特殊的方法。
2.计算行列式的常用方法
利用行列式的定义直接计算
例1.利用行列式的定义计算n阶行列式
Dn
解:
根据行列式的定义,
行列式展开后等于所有取自不同行不同列的n个元素的
乘积,通过观察可知Dn的展开式中只有一个非零项12(n1)nn!
,这一
项行标排列具有自然顺序排列,对应的列标排列为23n1,其逆序数为n1,
故Dn
(1)n1n!
当行列式的元素中有较多0时,可以利用定义法进行计算,但如果元素中出现较多非0元素时,这种方法就不易求解。
利用化为三角形的方法计算
利用行列式的性质把行列式通过一系列的变换转化成位于主对角线一侧的元素全为零的行列式,这样得到的行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘
n(n1)
积。
而对于非零元素位于次对角线的情形
行列式的值等于
(1)^与次对角线上
所有元素的乘积。
例2利用上三角形法计算n阶行列式
Xi
2
X2
Dn
3
X3
Xn
解:
Dn
1
X1
X1
X1
2
X2
0
X3
X1
Xn
X1X2
Xn
1
X1
1
1
2
X2
1
0
3
X3
0
1
Xn
0
0
n
i
12
3
i1Xi
X2
X3
0
1
0
X1X2Xn
0
0
1
n
Xn
0
0
n
(""必X丄1
i1Xi
在例2中,行列式的每一行对应元素中包含有相同的元素,这样使用化三角形法较为简便,但当行列式的元素不相同且无规律时,计算量就会增加不少,此时这种方法并不简单。
利用降阶法计算行列式
在计算行列式的时候可以根据行列式元素间的规律,
列式按行(列)展开定理,将一个
依据行列式的性质或行
1阶行列式来计算。
若
n阶行列式降阶然后一直化为多个2阶行
n阶行列式化为n个n
列式来计算。
例3.利用降阶法计算n阶行列式
ab
00
0
0a
b0
0
Dn
00
0a
b
b0
00
a
解:
依据仃列式按仃(列)展开的疋理,将
ab
00
0b
0a
00
0a
Dna
b
00
ab
00
00
0a
b0
0b
0
0
0a
0
0
anb
00
a
b
b0
0
a
再继续使用按行(列)展开法,可以将
Dn按第一行展开,即得:
00
00
ab
0a
然后将后面的行列式按第一列展开,即得
nn1n
a
(1)b
Dnanbb(-1)n
值得注意的是,根据行列式的性质利用降阶法时,应该将某行(列)元素尽可能多地变成零,之后再按行(列)展开,这样计算才能体现出降阶法计算行列
式的简便性,但是针对一些构造特殊的行列式,因为n阶行列式Dn的第i行构成
的k级子式有Cn个,故
「般行列式只是能降阶而不能减少其计算量,这种方法
往往无效。
⑵
利用降阶法可以计算行列式,
那是不是也可以通过加边使其变成一个相等的
n1阶行列式呢
镶边法
a11
a12
a1n
一个n阶行列式
a21
a22
a2n
,女口果81181231n或311321
an1中除了a
an1
an2
ann
外其余元素全为0,那么该行列式便可利用行列式按行(列)展开定理将其转化为一个计算n1阶行列式。
反过来,也可以利用相同的方法把一个n阶行列式转化为一个与之相等的n1阶行列式,这就是镶边法。
241镶边法解题步骤
1通过加边(列)的方法把一个n级行列式转化为一个与之相等的n1阶行列式;
2根据行列式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列)
使其它行(列)出现更多的0元素后再进行计算。
2.4.2镶边的一般方式
①首行首列②首行末列③末行首列④末行末列。
[3]
当然也可以添加在行列式任意某一行与某一列的位置,但是等价变形后,总
变成上述四种情况之一。
例4利用镶边法计算n阶行列式
yn
yn
递推法
递推法就是利用行列式元素间的规律,在n阶与ni阶(或更低阶)行列式之间建立递推关系,再利用所得的关系式计算行列式的值。
递推法主要是降阶递推法,常见的有两种类型:
i.DnLDni型;这时根据递推关系可推出关系式DnLD
2.DnpDniqDn2(n2,q0)型;
这时可设、是方程X2PXq0的根,则由根与系数的关系可得
p,q,于是有:
Dn-Dni(DniDn2)(I)
DnDni(DniDn2)(D)
,则由(I)和(U)得
注意又由(I)和(U)递推可得
DnDmn2(D2Di)
DnDn1n2(D2Di)
若,贝U(I)和(U)可变成DnDn1(Dn1D.2),即
DnDn1n2(D2D1),
故DnDn1n2(D2D1)
2
1
0
0
0
1
2
1
0
0
Dn=
0
1
2
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
1
2
解:
由于Dn2Dn1Dn2,则不妨设
是方程x22x10的根,则:
于是Dn
其中:
D1
2,D2
所以:
Dn(2n)D1(n1)D242n3nn1
即原式n1
上面介绍的几种计算行列式的方法都是比较常用的,同时通过上面的例题分析和解题过程可以发现,上述几种计算方法只是适用一些行列式较为简单和行列式元素间具有明显规律的情况,而对于一些比较特殊或行列式元素间的关系隐藏较深的行列式,就要通过其它的途径来解决问题,下面给出几种计算行列式的特殊方法。
3.计算行列式的几种特殊方法
3.1矩阵法
如果一个行列式的对应矩阵可以转化为两个矩阵的乘积,而且这两个矩阵所对应的行列式都比较容易计算,即可利用公式AB=A|B计算出n阶行列式的
值。
⑷
例6利用矩阵法计算n阶行列式
bj
所以该行列式可转化为两个矩阵乘积的行列式,即
1
a1
2
a1
n1
a1
1
1
1
1||
1
a2
2
a2
n1
a2
b1
b2
b3
bn
Dn
1
a3
2
a3
n1
a3
b12
b22
b32
T
1
an
n
an
n1
an
n1
b1
n1
b2
n1
bs
bn"1
分离线性因子法
3.2.1分离线性因子法
分离线性因子法就是把行列式看成含有一个或一些字母的多项式,将它变换,如果它可被一些因子互素的线性因子所整除,同时它也可被这些因子的积所整除,就可将行列式的某些项与线性因子的项进行比较,继而找出多相式的所有因子,然后用这些因子的乘积除行列式的商,从而求得行列式的表达式。
322—般的解题思路
①如果行列式Dn有些元素是某一变量(参数)的多项式,不妨设此变量为a,那么可将该行列式Dn看作关于a的多项式f(a),然后找出因子互素的线性因子g(a),h(a),即f(a)h(a)g(a);
①在h(a)和g(a)中选出一个特殊项进行比较,如果g(a)与f(a)的次数相
等,就用待定系数法,确定出h(a)的值;如果g(a)的次数比f(a)的次数小,继续找出h(a)的线性因子,直至将f(a)的所有线性因子全部找出,从而求出行列式Dn的值。
例7利用分离线性因子法计算n阶行列式
x,
b)
x“
x“
b)n1
x
—(x
—(x
b)2
—(x
a
a
a
2a
2
2
n1
n1
1
2
1
2
1
2
Dn
2a
2
2
n1
n1
n2
n1
n2
n1
n2
n1
2a
2n
1
2n
2
1
2n
n1
1
其中ij(ij)
a
xb
(xb)2
(x
b)n1
2
2
n1
n1
2b
12
1
2
1
2
小2x
解:
Dn
a
2
2
n1
n1
2a
n2n1
n2
n1
n2
n1
2
n1
un1n1n1
将行列式最后一行乘以(-1)后再加到上一行去,并以此类推,直至第
为止,得
显而易见,Dn是一个关于x的多项式D(x),且Dn(O)=O
由行列式的性质知
Dn(1b)0,Dn(2
b)
0…
Dn(n1
b)0
所以
Dn(x)的根为0,1
ba
J
2b,
n1
b
故
Dnpx(x1b)(x
2
b)
(xn1
b)
进而可得Dn(x)的n次项系数,令其为p,即
n1
j)x(xb)
i1
=2x(i
n1ij1
综上可得:
Dn
(1)n12(i
n1ij1
n1
j)(ibx)
i1
3.2.3利用分离线性因子法的注意
能够利用分离线性因子法进行计算的行列式大都是含有字母变量(参数)的
行列式,当某个变量(参数)取某个特定值的时候行列式的值为0,则该行列式
必含有某个特定因子。
[3]类如:
a1
2
a1
a2
2
a2
an
2an
n
a1
n
a1
n2
a2
n1
a2
n2
an
n1
an
0
a
b
c
1a
1
1
1
a
0
c
b
1
1a
1
1
b
c
0
a
、
1
1
1b
1
c
b
a
0
1
1
1
1b
等
借用
“第三者”
借用“第三者”
法计算行列式,
就是当所给的行列式
A不易计算时,乘以一
个适当的值不为0的行列式B,且ABBC(C0),使其转化为求乘积的行列式。
使用这种方法有优越,但
B的选取不易,需要有足够的知识和经验。
例8计算n阶行列式
解:
取
2
cos
..2
isin-n
f(x)01(x)
n1n1X
AB
f
(1)
f
(1)
f(
f(
f
(1)
f
(1)
=B
2(n2)
2(n1)
(n1)(n2)
(n1)(n1)
f(n1)
2(n1)f(n1)
n1f()
f()
f(
(n1)2f(n1)
n1)
n1
f(k)
上题中不但计算出了行列式A的值,而且同时也证明了A相似于一个对角矩阵。
利用范德蒙德行列式来计算
范德蒙德行列式是一类比较特殊的行列式,通过观察其中的任一列可以发现,它都是某个数(字母)的不同方幕,且从上至下其幕次数由0递增至n1,
通过证明已经得知n阶范德蒙德行列式的值就等于组成这个行列式的n个元素
的所有可能差的乘积。
利用范德蒙德行列式的时候,应先根据范德蒙德行列式的
的值。
n
an
解:
镶边得
Dn
a1
a2
2
a
2
a2
0
n
a1
n
a2
an
2
an
再将第一列的(
-1)
倍加到其它各列得:
Dn
a1
a2
1
2
a1
2
a2
12
n
a1
n
a2
an
2
an
n
an
将此行列式拆分为两项即得
2
0
0
0
1
1
1
1
1
2
n
1
2
n
a1
a
a1
a1
a1
a1
1
2
n
1
2
n
a2
a2
a2
a2
a2
a2
1
2
n
1
2
n
an
an
an
an
an
an
Dn
利用拉普拉斯定理展开计算
元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
在利用拉普拉斯定理计算行列式的时候,应先根据行列式的性质对所给行列式进行转换,使其每行(列)的0元素尽可能的多,然后再利用行列式按行(列)
拉普拉斯定理是
展开定理将其中含0元素多的某一行(列)进行展开。
实质上,
对行列式按行(列)展开定理的推广。
[1]
它们对应的代数余子式为
A1
(
1)(1
2)(1
2)m1
M1,
A2
(
1)(12)(13)M2
m2
A3
(
1)(1
2)(1
4)M3
M5,
A
(
1)(12)(2讪4
M4
A5
(
1)(1
2)(2
4)M5
M5,
A
(
1)(12)(34)M6
M6
根据拉普拉斯定理得
DM1A1M2A2
M6A6
3
kJ
1
2
1
1
3
2
4
1
1
1
4
1
0
1
2
0
1
1
1
0
3
2
1
0
1
1)
(8)
2
(
3)
1
(
1)
5
1
6
3
(
(7)1
187
例11利用拉普拉斯定理计算
n阶行列式
Dn
解:
如果从第
3行开始每一行都减去第
2行,
再从第3列开始每
列都加到第2
列,可使行列式中更多的元素变为
0o
Dn
(n
(n2)b
0
0
1)
再由拉普拉斯定理得
a(n1)(
a(n2)b(
b)n2=[a
(n1)
a(n2)b](b)n2
4•结束语
行列式的计算方法有很多,上面只是列举出了其中的一部分,并且根据所给行列式的不同特点给出了适用的方法以及使用时的注意,但这并不是孤立的,有
时可以使用不同的方法计算出一个行列式的结果。
行列式是解决线性代数的工具,它的产生和应用都是在解线性方程组中。
现在它的应用已拓宽的较为广泛,它在消元法、矩阵论、坐标变换、多重积分中的变量替换、解行星运动的微分方程组、将二次型化简为标准型等诸多问题中都有着广泛的应用。
[5]本文只是总结
了几种较为常用的一般和特殊的行列式计算方法,随着行列式应用的增多,会出
现新类型的行列式,也随之会出现很多新的计算行列式的方法。
这需要同学们在学习中,善于发现知识间的联系并及时总结好的方法。
参考文献:
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1n1D1(n1)1n2(D2D1)(2n)D1(n1)D2
n
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