二年级奥数.docx
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二年级奥数.docx
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二年级奥数
1,、一个数加上8,乘以8,减去8,除以8,结果还是8,求这个数?
逆推.从最后结果8开始:
不除以8时,应是8×8=64;
不减去8时,应是64+8=72;
不乘以8时,应是72÷8=9;
不加上8时,应是9-8=1;
所以,可知此数为1.
2、张阿姨和李阿姨合买了一筐苹果,连筐一共是20公斤.张阿姨从筐中取走10公斤,空筐重1公斤.问李阿姨 买到苹果多少公斤?
合多少克?
阿姨买到苹果:
20-10-1=9(公斤)
1000克×9=9000克
答:
李阿姨买到苹果9公斤,合9000克.
3、 有一个老妈妈,她有三个男孩,每个男孩又都有一个妹妹,问这一家共有几口人?
全家共有5口人.妹妹的年龄最小,她是每一个男孩的妹妹.如果你列出算式:
1个妈妈+3个男孩+3个妹妹=7口人那就错了.
例1 大、小二数之和等于10,之差等于2,求二数.解:
依题意,列等式,并把等式两边分别相加.
得:
大数=12÷2=6小数=6-2=4.
例2 已知:
□+△=10□-△=2求:
□=?
△=?
解:
根据等式两边分别相加,结果仍相等,有
得:
□=12÷2=6再将□代入
(1)式得:
6+△=10
①[注]+)表示等式两边分别相加.∴△=10-6=4
例3 已知:
□+□+△=16□+△+△=14 求:
□=?
△=?
解:
根据等式两边分别相加,结果仍相等,有
或3×(□+△)=30得□+△=10.(3)
根据等式两边分别相减,结果仍相等,有
进一步(3)式+(4)式即
得□=12÷2=6把□的值代入(4)式:
得6-△=2
得△=6-2=4.
例4 已知:
□+□+△+△+△=21□+□+△+△+△+△+△=27求△=?
解:
将两个等式改写为2×□+3×△=21
(1)2×□+5×△=27
(2)
(2)-
(1)得:
2×△=27-21=6得△=6÷2=3.
例5 小明买1支铅笔和2块橡皮共用去2角4分钱,又知1支铅笔比2块橡皮贵4分钱.问小明买的铅笔每支多少钱?
解:
先列出下列等式:
1支铅笔+2块橡皮=24
(1)1支铅笔-2块橡皮=4
(2)
(1)+
(2):
2支铅笔=281支铅笔=14(分)=1角4分.
例6 在一次数学考试中,小玲和小军的成绩加起来是195分,小玲和小方的成绩加起来是198分,小军和小方的成绩加起来是193分.问他们三人各得多少分?
解:
列出下列等式:
小玲+小军=195
(1)小玲+小方=198
(2)小军+小方=193(3)
将三个等式的左边和右边各项分别相加,得:
2×(小玲+小军+小方)=586 即小玲+小军+小方=293(4)
由(4)式-
(1)式得小方=293-195=98
由(4)式-
(2)式得小军=293-198=95
由(4)式-(3)式得小玲=293-193=100
可见小方得98分,小军得95分,小玲得100分.
4、计算下列各题:
1.4×135×252.38×25×63.124×254.132476×111
5.35×53+47×356.53×46+71×54+82×547.①11×11②111×111
③1111×1111④11111×11111⑤111111111×111111111
8.①12×14②13×17③15×17④17×18⑤19×15⑥16×12
9.①11×11②12×12③13×13④14×14⑤15×15⑥16×16
⑦17×17⑧18×18⑨19×19
10.计算下列各题,并牢记答案,以备后用.
①15×15②25×25③35×35④45×45⑤55×55⑥65×65
⑦75×75⑧85×85⑨95×95
11.求1+2+3+…+(n-1)+n之和,并牢记结果.
12.求下列各题之和.把四道题联系起来看,你能发现具有规律性的东西吗?
①1+2+3+…+10②1+2+3+…+100
③1+2+3+…+1000④1+2+3+…+10000
13.求下表中所有数的和.你能想出多少种不同的计算方法?
习题解答
1.解:
4×135×25=(4×25)×135=100×135=13500.
2.解:
38×25×6=19×2×25×2×3=19×(2×25×2)×3=19×100×3=1900×3=5700.
3.解:
124×25=(124÷4)×(25×4)=31×100=3100.
4.解:
132476×111=132476×(100+10+1)=13247600+1324760+132476=14704836.
或用错位相加的方法:
5.解:
35×53+47×35=35×(53+47)=35×100=3500.
6.解:
53×46+71×54+82×54=(54-1)×46+71×54+82×54=54×46-46+71×54+82×54
=54×(46+71+82)-46=54×199-46=54×(200-1)-46=54×200-54-46=10800-100=10700.
7.解:
①11×11=121②111×111=12321③1111×1111=1234321
④11111×11111=123454321⑤111111111×111111111=12345678987654321.
8.解:
①12×14=12×(10+4)=12×10+12×4=12×10+(10+2)×4
=12×10+10×4+2×4多次运用乘法分配
=(12+4)×10+2×4律(或提公因数)
=160+8=168
②13×17=13×(10+7)
=13×10+13×7多次运用乘法分配
=13×10+(10+3)×7律(或提公因数)
=13×10+10×7+3×7=(13+7)×10+3×7=200+21=221
发现规律:
求十几乘以十几的积的速算方法是:
用一个数加上另一个数的个位数,乘以10(即接着添个“0”),再加上它们个位数字的积.
用这个方法计算下列各题:
③15×17=(15+7)×10+5×7=220+35=255
④17×18=(17+8)×10+7×8=250+56=306
⑤19×15=240+45=285⑥16×12=180+12=192.
9.解:
作为十几乘以十几的特例,以下各小题的结果请牢牢记住:
10.解:
①15×15注意矩形框中
=15×(10+5)式子
=15×10+15×5
=15×10+(10+5)×5
=15×10+10×5+5×5
=(15+5)×10+5×5
=
=225
②25×25=25×(20+5)=25×20+25×5=25×20+(20+5)×5
=25×20+20×5+5×5(25+5)×20+5×5注意矩形框中
=
式子=625
发现规律:
几十五的自乘积就是十位数字和十位数字加1的积,再在其后写上25.
如15×15的积就是1×2再写上25得225.
25×25的积就是2×3再写上25得625.
用这个方法写出其他各题的答案如下:
③35×35=3×4×100+25=1225④45×45=4×5×100+25=2025
⑤55×55=5×6×100+25=3025⑥65×65=6×7×100+25=4225
⑦75×75=7×8×100+25=5625⑧85×85=8×9×100+25=7225
⑨95×95=9×10×100+25=9025
要牢记以上方法和结果.要知道,孤立的一道题不好记,但有规律的一整套的东西反而容易记住!
11.解:
有的同学问:
“n是几?
”
老师告诉你:
“n就是末项,你说是几就是几”.用头尾相加法求,自然数列的前n项之和.
12.解:
请注意规律性的东西.
①1+2+3+…+10=(1+10)×10÷2=55
②1+2+3+…+100=(1+100)×100÷2=5050
③1+2+3+…+1000=(1+1000)×1000÷2=500500
④1+2+3+…+10000=(1+10000)×10000÷2=50005000.
13.解:
方法1:
仔细观察不难发现把每列(或每行)的10个数相加之和按顺序排列起来构成一个等差数列,它就是:
55,65,75,85,95,105,115,125,135,145
∴总和=(55+145)×10÷2=1000.
方法2:
首先各行都按第一行计数,得10行10列数字方阵的所有数之和为55×10=550.但第二行比第一行多10,第三行比第一行多20,…,第十行比第一行多90.总计共多:
10+20+30+40+50+60+70+80+90=450.
所以原题数字方阵的所有数相加之和为:
550+450=1000.
方法3:
仔细观察可发现,若以数字10所在的对角线为分界线,将该数字方阵折叠之后,它就变成下述的三角形阵(多么巧妙!
)
20202020202020202010
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202010
2010
10
总和=20×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-100 =20×55-100=1000.
方法4:
找规律,先从简单情况开始
可见原来数字方阵的所有数的和=10×10×10=1000.看!
方法多么简捷;数学多么微妙!
例1 2×4×5×25×54
=(2×5)×(4×25)×54(利用了交换
=10×100×54律和结合律)
=54000
例2 54×125×16×8×625
=54×(125×8)×(625×16)(利用了
=54×1000×10000交换律和结合律)
=540000000
例3 5×64×25×125将64分解为2、4、8
=5×(2×4×8)×25×125的连乘积是关键一
=(5×2)×(4×25)×(8×125)步.
=10×100×1000
=1000000
例5 37×48×625
=37×(3×16)×625注意37×3=111
=(37×3)×(16×625)
=111×10000
=1110000
例6 27×25+13×25逆用乘法分配律,
=(27+13)×25这样做叫提公因数
=40×25
=1000
例7 123×23+123+123×76注意123=123×1;再
=123×23+123×1+123×76提公因数123
=123×(23×1+76)
=123×100
=12300
例8 81+991×9把81改写(叫分解因
=9×9+991×9数)为9×9是为了下
=(9+991)×9一步提出公因数9
=1000×9
=9000
例9 111×99
=111×(100-1)
=111×100-111
=11100-111
=10989
例10 23×57-48×23+23
=23×(57-48+1)
=23×10
=230
例11 求1+2+3+…+24+25的和.
解:
此题是求自然数列前25项的和.
方法1:
利用上一讲得出的公式
和=(首项+末项)×项数÷2
1+2+3+…+24+25
=(1+25)×25÷2
=26×25÷2
=325
方法2:
把两个和式头尾相加(注意此法多么巧妙!
)
想一想,这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗?
例12 求8+16+24+32+…+792+800的和.
解:
可先提公因数
8+16+24+32+…+792+800
=8×(1+2+3+4+…+99+100)
=8×(1+100)×100÷2
=8×5050
=40400
例13 某剧院有25排座位,后一排都比前一排多2个座位,最后一排有70个座位,问这个剧院一共有多少个座位?
解:
由题意可知,若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来,必是一个等差数列.
那么第1排有多少个座位呢?
因为:
第2排比第1排多2个座位,2=2×1
第3排就比第1排多4个座位,4=2×2
第4排就比第1排多6个座位,6=2×3
这样,第25排就比第1排多48个座位,
48=2×24.
所以第1排的座位数是:
70-48=22.
再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数:
和=(22+70)×25÷2
=92×25÷2
=1150.
形和数的密切关系,在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.
例1 最初的数和最简的图相对应.
这是古希腊人的观点,他们说一切几何图形都是由数产生的.
例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数,而且还区分了偶数和奇数,偶数用实心点表示,奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?
见下图所示,这个图又叫九宫图.
例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘.比如他把1,3,6,10,15,…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形,见下图.
毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律,发现每一个三角形数,都可以写成从1开始的n个自然数之和,最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.
第一个数:
1=1
第二个数:
3=1+2
第三个数:
6=1+2+3
第四个数:
10=1+2+3+4
第五个数:
15=1+2+3+4+5
…
第n个数:
1+2+3+4+5+…+n
指定的三角形数.比如第100个三角形数是:
例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数,见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形,因此它们最受
毕达哥拉斯及其弟子推崇.
第一个数:
1=12=1
第二个数:
4=22=1+3
第三个数:
9=32=1+3+5
第四个数:
16=42=1+3+5+7
第五个数:
25=52=1+3+5+7+9
…
第n个数:
n2=1+3+5+9+…+(2n-1).
四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方,也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.
例5 类似地,还有四面体数见下图.
仔细观察可发现,四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相加得到:
第一个数:
1
第二个数:
4=1+3
第三个数:
10=1+3+6
第四个数:
20=1+3+6+10
第五个数:
35=1+3+6+10+15.
例6 五面体数,见下图.
仔细观察可以发现,五面体的每一层的圆点个数都是四角形数,因此五面体数可由几个四角形数相加得到:
第一个数:
1=1
第二个数:
5=1+4
第三个数:
14=1+4+9
第四个数:
30=1+4+9+16
第五个数:
55=1+4+9+16+25.
例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数,可以得出一系列等式,进而可猜想到一个重要的公式.
由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.
方法1:
先算空心点,再算实心点:
22+2×2+1.
方法2:
把点图看作一个整体来算32.
因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:
22+2×2+1=32.
方法1:
先算空心点,再算实心点:
32+2×3+1.
方法2:
把点图看成一个整体来算:
42.
因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:
32+2×3+1=42.
方法1:
先算空心点,再算实心点:
42+2×4+1.
方法2:
把点图看成一个整体来算52.
因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:
42+2×4+1=52.
把上面的几个等式连起来看,进一步联想下去,可以猜到一个一般的公式:
22+2×2+1=32
33+2×3+1=42
42+2×4+1=52
…
n2+2×n+1=(n+1)2.
利用这个公式,也可用于速算与巧算.
如:
92+2×9+1=(9+1)2=102=100
992+2×99+1=(99+1)2
=1002=10000.
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