高中数学 第三章 基本初等函数Ⅰ33 幂函数教案 新人教B版必修1.docx
- 文档编号:6548031
- 上传时间:2023-01-07
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:355.80KB
高中数学 第三章 基本初等函数Ⅰ33 幂函数教案 新人教B版必修1.docx
《高中数学 第三章 基本初等函数Ⅰ33 幂函数教案 新人教B版必修1.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第三章 基本初等函数Ⅰ33 幂函数教案 新人教B版必修1.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ33幂函数教案新人教B版必修1
2019-2020年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数教案新人教B版必修1
教学分析
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性:
当幂指数α>0时,幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增;当幂指数α<0时,幂函数的图象都经过点(1,1),且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数:
指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.
三维目标
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象.
2.通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.
3.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质.
4.通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.
5.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力.
6.了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:
从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.
教学难点:
根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.
课时安排
1课时
导入新课
思路1.
(1)如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?
根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
(3)如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
(4)如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=,这里a是S的函数.
(5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?
(右边指数式,且底数都是变量).
(适当引导:
从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题:
幂函数).
思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:
二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:
幂函数.
推进新课
问题①:
给出下列函数:
y=x,y=x
,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数?
问题②:
根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?
请给出一个一般性的结论.
问题③:
我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?
研究幂函数的性质呢?
问题④:
画出y=x,y=x
,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.
问题⑤:
通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?
哪个象限一定没有幂函数的图象?
哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断?
问题⑥:
通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?
活动:
考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.
讨论结果:
①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.
②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:
一般地,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
如y=x2,y=,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.
④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.
列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=
…
0
1
1.41
1.73
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x3
…
-27
-8
-1
0
1
8
27
…
y=x-1
…
-
-
-1
1
…
描点、连线.画出以上五个函数的图象,如下图.
让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图象,完成表格.
⑤第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.
⑥幂函数y=xα的性质.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:
1x=1).
(2)当α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).
特别地,当α>1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.
当0<α<1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.
(3)当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
思路1
例1比较下列两个代数式值的大小:
(1)(a+1)1.5,a1.5;
(2)(2+a2)-
,2-
.
解:
(1)考察幂函数y=x1.5,在区间[0,+∞)上是单调增函数.
因为a+1>a,所以(a+1)1.5>a1.5.
(2)考察幂函数y=,在区间[0,+∞)上是单调减函数.
因为2+a2≥2,所以(2+a2)-
≤2-
.
点评:
指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性;底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.
变式训练
比较下列各组数的大小:
(1)1.10.1,1.20.1;
(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
活动:
学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对
(1)
(2)可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.
解:
(1)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.
例2讨论函数y=的定义域、奇偶性,作出它的图象.并根据图象说明函数的增减性.
解:
函数y==
,定义域是实数集R.
因为f(-x)==[(-x)2]=(x2)=,
所以函数y=x
是偶函数.
因此函数的图象关于y轴对称.
列出函数在[0,+∞)上的对应值表:
x
0
1
2
3
4
…
y
0
1
1.59
2.08
2.52
…
作这个函数在[0,+∞)上的图象,再根据这个函数的图象关于y轴对称,作出它在(-∞,0]上的图象,如下图所示.
由它的图象可以看出,这个函数在区间(-∞,0]上是减函数,在区间[0,+∞)上是增函数.
变式训练
证明幂函数f(x)=
在[0,+∞)上是增函数.
活动:
学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.
证明:
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=
-
=
=
,
因为x1-x2<0,
+
>0,所以
<0.
所以f(x1)<f(x2),即f(x)=
在[0,+∞)上是增函数.
点评:
证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与f(x2)的符号要一致.
思路2
例1判断下列函数哪些是幂函数.
①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=.
活动:
学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.
解:
①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;
②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
④y=的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.
点评:
判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数?
①y=x;②y=2x2;③y=;④y=x2+x;⑤y=-x3.
解:
①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;
④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;
⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.
例2函数y=(x2-2x)的定义域是( )
A.{x|x≠0或x≠2}B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.(0,2)
解析:
函数y=(x2-2x)化为y=
,要使函数有意义需x2-2x>0,即x>2或x<0,所以函数的定义域为{x|x>2或x<0}.
答案:
B
点评:
注意换元法在解题中的应用.
变式训练
函数y=(1-x2)的值域是( )
A.[0,+∞)B.(0,1]
C.(0,1)D.[0,1]
活动:
学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.函数的值域要根据函数的定义域来求.函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.
解析:
令t=1-x2,则y=
,
因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
答案:
D
1.下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=2xB.y=2x3
C.y=
D.y=2x
2.下列结论正确的是( )
A.幂函数的图象一定过原点
B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
3.下列函数中,在(-∞,0)上是增函数的是( )
A.y=x3B.y=x2
C.y=
D.y=
4.已知某幂函数的图象经过点(2,
),则这个函数的解析式为__________.
答案:
1.C 2.D 3.A 4.y=
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.
①y=x-1,y=x-2,y=x-3;②y=x,y=x;
③y=x,y=x2,y=x3;④y=,y=x.
活动:
学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.
解:
利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如下图甲、乙、丙、丁.
甲
乙
丙
丁
①观察上图甲得到:
函数y=x-1、y=x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
②观察上图乙得到:
函数y=x、y=x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
③观察上图丙得到:
函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.
④观察上图丁得到:
函数y=、y=x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.
根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.
1.幂函数的概念.
2.幂函数的性质.
3.幂函数的性质的应用.
课本习题3—3A 3、4.
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.
历史上数学计算方面的三大发明
你知道数学计算方面的三大发明吗?
这就是阿拉伯数字、十进制和对数.
研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.
十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表示出来.
16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(Napier,J.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs,H.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:
“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”
一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.1707~1783)才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第三章 基本初等函数33 幂函数教案 新人教B版必修1 第三 基本 初等 函数 33 教案 新人 必修