届石家庄二中内部卷数学理试题含答案.docx
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届石家庄二中内部卷数学理试题含答案
石家庄二中高三年级数学热身考试(理科)
时间120分钟满分:
150分
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,有且只有一项符合要求)
3-x2
1.已知集合M={y|y=x2-1,x∈R},集合N={x|y=},则MIN=()
2
A{(-
1),(
1)}
B{-,
1}
C[-1,]D∅
2
2
2
3
2.已知z是纯虚数,z+2是实数,那么z=()
1-i
A.2iB.iC.-i
D.-2i
3.使不等式|x|≤2成立的一个必要不充分条件是()
A|x+1|≤3
B|x+1|≤2
Clog2(x+1)≤1
D1≥1
|x|2
4.在可行域内任取一点(x,y),如果执行如下图的程序框图,那么输出数对(x,y)的概率是()
AπB
8
πCπDπ
462
5题图
5.具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最小的几何体的表面积为()
A13B7+3
4
C7πD不能确定
2
2
π
6.若cosα=-,α是第三象限的角,则sin(α+)=()
54
A-72
10
B
72
10
C-2D2
1010
7某学生在一门功课的22次考试中,所得分数如下茎叶图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()
A117B118C118.5D119.5
π⎡ππ⎤ππ
8.函数f(x)=2cos(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<
)在区间⎢-
⎥上单调,且f(-
)≤f(x)≤
f()恒成立,
2
则此函数图象与y轴交点的纵坐标为()
⎣36⎦36
2
A1B
CD6+
3
2
2
9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD上的动点,PE⊥A1C于E,且PA=PE,则点P的轨迹是()
A线段B圆
C椭圆的一部分D抛物线的一部分
22uuuruuuruuur
10.双曲线x-y
=1右焦点为F,P是双曲线上一点,点M满足|MF|=1,MF⋅MP=0
916
uuur
则|MP|最小值为()
3
2
A3B2CD
x
11.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=
程f(x)=kx+k(k∈R)有4个根,则k的取值范围是()
,那么在区间(-1,3)内,关于x的方
A0 46 B0 4 C0 46 D0 4 1* 12.已知正项数列{an}的前n项和为Sn满足: 2Sn=an+(n∈N an ),若 f(n)=1+1 S1S2 +1+L+1 S3Sn ,记[m]表示不超过m的最大整数,则[f(100)]=() A17B18C19D20 第II卷(非选择题共90分) 二、填空题: (本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 1-x2 6 12⎡π1⎤ 13.已知a=⎰-1 (3x+ )dx,则⎢⎣(a-2)x-x⎥⎦展开式中的常数项为。 14.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-1]=2,则 x f (1)的值是. 5 15.已知直线y=kx-2(k>0)与抛物线C: x2=8y相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB| , 则k=。 1 16.设正数数列{an}的前n项和为bn,数列{bn}的前n项积为cn,若bn+cn=1则数列{}中最接近 an 2020的数是。 三、解答题: 本大题共6小题,共70分,解答适应写出文字说明,证明过程或演算步骤.将解答过程写在相应答题区域,答在区域之外的判作无效. 17.(本题12分)已知公差不为零的等差数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,满足2S2=a2(a2+1) 且a1,a2,a4成等比数列。 (1)求数列{an}的通项公式; an (2)设bn=an+1g2 ,求数列{bn}的前n项和为Tn. 18.(本题12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC A1 P A M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上,且A1P=λA1B1 (Ⅰ)证明: 无论取何值,总有AM⊥PN; =1,AB⊥AC, (Ⅱ)当 取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大? B1C1 并求该角取最大值时的正切值. (Ⅲ)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面M 角为300,若存在,试确定点P的位置,若不存在,请说明理由. BNC 所用时间(分钟) [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) 人数 25 50 15 5 5 19.(本题12分)某公司共冇职工8000名,从中随机抽取了100名,调查上、下班乘车所用时间,得下表: 公司规定,按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴,补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系 是y=200+40[ t],其中[t 2020 ]表示不超过[t 20 ]的最大整数.以样本频率为概率: (I)估算公司每月用于路途补贴的费用总额(元);(II)以样本频率作为概率,求随机选取四名职工,至少有两名路途补贴超过300元的概率. 20.(本题12分)已知中心在坐标原点O,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1). (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线l平行于OM,且与椭圆交于A、B两个不同点,连接(或延长)MA,MB分别交x轴于点 S(s,0),T(t,0),探求s+t是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由. 21.(本题12分)已知函数f(x)=ex-kx2,x∈R. 1 (1)若k=,求证: 当x∈(0,+∞)时,f(x)>1; 2 (2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求k的取值范围; (3)求证: (2+1)(2 +1)(2 +1)L(2 +1) 142434n4 请考生在第22~23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线 ⎧ ⎪⎪x=5+ l的参数方程为⎨ ⎪y=1t 3 t 2(t为参数). ⎩⎪2 ⑴求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程; ⑵设曲线C与直线l相交于P、Q两点,以PQ为一条边作曲线C的内接矩形,求该矩形的面积. 23.(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲设函数f(x)=|2x-m|+4x (1)当m=2时,解不等式f(x)≤1; (2)若不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤-2},求m的值。 石家庄二中高三年级数学热身考试(理科)答案 一、选择题 3 3 1~5CDABB;6~10.ABAAC;11~12BB 3 1.C【解析】QM=[-1,+∞),N=[-, ],∴MIN=[-1, ],故选C. 2.D【解析】设z=ai(a∈R,a≠0),∴z+2=2+ai=(2+ai)(1+i)=2-a+a+2i.Qz+2是实 1-i 1-i (1-i)(1+i)22 1-i 数,∴a+2=0,即a=-2,∴z=-2i,故选D. 3.A【解析】易知|x|≤2⇔-2≤x≤2,|x+1|≤3⇔-4≤x≤2,|x+1|≤2⇔-3≤x≤1, 11|x|-2⎧x≠0 log2(x+1)≤1⇔-1 |x|2 2|x| ≤0⇔ ⎨⇔-2≤ ⎩|x|-2≤0 x<0或0 所以使不等式|x|≤2成立的一个必要不充分条件是-4≤x≤2,故选A.y 1 ⎧-1≤x+y≤1 ⎩ 4.B【解析】不等式组⎨-1≤x-y≤1 与x2+y2≤1 2 -1O1x 确定的平面区域分别是正方形和圆如图所示,它们的面积 分别为2和π,所以输出数对(x,y)的概率为p=π,故选B.-1 24 2 5.B【解析】该几何体可能是四棱柱、水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱,体积最小的几何体为三棱柱, 高为3、底面为腰长为1的等腰直角三角形,其表面积为2⨯1⨯12+(1+1+ 2 )⨯3=7+3 2 π ,故选B. 6.A【解析】Qα是第三象限的角,cosα=-4,∴sinα=-3,则sin(α+)=-72 55410 7.B【解析】极差=98-56=42,中位数=76+76=76,所以极差与中位数之和为118,故选B. 2 ππ2π 8.A【解析】由题意知T =π-(- )=,即T=π,∴ω==2,即f(x)=2cos(2x+ϕ) 2632T ππππ 因为x=π时,f(x)取得最大值,所以 6 π f()=2cos( 63 +ϕ)=2,即cos( 3 +ϕ)=1,Q|ϕ|<, 2 ∴ϕ=-π,即f(x)=2cos(2x- 3 ),∴f(0)=1,故选A. 3 9.A【解析】连结A1P,可证∆A1AP≌∆A1EP,即A1A=A1E,即点E是体对角线A1C上的定点,直 线AE也是定直线.QPA=PE,∴动点P必定在线段AE的中垂面α上,则中垂面α与底面ABCD的 交线就是动点P的轨迹,所以动点P的轨迹是线段. C1 A E P y P M O F g x 10题图 A1D1 B1 D BC 9题图 uuuruuur 10.C【解析】F(5,0),点M的轨迹是以F为圆心、1为半径的圆。 QMF⋅MP=0,MP与圆F相切. |PF|2-1 由|MF|=1得|MP|=,即当|PF|最小时,|MP|也最小.当点P为双曲线的右顶点时,|PF| 3 最小,此时|PF|=2,|PM|=,故选C. 11.B【解析】因为直线y=kx+k过定点(-1,0),画出函数f(x)在(-1,3)的图像,要使方程 f(x)=kx+k(k∈R)有4个根,即直线y=kx+k和函数 f(x)在(-1,3)的图像有4个交点。 显然 0 4 x-2 ⎧y= 是这是不可能的。 因为联立⎨ ⎩y=kx+k ,得ky2-y+3k=0,得k= 3 3 3 或k=-(舍去),当k= 666 时,解得x=5∉(2,3)。 所以0 4 1 12.B【解析】当n=1时,2a1=a1+,Qa1>0,∴a1=1。 n a1 当n≥2时,由2S =a+ 1,及a =S-S 得,S2-S2 =1,则S=。 a nnnnn-1 n nn-1n ∴f(n)= 1+1 S1S2 +1++1 S3Sn =1+1 +1+L+1。 2 3 n n 2n n+n-1 n n-1 又当n≥2时,1=2<2=2(-) 2 ∴f(100)<1+2( -1)+2(- )+L+2( -99)=1+2( -1)=19 3 2 100 100 n 2n n+n+1 n+1 n 3 2 101 101 对于n∈N*,1=2>2=2(-) 2 ∴f(100)>2[( -1)+(- )+L+( -100)]=2( -1)>18 ∴[f(100)]=18。 二、填空题: 13.-160【解析】易求⎰ 1 13x2dx=2,⎰ 1-x2 )dx=π⨯12 ⨯1=π 22 1-x2 -1-1 11 a=⎰(x2+ 1-x2 1 )dx=2⨯1+⎰ )dx=2+π∴ ⎡(a- π1⎤ 6 )x- =(2x-1)6 -13 ∴ r (2)6-r( -1 1)rr26-r (1)r 6-2r 2⎢⎣2 x⎥⎦x Tr+1=C6x -=C6-xx 6 ∴令6-2r=0∴r=3∴常数项为C326-3(-1)3=-160 14.6【解析】因为f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,故可设f(x)-1=t,即f(x)=1+t。 由 xx f[f(x)-1]=2,得f(t)=1+t=2,所以t=1,由此可知f(x)=1+1,所以f (1)=6。 xtx5 2 3 15. 4 【解析】设,则,代入,得,∴, ∴,∴. 16.1980【解析】b= cn,∴cn +c=1整理得1-1 =1, nn cn-1 cn-1 cncn-1 由b1=c1=a1且b1+c1=1得c1= 1∴1=1+(n-1)⨯1=n+1 1∴b=n 2cn ∴a=n c1 -n-1=1 ∴cn= n+1 nn+1 nn+1 nn2+n 从而1=n2+n因为442+44=1980,452+45=2070,所以填1980. an 三、解答题 ⎧⎪2S2=a2(a2+1) ⎧a1 +2a1d+d =3a1+d 17.解: (1)设等差数列的公差为,由题得: ⎨ ⎪a2=aa 22 整理⎨ a=d ⎩214⎩1 解得a1=d=1,所以an=n-------------------------------------------------------------6分 (2)由 (1)得bn =(n+1)2n 123n 则Tn=2⨯2+3⨯2+4⨯2+L+(n+1)⨯2 2Tn =2⨯22+3⨯23+4⨯24+L+(n+1)⨯2n+1 两式做差整理得: Tn =ng2n+1----------------------12分 111 18.解: 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A1(0,0,1),B1(1,0,1),M(0,1,),N(,,0) 222 ,, C N (1)∵,∴ ∴无论取何值,AM⊥PN-------------------------------4分 ur (2)∵m=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量。 ∴sinθ=|cos uruuur1 (λ-1)2+5 24 m,PN|= 1 ∴当λ=时,θ取得最大值,此时sinθ= 2 5 5 2,cosθ=1 tanθ=2.------------------------------8分 (3)设存在,,设是平面PMN的一个法向量。 则得令x=3,得y=1+2 z=2-2 ∴ ∴|cos< >|=化简得4 ∵∆=100-4⨯4⨯13=-108<0,∴方程(*)无解 ∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º-------------------------------12分 19.(Ⅰ)记一名职工所享受的路途补贴为X(元). X的可能值为200,240,280,320,360.X的分布列为 X 200 240 280 320 360 P 0.25 0.5 0.15 0.05 0.05 X的均值为E(X)=200×0.25+240×0.5+280×0.15+(320+360)×0.05=246.----------5分 该公司每月用于路途补贴的费用总额约为 E(8000X)=8000E(X)=1968000(元).-------------------------------7分 (Ⅱ)依题意,当60≤t≤100时,y>300. 1名职工中路途补贴超过300元的概率p=P(60≤t≤100)=0.1,--------------------------------8分记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A,则 P(A)=C2×0.12×0.92+C3×0.13×0.9+0.14=0.0523.----------12分 44 22⎧a=2b xy 20. (1)设椭圆方程为+ a2b2 =1(a>b>0),则⎪41 ⎨ +=1 ,解得a2=8,b2=2 ⎪⎩a2b2 x2 所以椭圆方程为 y2 +=1.-----------------------------------4分 82 ⎧1 ⎨ (2)设直线l的方程为y=1x+m,由⎪y=2x+m 消去y得x2+2mx+2(m2-2)=0 ⎩ 2⎪x2+4y2=8 依题意可知,∆=4m2-8(m2-2)>0,即-2 2 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=2(m 易知直线MA,MB的斜率存在,分别记为k1,k2,则有 -2)----------------------------8分 k=y -1= 1+m-1 =1+m y2-11m x 1 1 2 12,同理k ==+ x1-2 x1-22 x1-2 x2-12 x2-2 ∴k+k =y1-1+ y2-1=1+m⋅(1+ 1)=1+m⋅ (x1+x2)-4 12 x1-2 x2-1 x1-2 x2-2 x1x2-2(x1+x2)+4 =1+m⋅ -2m-4 2(m2-2)+4m+4 =0-------------------------------------------10分 所以直线MA,MB的倾斜角互补,故直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.可知S,T关于直线x=2对称,则s+t=4为定值--------------------------------------12分 21.解: (1)f(x)=ex-1x2,则h(x)=f'(x)=ex
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