一个三角形有5000颗心原谅我直接复制下来.docx
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一个三角形有5000颗心原谅我直接复制下来.docx
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一个三角形有5000颗心原谅我直接复制下来
外心:
三边中垂线交点。
内心:
三个内角角平分线交点。
垂心:
三条高线交点。
重心:
三条中线的交点。
旁心:
一个内角平分线与另两个角的外角平分线交点。
格高尼点:
ABC内切圆切三边与D、E、F,AD、BE、CF的共点。
威毕特点:
ABC两边AB、AC各向外正方形ABDE、ACFG,若AP垂直BC于P,则AP、BF、CD共点。
费马点:
ABC三边各向外做正三角形ABC'、BCA'、CAB',则AA'、BB'、CC'三线共点,该点到三边距离和最小。
伪垂心:
设AD、BE、CF为ABC的三条高,D、E、F关于三边中点的对称点为D'、E'、F',则AD'、BE'、CF'三线共点。
界心:
设D、E、F分别在ABC的三边BC、CA、AB上,若AD、BE、CF把ABC的周界分成两条等长的折线,则AD、BE、CF三线共点。
陪位重心:
AD、BE、CF为三角形的中线,D。
、E。
、F。
分别在BC、CA、AB上,若角BAD=角D。
AC,角CBE=角E。
BA,角ACF=角F。
CB,则AD。
、BE。
、CF。
三线共点。
布洛卡点:
已知P为ABC内一点,若角PAB=角PBC=角PCA=a,则P为布洛卡点,a为布洛卡角.
翻看了一下,这样的点大约有3597种,国外研究机构已经给一一编号了。
可以查阅:
http:
//faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
我整理了其中一些最最常见的三角形特殊点(共线后所得的点)
如果A是(x1,y1)、B是(x2,y2)、C是(x3,y3),那么在三角形ABC中所有心的坐标都可以用数式表示.(A,B,C是三角形ABC的三角,而a,b,c则分别是角A,B,C的对边)
X
(1)=INCENTER内心
三角形三条角平分线的相交点(Intersectionof3AngleBisectorsofaTriangle),亦是内接圆的圆心(CentreofInscribedCircle)
Trilinears 1:
1:
1
Barycentrics a:
b:
c
X
(1)isthepointofconcurrenceoftheinterioranglebisectorsofABC;thepointinsideABCwhosedistancesfromsidelinesBC,CA,ABareequal.Thisequaldistance,r,istheradiusoftheincircle,givenby
r=2*area(ABC)/(a+b+c).
Threemorepointsarealsoequidistantfromthesidelines;theyaregivenbythesenamesandtrilinears:
A-excenter=-1:
1:
1, B-excenter=1:
-1:
1, C-excenter=1:
1:
-1.
Theradiioftheexcirclesare
2*area(ABC)/(-a+b+c),2*area(ABC)/(a-b+c),2*area(ABC)/(a+b-c).
IfyouhaveTheGeometer'sSketchpad,youcanviewIncenter.
WritingtheA-exradiusasr(a,b,c),theothersarer(b,c,a)andr(c,a,b).Iftheseexradiiareabbreviatedasra,rb,rc,then1/r=1/ra+1/rb+1/rc.Moreover,
area(ABC)=sqrt(r*ra*rb*rc)andra+rb+rc=r+4R,
whereRdenotestheradiusofthecircumcircle.
Theincenteristheidentityofthegroupoftrianglecentersunder"trilinearmultiplication"definedby
(x:
y:
z)*(u:
v:
w)=xu:
yv:
zw.
Aconstructionfor*iseasilyobtainedfromtheconstructionfor"barycentricmultiplication"mentionedinconnectionwithX
(2),justbelow.
X
(2)=CENTROID
重心Centroid=三角形三条中线的相交点(Intersectionof3MediansofaTriangle)
Trilinears 1/a:
1/b:
1/c
=bc:
ca:
ab
=cscA:
cscB:
cscC
=cosA+cosBcosC:
cosB+cosCcosA:
cosC+cosAcosB
=secA+secBsecC:
secB+secCsecA:
secC+secAsecB
=cosA+cos(B-C):
cosB+cos(C-A):
cosC+cos(A-B)
=cosBcosC-cos(B-C):
cosCcosA-cos(C-A):
cosAcosB-cos(A-B)
Barycentrics 1:
1:
1
X
(2)isthepointofconcurrenceofthemediansofABC,situated1/3ofthedistancefromeachvertextothemidpointoftheoppositeside.Moregenerally,ifLisanylineintheplaneofABC,thenthedistancefromX
(2)toListheaverageofthedistancesfromA,B,CtoL.AnidealizedtriangularsheetbalancesatopapinheadlocatedatX
(2)andalsobalancesatopanyknife-edgethatpassesthroughX
(2).ThetrianglesBXC,CXA,AXBhaveequalareasifandonlyifX=X
(2).
IfyouhaveTheGeometer'sSketchpad,youcanviewCentroid.
X
(2)isthecentroidofthesetof3vertices,thecentroidofthetriangleincludingitsinterior,butnotthecentroidofthetrianglewithoutitsinterior;thatcentroidisX(10).
X
(2)istheidentityofthegroupoftrianglecentersunder"barycentricmultiplication"definedby
(x:
y:
z)*(u:
v:
w)=xu:
yv:
zw.
X
(2)istheuniquepointX(asafunctionofa,b,c)forwhichthevector-sumXA+XB+XCisthezerovector.
X(3)=CIRCUMCENTER
外心Circumcentre=三角形三边的垂直平分线的相交点(Intersectionof3PerpendicularBisectorsofthe3sidesofaTriangle),亦是外接圆的圆心(CentreofCircumscribedCircle)
Trilinears cosA:
cosB:
cosC
=a(b2+c2-a2):
b(c2+a2-b2):
c(a2+b2-c2)
Barycentrics sin2A:
sin2B:
sin2C
X(3)isthepointofconcurrenceoftheperpendicularbisectorsofthesidesofABC.ThelengthsofsegmentsAX,BX,CXareequalifandonlyifX=X(3).Thiscommondistanceistheradiusofthecircumcircle,whichpassesthroughverticesA,B,C.Calledthecircumradius,itisgivenby
R=a/(2sinA)=abc/(4*area(ABC)).
X(4)=ORTHOCENTER
垂心Orthocentre=三角形三条高的相交点(Intersectionof3AltitudesofaTriangle)
Trilinears secA:
secB:
secC
=cosA-sinBsinC:
cosB-sinCsinA:
cosC-sinAsinB
=cosA-cos(B-C):
cosB-cos(C-A):
cosC-cos(A-B)
=sinBsinC-cos(B-C):
sinCsinA-cos(C-A):
sinAsinB-cos(A-B)
Barycentrics tanA:
tanB:
tanC
X(4)isthepointofconcurrenceofthealtitudesofABC.
X(5)=NINE-POINTCENTER九点圆圆心
三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。
通常称这个圆为九点圆(nine-pointcircle),或欧拉圆、费尔巴哈圆.九点圆是一个更一般的定理:
垂心四面体12点共球(各棱的中点,各棱相对于对棱的垂心)的一个特例。
当一个顶点被压入所对面的时候,12点的共球就退化为9点共圆。
Trilinears cos(B-C):
cos(C-A):
cos(A-B)
=f(A,B,C):
f(B,C,A):
f(C,A,B),wheref(A,B,C)=cosA+2cosBcosC
=g(A,B,C):
g(B,C,A):
g(C,A,B),whereg(A,B,C)=cosA-2sinBsinC
=h(a,b,c):
h(b,c,a):
h(c,a,b),whereh(a,b,c)=bc[a2(b2+c2)-(b2-c2)2]
Barycentrics acos(B-C):
bcos(C-A):
ccos(A-B)
=h(a,b,c):
h(b,c,a):
h(c,a,b),whereh(a,b,c)=a2(b2+c2)-(b2-c2)2
X(5)isthecenterofthenine-pointcircle.EulershowedinthatthiscirclepassesthroughthemidpointsofthesidesofABCandthefeetofthealtitudesofABC,hencesixoftheninepoints.TheotherthreearethemidpointsofsegmentsA-to-X(4),B-to-X(4),C-to-X(4).Theradiusofthenine-pointcircleisone-halfthecircumradius.
X(6)=SYMMEDIANPOINT(LEMOINEPOINT,GREBEPOINT)陪位重心
AN、BM、CE为三角形的中线,N’、M’、E’分别在BC、CA、AB上,若角BAN’=角NAC,角CBM=角M’BA,角ACE=角E’CB,则AN’、BM’、CE’三线共点。
此点称为“陪位重心”。
Trilinears a:
b:
c
=sinA:
sinB:
sinC
Barycentrics a2:
b2:
c2
X(6)isthepointofconcurrenceofthesymmedians(reflectionsofmediansincorrespondinganglebisectors);thepoint(x,y,z),givenhereinactualtrilineardistances,thatminimizesx2+y2+z2.
LetA'B'C'bethepedaltriangleofanarbitrarypointX,andletS(X)bethevectorsumXA'+XB'+XC'.Then
S(X)=(0vector)ifandonlyifX=X(6).
The"if"implicationisequivalenttothewellknownfactthatX(6)isthecentroidofitspedaltriangle,andtheconversewasprovedbyBarryWolk(Hyacinthos#19,Dec.23,1999).
X(6)istheradicaltraceofthe1stand2ndLemoinecircles.(PeterJ.C.Moses,8/24/03)
X(7)=GERGONNEPOINT
格高尼点(也译作葛尔刚点):
ABC内切圆切三边D、E、F,
则AD、BE、CF三线共点。
Trilinears bc/(b+c-a):
ca/(c+a-b):
ab/(a+b-c)
=sec2(A/2):
sec2(B/2):
sec2(C/2)
Barycentrics 1/(b+c-a):
1/(c+a-b):
1/(a+b-c)
LetA',B',C'denotethepointsinwhichtheincirclemeetsthesidesBC,CA,AB,respectively.ThelinesAA',BB',CC'concurinX(7).
X(8)=NAGELPOINT奈格尔点
Trilinears (b+c-a)/a:
(c+a-b)/b:
(a+b-c)/c
=csc2(A/2):
csc2(B/2):
csc2(C/2)
Barycentrics b+c-a:
c+a-b:
a+b-c
LetA'B'C'bethepointsinwhichtheA-excirclemeetsBC,theB-excirclemeetsCA,andtheC-excirclemeetsAB,respectively.ThelinesAA',BB',CC'concurinX(8).AnotherconstructionofA'istostartatAandtracearoundABChalfitsperimeter,andsimilarlyforB'andC'.Also,X(8)istheincenteroftheanticomplementarytriangle.
欧几里得几何中,任一个三角形伴随有一个奈格尔点(Nagel)。
平面内一个三角形ABC具有边长a=|BC|,b=|CA|,和c=|AB|,设TA,TB,和TC分别是三旁切圆和三条边的切点。
直线ATA,BTB,CTC共点交于三角形ABC的奈格尔点N。
奈格尔点以十九世纪德国数学家ChristianHeinrichvonNagel命名,他在1836年提到这个点。
另外一种方法构造TA,从点A出发沿着三角形ABC的边走到半周长位置,类似的得到TB和TC。
因为这个构造,奈格尔点有时也被称为平分周长点(或译界心)。
奈格尔点、内心和重心三点共线。
内心是中点三角形的奈格尔点。
奈格尔点是反补三角形的重心。
X(9)=MITTENPUNKT点
三个旁切圆圆心和对应三边中点连线,三线共点。
同时也是中点三角形的格高尼点。
Trilinears b+c-a:
c+a-b:
a+b-c
=cot(A/2):
cot(B/2):
cot(C/2)
Barycentrics a(b+c-a):
b(c+a-b):
c(a+b-c)
X(9)isthesymmedianpointoftheexcentraltriangle.
ThemittenpunktormiddlespointofatriangleABCisthepointofconcurrenceofthelinesfromtheexcentersD,E,FthroughthecorrespondingtrianglesidemidpointsG,H,N.ThemittenpunktoftriangleABCisthesymmedianpointoftheexcentraltriangleDEF.ThepointwasstudiedbyChristianHeinrichvonNagelin1836.
X(10)=SPIEKERCENTER
即:
中点三角形的内心
TheSpiekercenterofatriangleABCistheincenterSofthemedialtriangleA'B'C'ofthetriangleABC.
TheSpiekercenterisalsothecentroidoftheperimeteroftheoriginaltriangleABC
ThemedialtriangleA'B'C'isformedbyjoiningthemidpointsofthesidesofatriangleABC.
三角形ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,G,I为三角形的重心与内心
(1)过D,E,F分别作此三角形内切圆切点三角形对应三边的垂线,证明:
它们交于一点
J,在此我们称J为三角形ABC的Spieker点。
Spieker点是三角形“线框”的重心,同时又是三个旁切圆的根心。
容易看出J是中点三角形DEF的内心,而中点三角形与原三角形关于重心G是1:
2位似的,由此(3)中J、G、I三点间的关系就不难予以说明。
(2)若过D,E,F分别作对应的三角形ABC三个旁切圆切点所构成的三角形三边的垂线,证明:
它们交于一点,分别记作J1,J2,J3,在此我们称其为原三角形的“旁Spieker点”。
(3)GJ=0.5IG
(4)J就是三角形J1J2J3的垂心,四个Spieker点恰好构成垂心组。
(5)三角形J1J2J3的三条高的垂足为三角形ABC三边中点D,E,F
Trilinears bc(b+c):
ca(c+a):
ab(a+b)
Barycentrics b+c:
c+a:
a+b
TheSpiekercircleistheincircleofthemedialtriangle;itscenter,X(10),isthecentroidoftheperimeterofABC.
X(11)=FEUERBACHPOINT
即:
内切圆和九点圆的公切点,
Trilinears 1-cos(B-C):
1-cos(C-A):
1-cos(A-B)
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