数学建模选题.docx

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数学建模选题

《数学建模》选题

（一）

1、选址问题研究

在社会经济发展过程中,经常需要在系统中设置一个或多个集散物质、传输信息或执行某种服务的“中心”。

在设计和规划商业中心、自来水厂、消防站、医院、飞机场、停车场、通讯系统中的交换台站等的时候,经常需要考虑将场址选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳。

选址问题,是指在指定的范围内,根据所要求的某些指标,选择最满意的场址。

在实际问题中,也就是关于为需要设置的“设施”选择最优位置的问题。

选址问题是一个特殊类型的最优化问题,它属于非线性规划和组合最优化的研究范围。

由于它本身所具有的特点,存在着单独研究的必要性和重要性。

1.1“中心”为点的情形

如图1，有一条河，两个工厂P和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂P和Q距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q输水，请你给出一个经济合理的设计方案。

图1图2

（即找一点R，使R到P、Q及直线l的距离之和为最小。

）

要求和给分标准：

提出合理方案，建立坐标系，分情况定出点R的位置，0分——70分。

将问题引申：

（１）、若将直线L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。

（２）、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图2），该如何选点？

对引申问题给出给出模型和讨论30分——50分。

抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。

1.2“中心”为线的情形

在油田管网和公路干线的设计中提出干线网络的选址问题：

问题A：

在平面上给定

个点

，求一条直线

，使得

（1）

为最小，其中

表示点

的权，

表示点

到第直线

的距离。

问题B：

平面上给定

条直线

求一点

使

（2）

为最小，其中

表示直线

的权，

表示点

到第直线

的距离。

问题C：

在平面上给定

个点

，求一条直线

，使得

（1）

为最小，其中

表示点

的权，

表示点

到第直线

的距离。

问题D：

平面上给定

条直线

求一点

使

（2）

为最小，其中

表示直线

的权，

表示点

到第直线

的距离。

参考文献

【1】林诒勋,尚松蒲.平面上的点—线选址问题[J].运筹学学报,2002,6（3）:

61—68.

【2】尚松蒲,林诒勋.平面上的min-max型点—线选址问题[J].运筹学学报,2003,7（3）:

83—91.

要求和给分标准：

选择问题A和B（或者C和D）进行研究：

根据文献重述模型（10分），提出自己的算法（30分），计算机仿真验证算法的正确性（40分，含如何在平面上随机产生n个点，对每个点随机赋权，按照算法编程实现求干线的程序，并将寻得的干线和点在平面上图示，建议用MATLAB编程）。

将问题引申：

如果同时确定两条、三条干线，应该如何讨论？

其他情形的讨论？

对引申问题给出给出模型和讨论20分——30分。

抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。

2Hsieh模型的参数估计方法研究

（本题目可三人共同完成，但工作量要基本相同，每个人的工作要写清楚）

Hsieh模型为由

（1）和

（2）构成的如下非线性方程组：

（1）

（2）

其中，

E=1-ωrc2Kei（α）/（2T）,F=ωrc2Ker（α）/（2T）,α=rw（ωS/T）1/2

A为井水位与不排水条件下含水层孔压的潮汐响应振幅比，称为相对振幅。

η为井水位与孔压之间的相位差，取决于含水层的导水（渗透）性能；Ker和Kei分别为开尔文函数（在Matlab中用besselk（）来表示）的实部和虚部；S为储水系数，无量纲；T为导水系数；ω为井水位某潮汐分波频率；rw=0.028m为揭露含水层处井孔半径，或滤水管半径；rc=0.0445m为井水位波动范围处的井孔套管半径。

A和η对S不敏感，但是对T在一定取值区域内敏感。

问题：

已知A和η反推S和T及其两者的误差，即求解二元非线性方程组并由A和η的误差估计S和T的误差。

振幅比A和相位差η值（角度值，计算时要转化成弧度值）是通过实际数据求算出来的，存在一定的误差，它们的值及误差见如下数据。

相位移η误差振幅比A误差

0.

要求和给分标准：

根据文献重述模型（10分），如：

由于

和

可以实验测得，为了便于计算机求解，将Hsieh模型进行等价变形，

，其中E≈1-ωrc2Kei（α）/（2T）,F≈ωrc2Ker（α）/（2T）,α=rw（ωS/T）1/2

其中rw=，rc=0.0445m，ω为井水位某潮汐分波频率；

提出自己的求解非线性方程组算法（30分），如：

（1）这是一个非线性方程组求根问题，可以用Newton-Raphson方法求解，求解算法如下：

……

（2）这是一个非线性方程组求根问题，可以用推广的多元二分法求解，求解算法如下：

……（3）等等这是一个非线性方程组求根问题，可以等价转化为求最小值问题，求解算法如下：

……。

按照算法的求解S和T及其两者的误差。

（40分），注意：

求非线性方程组的根和估计根的误差需要提出两种算法和分别变成求出，建议用MATLAB编程。

将问题引申：

对如何保证算法的收敛性，如何估计误差，给出误差公式讨论？

20分——30分。

抄袭者零分；无算法者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无算法优缺点讨论扣10分。

提示：

（1）由A和η的误差理论上导出S和T的误差界

由《高等数学》下册P86-87隐函数存在定理求出S，T关于A，η的偏导数，再利用P75公式（10）和（11）即可估计绝对和相对误差界。

（2）用BootStrap方法估计误差界。

用《概率论与数理统计》中BootStrap方法估计误差界。

（3）二者进行比较。

参考文献：

廖欣,刘春平等.响应是否满足不排水条件的检验[J]．地震学报，2011，33

（2）:

234-242.

4题:

写字楼电梯系统的模拟系统

　　城市繁华地区有一座12层的写字楼，在高峰时间7：

50-9：

10，人们进入一楼大厅并乘电梯到所在的楼层，有4部电梯为大楼服务，乘客到达大楼的时间间隔在0-30秒内随机变化，达到后每个乘客第一部可乘的电梯（1-4号），当某人进入电梯后并选择达到楼层后，电梯在关门前等待15秒，如果另一个人在15秒内到达来，这种等待将重新开始，如果15秒内无人到达，电梯就把全体乘客送上去。

假定中途没有其他乘客要上电梯。

送完最后一个乘客后，电梯回到大厅，途中也不上客人。

　　一部电梯的最大容量为12人，当一位乘客来到大厅，没有电梯可乘，就开始大厅排队等待。

　　写字楼的管理者希望提高优质服务，但目前有些乘客抱怨在电梯回来之前，他们在大厅等待的时间太长，也有人抱怨他们在电梯呆的时间太长，还有人说高峰时间大厅太挤，实际情况如何呢？

首先对该写字楼电梯系统做理论分析，然后用计算机模拟电梯系统，回答下列问题，：

（1）在一个典型的早上高峰时间，电梯实际上为多少乘客提供服务？

（2）如果一个人的等待时间是他在队伍中的时间，即从到达大厅到进入一部可乘电梯的时间，问一个人在队中等待的平均时间和最长时间是多少？

（3）最长的队长是多少？

（这个问题的回答将向管理者提供大厅拥挤程度的信息。

）

（4）如果运送时间是一位乘客从到达大厅到他或她到达要去的楼层的时间，包括等电梯的时间平均运送时间和最长的运送时间是多少？

（5）一位乘客实际上呆在电梯中的平均时间和最长时间是多少？

（6）每部电梯停多少次？

早高峰时间每部电梯实际上使用时间的百分比是多少？

5、送货路线设计问题

现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。

现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。

该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。

各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。

假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。

送货员的平均速度为24公里/小时。

假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。

现在送货员要将100件货物送到50个地点。

请完成以下问题。

1.若将1~30号货物送到指定地点并返回。

设计最快完成路线与方式。

给出结果。

要求标出送货线路。

2.假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。

要求标出送货线路。

3.若不需要考虑所有货物送达时间限制（包括前30件货物），现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。

设计最快完成路线与方式。

要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。

由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。

可不考虑中午休息时间。

以上各问尽可能给出模型与算法。

图1快递公司送货地点示意图

O点为快递公司地点，O点坐标（11000,8250）,单位：

米

表1各货物号信息表

货物号

送达地点

重量（公斤）

体积（立方米）

不超过时间

1

13

9：

00

2

18

9：

00

3

31

9：

30

4

26

12：

00

5

21

12：

00

6

14

12：

00

7

17

12：

00

8

23

12：

00

9

32

12：

00

10

38

10：

15

11

45

9：

30

12

43

10：

15

13

39

12：

00

14

45

9：

30

15

42

10：

15

16

43

10：

15

17

32

12：

00

18

36

12：

00

19

27

12：

00

20

24

9：

00

21

31

9：

30

22

27

12：

00

23

26

12：

00

24

34

9：

30

25

40

9：

30

26

45

9：

30

27

49

10：

15

28

32

12：

00

29

23

12：

00

30

16

12：

00

31

1

32

2

33

3

34

4

35

5

36

6

37

7

38

8

39

9

40

10

41

11

42

12

43

13

44

14

45

15

46

16

47

17

48

18

49

19

50

20

51

21

52

22

53

23

54

24

55

25

56

26

57

27

58

28

59

29

60

30

61

31

62

32

63

33

64

34

65

35

66

36

67

37

68

38

69

39

70

40

71

41

72

42

73

43

74

44

75

45

76

46

77

47

78

48

79

49

80

50

81

25

82

46

83

32

84

23

85

20

86

25

87

19

88

41

89

46

90

37

91

32

92

33

93

36

94

38

95

17

96

11

97

15

98

12

99

10

100

7

表250个位置点的坐标

位置点

X坐标（米）

Y坐标（米）

1

9185

500

2

1445

560

3

7270

570

4

3735

670

5

2620

995

6

10080

1435

7

10025

2280

8

7160

2525

9

13845

2680

10

11935

3050

11

7850

3545

12

6585

4185

13

7630

5200

14

13405

5325

15

2125

5975

16

15365

7045

17

14165

7385

18

8825

8075

19

5855

8165

20

780

8355

21

12770

8560

22

2200

8835

23

14765

9055

24

7790

9330

25

4435

9525

26

10860

9635

27

10385

10500

28

565

9765

29

2580

9865

30

1565

9955

31

9395

10100

32

14835

10365

33

1250

10900

34

7280

11065

35

15305

11375

36

12390

11415

37

6410

11510

38

13915

11610

39

9510

12050

40

8345

12300

41

4930

13650

42

13265

14145

43

14180

14215

44

3030

15060

45

10915

14235

46

2330

14500

47

7735

14550

48

885

14880

49

11575

15160

50

8010

15325

表3相互到达信息

序号

位置点1

位置点2

1

1

3

2

1

8

3

2

20

4

2

4

5

3

8

6

3

4

7

4

2

8

5

15

9

5

2

10

6

1

11

7

18

12

7

1

13

8

12

14

9

14

15

9

10

16

10

18

17

10

7

18

11

12

19

12

13

20

12

25

21

12

15

22

13

18

23

13

19

24

13

11

25

14

18

26

14

16

27

14

17

28

14

21

29

15

22

30

15

25

31

16

23

32

17

23

33

18

31

34

19

24

35

20

22

36

21

26

37

21

36

38

21

17

39

22

30

40

23

17

41

24

31

42

25

41

43

25

19

44

25

29

45

27

31

46

28

33

47

29

22

48

30

28

49

30

41

50

31

26

51

31

34

52

32

35

53

32

23

54

33

46

55

33

28

56

34

40

57

35

38

58

36

45

59

36

27

60

37

40

61

38

36

62

39

27

63

40

34

64

40

45

65

41

44

66

41

37

67

41

46

68

42

43

69

42

49

70

43

38

71

44

48

72

44

50

73

45

50

74

45

42

75

46

48

76

47

40

77

48

44

78

49

50

79

49

42

80

50

40

81

O

18

82

O

21

83

O

26

《数学建模》选题

（二）

第一题：

水灾评估问题

给定某地区的水灾灾度标准分级的选取如下表：

等级

巨灾（Ⅰ）

大灾（Ⅱ）

中灾（Ⅲ）

小灾（Ⅳ）

农田受灾面积/（104km2）

≥200

200~100

100~50

≤50

受灾人口/（104人）

≥2000

2000~1000

1000~500

≤500

死亡人口/（人）

≥1500

1500~1000

1000~500

≤500

直接经济损失/（104元）

≥105

105~5*104

5*104~104

≤104

现有此地区某3年的受灾损失情况如下表：

1959

1982

1994

农田受灾面积/（104km2）

205

60

149

受灾人口/（104人）

1235

155

1726

死亡人口/（人）

1640

15

180

直接经济损失/（104元）

128529

7307

749386

1、给出水灾灾害损失评估的具体模型

2、按模型给出给定年份的灾害损失的具体评估步骤和实施过程：

（1）如何给定出评价因素的权重。

（2）评价因素的评价程度如何定量描述（隶属函数如何确定）。

（3）如何确定评价矩阵。

3、定出年分的灾害等级。

第二题

随着全国各高校招生规模的扩大，学生综合素质出现参差不齐的现象，为了确保大学生质量，更好的促进大学生教育的发展，构建一套科学合理的大学生综合素质评价体系已成为亟待解决的现实课题，请你建立一个合理可行的综合素质评价模型，并给出对某位学生的评价实例。

（下面是一个参考实例）

聘请20位长期从事学位与大学生培养工作的专家对某一位学生的政治素质、文化素质、创造素质和身心素质这四个考核项目进行评分，如下表

考核项目

考核指标

测评等级统计

优秀

良好

合格

不合格

总计

政治素质

学习态度

8

5

4

3

20

道德品质

12

3

2

3

20

集体观念

8

8

2

2

20

遵纪守法

9

5

2

4

20

创造素质

社会活动能力

10

4

4

2

20

创新能力

9

5

3

3

20

组织协调能力

11

2

3

4

20

身心素质

心理素质

15

2

2

1

20

身体素质

12

5

2

1

20

学习意识

10

5

3

2

20

文化素质

基础

课

外语

82

数学（3门）

90

平均成绩

政治（3门）

65

平均成绩

语文（2门）

75

平均成绩

计算机

84

专业课

专业课1

83

专业课2

75

专业课3

96

选修课

选修课1

65

选修课2

61

选修课3

60

建立模型，给出对此学生的评价结果。

提示：

1.如何确定政治素质、文化素质、创造素质、和身心素质的权重。

2.用什么方法对数据进行处理，进而得到评价矩阵

3.如何确定每种评定素质中各“考核指标”权重

4.如何将评价结果数量化，给出对考核对象的定量描述。

第四题：

研究生考试已经结束，现将我院三年的统计成绩统计给你，请你对所得到的数据进行定量分析（相应所需比较数据自己从网上搜索），根据数据信息，给出我院考研情况的整体分析，包括对学生的建议，对领导以建议等，相当于一个研究报告。

第五题：

以下是四川地区的地震数据资料，请你根据数据，给出对地震烈度的预测方法，并对方法进行适当的评价。

数学建模选题（三）

方程作业

1、若用

表示

时刻某范围内一种群的数量或密度，当种群数量较大时，我们将

看作

的连续函数，则

的变化与出生、死亡、迁入、迁出等因素有关.若用

分别表示种群的出生率、死亡率、迁入率、迁出率，则种群数量或密度变化的一般模型是：

（7）

其他模型都是根据这个原理建立的.

试通过数学建模的方法，建立数学模型讨论不同模型对人口的影响以及各模型的优缺点，查阅相关数据试讨论中国人口未来的情况。

2．战争的预测与评估问题

目前，在超级大国的全球战略影响下，世界并不太平，国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成的局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，从而导致了地区性的紧张局势和潜在的战争威胁。

在这种情况下，必然会导致敌对双方的军备竞赛，在一定的条件下就会爆发战争。

随着高科技的发展，军事装备现已成为决定战争胜负重要因素。

这里我们所说的军事装备是指军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等。

现代条件下的战争，一般都是多兵种的协同作战，所谓的多兵种就是综合使用陆、海、空、导弹、空降等兵力和相应的武器装备去完成不同的战争任务。

由于每一兵种和相应的武器装备都有各自的优势和相应的适合攻击的目标。

因此，现代战争的结局在很大程度上取决于是否能够广泛合理地利用诸兵种地合成部队协同作战，在战争中争取保证一定优势，尤其是在“制空权”和“制海权”的优势，这是现代战争的一大特点。

另一方面，现代战争往往是根据不同兵种的特点，可以在不同的区域参加战斗，即一场战争可以在不同几个区域同时展开，都对战争的结果产生一定的影响。

现在要求建立数学模型讨论以下问题：

（1）分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的互相关系进行讨论；

（2）在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析。

●3、（餐厅废物的堆肥优化问题）

一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。

餐厅每天将剩余的食物制成