线性代数习题.docx

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线性代数习题

线性代数（经管类）综合试题一

（课程代码4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

⅛1⅛ι⅛

-2⅛13⅛1-au<⅜⅛

¾1¾z¾3

1.设D=

¾1¾2‰

=M≠0则D1=

-吗13¾l~¾2¾

2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=C,则

满足

3.设A,B均为n阶方阵，则

A.|A+AB=0,则AI=O或∣E+B=OB.（A+B）2=A2+2AE+B2

C.当AB=O时，有A=O或B=OD.（AB-I=B1A1

帖,则下列说法正确的是（B）.

A.若两向量组等价，则S=t.

B.若两向量组等价，则「円吗耳）=r（久几厂讷）

C.若S=t，则两向量组等价.

D.若r（qd"耳）=r（A∕p0）,则两向量组等价.

6.向量组ffιff2^Tq线性相关的充分必要条件是

（C）•

A."1吗耳中至少有一个零向量

B.坷IEATq中至少有两个向量对应分量成比例

C.坷、E严―El中至少有一个向量可由其余向量线性表示

D.曾可由ffPfl2∙aA线性表示

7•设向量组fllfl2Λ有两个极大无关组环咯心与◎丹H,则下列成立的是（C）.

A.r与S未必相等B.r+S=m

C.r=SD.r+S>m

8.对方程组AX=b与其导出组AX=o,下列命题正确的是（D）.

A.AX=o有解时，AX=b必有解.

B.AX=o有无穷多解时，AX=b有无穷多解.

C.AX=b无解时，AX=o也无解.

D.AX=b有惟一解时，AX=o只有零解.

i

2j⅞+ι⅞-ι⅛=0⅞+fa⅛=°

沁幻Gl有非零解，则k=（D）.

A.2B.3C.-1D.1

10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（D）.

B.

A.∣A∣>0

C.负惯性指标为零

存在n阶方阵C使A=CTC

D.各阶顺序主子式均为正数

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2，0，1,它们的余

子式的值依次为5，3,-7,4,贝SD=-15.

12.若方阵A满足A2=A,且A≠E,则IH=O.

∖Λ∖=-

13.若A为3阶方阵，且，则∣2H=4.

flO-1P

A=2-1-26

14.设矩阵W1'4丿的秩为2,则t=t=3.

15.设向量1=（6,8,0）,P=（4,-3,5）,则（〃）=0•

16.设n元齐次线性方程组AX=o,r（A）=rVn,则基础解系含有

解向量的个数为n-r个.

17.设坷=（1,1,0）,ffI=（0,1,1）,=（0,0,1）是R的基,

则"=（1,2,3）在此基下的坐标为（1,1,2）.

18.设A为三阶方阵，其特征值为1,-1,2,则A2的特征值为

114.

19.二次型f缶円对=2彳+3#-U-4硒+2jy⅛的矩阵

r2-2L

-231；

O1-L

A=.

123>

024

20.若矩阵A与B=Io0

3J相似，则A的特征值为1,2,3

二、计算题（本大题共

6小题，每小题9分，共54分）

l÷x1

1

I

1I-X

1

1

l+χ

1

I

I

l÷r

I

I

1

斛：

I

∖-x

I

t

-X

-X

0

O

I

I

l+y

I

=

1

I

I

卜

V1

I

I

1

I-

V

0

0

-

-V

一Iy

l+Jt

I

0

0

.v

0

Q

0

1

I

U

1]

I

I

（J

0

Iiv

Λ-V

=

0

0

l+.V

I

0

υ

V

0

0

1）

]

1

0

0

1

1

X

『2、

*R=

3

丿

◎

22.解矩阵方程:

rI1-f

-211

X=

3

J11丿

「I1-1Io（T

∩I-1IOM

PJ为

-21IOIO

>

（）3-12I0

IIIOolJ

J）02TO打

23求向量组"1=（1,1,2,3）,ff2=（—1,—1,1,1）,%=（1,3,3,

5）,ffI=（4,—2,5,6）的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.

rl-

-1

I4、

卩■

-1

1「

f∙f∙Ir⅛i.

I

-1

3-2

Q

Q

2-6

∖aaaa.）=

->

T

*Ei

I

35

0

3

】-3

I

56】

<θ

4

2F

rι-ii

4'

Γ1-1

I

4?

rιo

υ厂

002

-6

01

1

-3

OI

O0

T

—►

O1I

-3

OO

1

—3

OO

1-3

WQ-2

5

W0

0

W0

0o>

ΓZrl-x2+x5+ι4=1

Uxl+2x2-x3÷+x4=2

24.a取何值时，方程组

Lj⅛÷7i2-4j⅛+1⅛4=α有解？

并求其通

解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）

24.解：

対方程组的增广矩网池以初轴行变换「

<2

—J

I

1|>

rI

2

-I

42?

A=

I

2

-1

42

→

O

-5

3

-7-3

7

-4

11aj

5

-3

7«-2；

12

-1

4

—

→O-53-7-3

OoOO£i_»

若方阳fl有解•则r（A）=r（A）.故“5.

当“5时.继续施以初等行变换紂:

I

6

4A

I

0

—

5

5

5

3

7

3

A→

O

I

^5

5

5

O

0

O

0

0

<

/

I

M*

原方程组的同解方程组为:

6

；丹儿为口由未知fit

令Xj=Xl=O,得原方ft!

组

5

的-个待解：

I

0

O

16

与导出组同解的方程组为：

37•心兀为口曲未知

[∏兀

令卸分叫用）

•御到导出组的基础解系:

5

"5

3

_7

5

•

I

0

6

<»>

•所以•方出组的仝部解为:

其中∙G∙C2为任意常数.

200

12-I

25.已知II01丿,求A的特征值及特征向量，并判断A

能否对角化，若能，求可逆矩阵P,使P-AP=Λ（对角形矩阵）.

25,斛；WiAtrJ抽彻余顶式为;

所tLA的特SEIH⅛rZi=Zl=2t⅜»L

对TΛ=^=2÷求齐次线件方程组QE、A）Jr=O的垄础無系*

而如P⅛A的对应丁特征C⅛⅜-⅛-2的全部特征向量为，

Jl0吗

rI

0

（T

E-A=

-I-1I

T

0

I

-L

厂I06

0

0丿

从而知

再基础解系:

I

对丁召=I・求齐次绞竹⅛程级（E-』肚="的AL础斛系*

fθ>

的村国T⅛征他λi=I的金部特征向hiΛ=C1（C≠0）,

因为二阶刘淌A自三个线件无关的特祉［∏jffi1.0.1

PI（T

（I.0（Γ

所必A相似丁-对,∏P=

1U!

、h=

020

WIJ

26.用配方法将下列二次型化为标准形:

/（rpr1,ι3）二彳十2*-U+4r1x2-4曲-4jy⅛

2召”解Zf（Xl,‰pλ,1】=.rl'+2x；-.r'+4.vlxπ-4.tl.r1-4λ∖Λj

=Llf+4.rl（.t,-λ,）+4（.‰-λ,j1-4（λp2-JJ+2.⅛√-λ∖-4Λp2.ri

=（Jfl+2.ι∖-2兀$-2兀+4.vja∖-5.<ι

-（Jf1+2it；2x^）z-2（λ;2xrι⅛+.τ{）■Av,

二（λ∣+2.τ⅛—2JfJI）--2（Tj-.Y1）'-3臥.

yf=xl÷2λ2-2心IA严Jrl-Iy1

得2次料的标准册为:

y≈2y√-3√.

四、证明题（本大题共6分）

27.设向量=IJ）^=（IJJXaJ=（OΛl），证明向量组

°↑tlieLi是R3空间中的一个基.

J】O

I11）

勿证'因为

MIO

≡

020

=2≠O»

I】I

UO1

所以α1,α2Ia）线性无关

线性代数（经管类）综合试题二

（课程代码4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分

21O

131

1.若三阶行列式k21=0,（C）.

A.1B.0C.-1D.-2

2.设A、B为n阶方阵，则（•個）'才刃成立的充要条件是

（D）.

A

-

A

4.

C.

q

I

1、

1

2

1

阵

<2

3

24-1；

JC

矩

的秩为

3.设A是n

阶可逆矩阵

A*是A的伴随矩阵，则

（A）.

（B）.

D.

C.0

-1

5.设3×4矩阵A的秩r（A）=I，圧化Jr是齐次线性方程组Ax=O的

三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为

（D）.

A.订EPB.ArJ尸

C.庄严/7Jf赵D.r

6向量叫珂1,2,乂叫=（2,乙2）IaJ=（3』R）线性相关,则

（C）.

A.

k=-4

7.设uι,U2是非齐次线性方程组

（B）.

导出组AX=o的解，则有

A.A的行列式等于1B.A的秩等于n

C.A的逆矩阵等于ED.A的特征值均为

（D）.

二、填空题

（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每

（A）.

小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

16.如果方程组

17.设向量"-％2）与正交，则a=_2

丿，写出矩阵A对应的二次型

÷xlx,-3λ1λt

12.设A为三阶方阵，且∣A∣=4,则∣2A∣=32,

Jl10、

rI13

002

022

Jl-1<Γ

IJ0

13.设A=

I002丿

B=

®0J

则ATB=_

2

f-2-∩

14.设A=H

-2J

则A1=

A2J

15.向量（J厶习表示为向量组"1（1„^£丄（QI〉°）〉

与=QQD的线性组合式为E=P+⅛+5£

3⅛1+x2-X3—0

SXl+5x2-2j⅛=0

19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=

-IJ

相似，则A=—E.

4j⅛+Jb⅛=0有非零解，则k=_-1

20.设实二次型/U円）的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正

惯性指数为3,则其规范形为

I

Q

O

O

、■

O

.V

O

υ

Il

=（λ+3y∏Λ-y）

（P

rlD

I

O2

3J

B=

2IJ

f∖-1

-12

22.设矩阵A=I22

求矩阵A1B.

f1-1

01

00'

U-I

0

I

00]∣

（4£）

-I2

I0

10

T

01

I

I

1D

∖*r4p

3O

0L

卩4

3

-2

0J

fl-I

0

10

0

q

0

0

-4

-3

→

0

I

I

】1

0

→

0

1

0

-5

一3

{）

I

b4

-I

丿

W

0

I

6

斗

J

-3

1'

A

-I—

-5

-3

I

■

<6

斗

-L

广Y

-3

1）

rI

I

r_2

_9〕

AIfl=

5

-3

1

0

2

=

—3

-1（}

4

^1>

1

打

13J

3i

23.设矩阵

-2

求k的值，使A的秩r（A）分别等于

2i.

1,2,3.

解:

Mlk=2吋*A→O

〔0

$

-3・mA的欣心匸2：

『I-23P

卩^2朮}

A=

-IIk-3

>

02⅛-23⅛-3

⅛_23

IO2*73-3k'∖

rI-2

⅛、

卩-2

3A]

02⅛-2

3Jt-3

→

0Jt-I

Jt-I

<00

6-3⅛-3Jt∖

Lo0

（⅛+2）（i—I）J

/1-23T

⅛⅛≠1M⅛≠-2ffj∖A→0II*和阵>1的ftr（A）=3.

1

2

3

3

，吗=

7

Λ

J3J

f2>

4

Oλ=F10

αo丿的秩和一个

极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示

24,解：

將所给列向即构成矩阵儿然后实Jfc初傳行变换;

f∖[

1

1

⅛i

I

3

4

q

0

1

1

I2V

⅜⅛.⅜⅛l

（αlα2α1αj=

}

3

7

10

→

0

2

■

6S

J

4

13

20；

<0

3

1218∣

仃丨丨P

仃11D

II

fIOO2>

0122

0122

OIo-2

-►

→

0024

00J2

00I2

.00）2；

IoOOOJ

|：

J

L（J000J

所L人向伏旳的1）=3.向时绍的一令极丈无比的1为:

a.a.a*Il-二2α-2a：

卡2αl.

Fjq+2x2-2j⅛÷3x4=0

2j⅛+3x3-j⅛+2x4=0

25.求线性方程组ILXl+3¾-5j⅛+7习=0的基础解系，并用基础

解系表示其通解.

U2-23'

fl2-23y

U2-2丁

4=

23-12

→

0-13M

T

01-34

U一7；

WI与4」

000>

与乐力伽咖的方伽为；F产*"热

W小炖为口IlJ来⅛ιι

P1AP=A

26.解：

购耳A的特制名顶式为=

IlT^1∣

Al=-1A-I-I=Λ-（Λ-3）・

得矩倒A的所有特征值为’Λ=Λ=O人-3.

对『人=2、=O・求⅛"程组（OE-A）X=A的it础解糸.

Jl-I-Γ

-I_1-1

—>

1]P

00（}

•得基础解系为码=

Jp

I

耳=

fr-p

0

L-I-I-1；

W0E

3

b.

rJ

（j

→

0

I

-3

4

0

0

0；

⅛Γ∣,≠il的逋解九’

5・门为任倉常数〉

Irl1Γ

A=IlI

26.已知矩阵IIIu,求正交矩阵

P和对角矩阵Λ,使

（∩

（I[

1〕

1

^√2

P

]

β:

=

1

2

I

、>

.再标准优*紂；γl-

1

0

IJ

扎=

I

■爲

2

<石J

X-JTΛl-3⅛?

方秤组卩E-AM=6

O

则P是正交nPAP^a

3J

Ooo

J-}

f⅞ΓL

Zrl^L⅝

≡

4

t

I73—3—73

172

-

（2-I-Γ

■12―1

→

U0-Γ

01-【

・方锐生的⅛KU⅛fr系畑亠

T

1

曰-IJ

OoO,

四、证明题（本大题共6分）

27.设向量组a↑aL'Λ线性无关，证明：

向量组⅛fli+⅜flif¾++¾÷-+¾也线性无关.

2λiiFi令

ka+⅛1<αl+tfj+ijα1+σ+αj+^+Λι（α+空：

+…+肛」=“∙

曬理得;

（Al+⅛+..√+⅛）αl+（A2+Jt1+w+tjr⅛f.÷.j.+（⅛a.i+JkBXrIH+⅛1αr=0

Λl=0⅛1-0

因为禺-塔十”◎.线件无关■所以

ki+k,+’“+JlιI+⅛i=0

ki+Jh+.t,+⅛=Q

*■解祗1

⅛,=0

⅛-ι÷⅛=°

∣⅛⅛α.λ+βt∙.α∣+Oft+αi,1..,Λl+a,+...÷λ线件无关,

线性代数（经管类）综合试题三

（课程代码4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1•当（D）成立时，咻＞2）阶行列式的值为零.

A.行列式主对角线上的元素全为零

n（n-1）

C.行列式至少有一个（RT）阶子式为零

D.行列式所有（RT）阶子式全为零

下列结论必

（B）.

然成立的是

2.已知XJAe均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E,则

A.ACE=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E

3.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）.

C.（ABT=ABT

D.

4.下列矩

阵不

（B）.

PD

A.I1OJ

B.

卫IJ

∖（ABY

乍丄

⑷I

是

初等矩阵的

是

Ifl0>

rlOy

C.

』2J

D.

?

1丿

5.设tl↑ai-A是4

（D）.

维向量组，则a↑aιjk

A.（AB-I=A1B1B.（A+B）-1=A1+B1

A.线性无关

B.至少有两个向量成比例

C.只有一个向量能由其余向量线性表示

D.至少有两个向量可由其余向量线性表示

6.设A为m>

7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3,又

OI-（L⅞V）∖¾-（⅞3Λ5）r是Aχ=b的两个解则Aχ=b的通解是（D）.

A.（123丿『IB.34I紅123M

C.（IJJJ）J仪234）「D.（12诃｛I（∣JΛl）r

8.如果矩阵A与B满足（D）,则矩阵A与B相似.

A.有相同的行列式

B.有相同的特征多项式

C.有相同的秩

D.有相同的特征值，且这些特征值各不相同

9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是（D）.

A.∣A∣>0B.A的每一个元素都大于零

C.X"）"D.A的正惯性指数为n

10.设A,B为同阶方阵，且r（A）=r（B）,则（C）.

A.A与B相似B.A与B合同

C.A与B等价D.∣A=∣B

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每

小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1

2

3

4

-1

0

3

4

-1

-2

0

4

11.行列式

-1

-2

-3

O

24

12.设A为三阶矩阵，∣A∣=-2,将矩阵A按列分块为

A-（AlIAbA^,其中已（jT,2J）是A的第j列，

b=（4-¼5⅛j4）,则IBI=—.

1-f

B=U。

丿，则X=_

（1（P

13.已知矩阵方程AX=B,其中A=I2IJ

14.已知向量组⅛=（⅛,ι,⅛¾=（i*hft¾≈OJJ）的秩为

2,贝yk=-2.

15.向量在二①厶-U）的长度虚=根号15.

16.向量”-（厶-在基坷二二（I丄O）Tfl⅛Z=（IQO）下的坐

标为（3,-4,3）.