函数综合题.docx
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函数综合题
简单线性规划
1.设变量x,y满足约束条件
则目标函数z=3x﹣2y的最小值为( )
A.﹣5B.﹣4C.﹣2D.3
2.若变量x,y满足约束条件
,则z=3x+4y的最大值是( )
A.12B.26C.28D.33
3.已知x,y∈R,且
则
的最大值是( )
A.
B.
C.
D.7
4.实数x,y满足
.
(1)若
,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围.
5.已知x、y满足不等式
,求z=3x+y的最小值.
6.已知线性约束条件
,求目标函数z=x+2y的最大值 ____ .
7.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当﹣1≤x≤1时,|f(x)|≤1,
求证:
①|c|≤1.
②当﹣1≤x≤1时,|g(x)|≤2.
8.设集合A={(x,y)|y≥|x﹣2|,x≥0},B={(x,y)|y≤﹣x+b},A∩B≠
.
(1)求b的取值范围;
(2)若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为9,求b的值.
9.函数f(x)=x3﹣9x2cosα+48xcosβ,g(x)=3x2﹣18xcosα+48cosβ,且对任意的实数t均有g(1+e﹣|t|)≥0,
g(3+sint)≤0.
(I)求g
(2);
(II)求函数f(x)的解析式;
10.已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0,且a,b∈R).设关于x的不等式f(x)>0的解集为(x1,x2),且方程f(x)=x的两实根为α,β.
(Ⅰ)若|α﹣β|=1,试比较a,b的大小;
(Ⅱ)若α<1<β<2,求t=x1+x2+x1x2的取值范围.
函数综合
1.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:
f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0)及f
(1)的值;
(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若
,求证数列{un}是等差数列,并求{un}的通项公式.
2.设函数f(x)=x2+|x﹣a|(x∈R,a∈R).
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)<10对x∈(﹣1,3)恒成立,求实数a的取值范围.
3.已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f
(2)=1,
(1)求证:
f(x)是偶函数;
(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;
4.已知函数f(x)的定义域D=(﹣∞,0)∪(0,+∞),且对于任意x1,x2∈D,均有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0;
(1)求f
(1)与f(﹣1)的值;
(2)判断函数的奇偶性并证明;
(3)求证:
f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(4)若f(4)=1,解不等式f(3x+1)≤2.
5.已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λx﹣cosx在
上是减函数.
求a的值与λ的范围;
6.已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m使得
,对一切
,都成立?
若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
7.已知定义在R上的函数f(x)满足下面两个条件:
①对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)②当x>0时,f(x)<0
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(2)判断f(x)的单调性,并证明;
(3)如果不等式
对于任意x∈R都成立,求实数m的取值范围.
8.已知
是R上奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)对任意正数x,不等式
恒成立,求实数k的取值范围.
9.已知函数f(x)=2x,g(x)=﹣x2+2x+b(b∈R),记
.
(Ⅰ)判断h(x)的奇偶性,并证明;
(Ⅱ)对任意x∈[1,2],都存在x1,x2∈[1,2],使得f(x)≤f(x1),g(x)≤g(x2).若f(x1)=g(x2),求实数b的值;
(Ⅲ)若2xh(2x)+mh(x)≥0对于一切x∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
10.已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:
①x1、x2、x1﹣x2是定义域中的数时,有
;
②f(a)=﹣1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0.
(1)判断f(x1﹣x2)与f(x2﹣x1)之间的关系,并推断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,2a)上的单调性,并证明;
(3)当函数f(x)的定义域为(﹣4a,0)∪(0,4a)时,
①求f(2a)的值;②求不等式f(x﹣4)<0的解集.
11.已知定义域为R的函数
是奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由);
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.
12.f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f
(1)=1,若x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)•[f(x)+f(y)]>0.
(1)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(2)解不等式
;
(3)若f(x)≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求实数m的取值范围.
13.定义在R上的单调增函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若f(k•3x)+f(3x﹣9x﹣2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
14.已知函数f(x)=logax,(a>0且a≠1).
(1)若g(x)=f(|x|),当a>1时,解不等式g
(1)<g(lgx);
(2)若函数h(x)=|f(x﹣a)|﹣1,讨论h(x)在区间[2,4]上的最小值.
15.已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)为偶函数,如果点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y2+1)在g(x)=f(x2+c)的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设F(x)=g(x)﹣λf(x).是否存在实数λ,使F(x)在
上为减函数,且在
上为增函数?
若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
16.设函数f(x)与g(x)的定义域是x∈R且x≠±1,f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且
.
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
(2)指出f(x)的单调增减区间并证明.
17.已知函数f(x)=
.
(1)求函数的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)若f(x)的定义域为[α,β](β>α>0),判断f(x)在定义域上的增减性,并加以证明.
18.定义在R上的函数y=f(x),对任意的a,b∈R,满足f(a+b)=f(a)•f(b),当x>0时,有f(x)>1,
其中f
(1)=2
(1)求f(0)、f(﹣1)的值;
(2)证明y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)求不等式f(x+1)<4的解集.
19.已知定义在R上的奇函数
.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式
对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围;
(3)定义:
若存在一个非零常数T,使得f(x+T)=f(x)对定义域中的任何实数x都恒成立,那么,我们把f(x)
叫以T为周期的周期函数,它特别有性质:
对定义域中的任意x,f(x+nT)=f(x),(n∈Z).若函数g(x0是定义在
R上的周期为2的奇函数,且当x∈(﹣1,1)时,g(x)=f(x)﹣x,求方程g(x)=0的所有解.
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