第三章离散傅立叶变换.docx

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第三章离散傅立叶变换

第三章离散傅立叶变换

一、离散傅立叶级数

计算题：

１.如果是一个周期为N的周期序列,那么它也是周期为2N的周期序列。

把看作周期为N的周期序列有（周期为N）；把看作周期为２N的周期序列有（周期为2N）;试用表示。

二、离散傅立叶变换定义

填空题

2．某DFＴ的表达式是，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（　　　　　）。

3.某序列DFT的表达式是，由此可看出,该序列的时域长度是（　　　），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（　　）。

４．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的,那么该时域序列应满足条件（　　　　　　　）。

5．采样频率为的数字系统中，系统函数表达式中代表的物理意义是　　　　）,其中时域数字序列的序号代表的样值实际位置是（　　）；的Ｎ点DFT中,序号代表的样值实际位置又是（　　　　　）。

6.用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析,计算了512点的DFT。

则频域抽样点之间的频率间隔为_____＿＿,数字角频率间隔为　____＿_＿和模拟角频率间隔＿__＿＿_。

判断说明题:

7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做ＤFT对它进行分析。

　　　　　　　　（　　　）

计算题

8.令表示Ｎ点的序列的N点离散傅里叶变换，本身也是一个Ｎ点的序列。

如果计算的离散傅里叶变换得到一序列，试用求。

9．序列,其４点DFＴ如下图所示。

现将按下列

（1）,

（2）,（3）的方法扩展成8点，求它们８点的ＤFT？

（尽量利用DFＴ的特性）

（1）　

（2）　

（3）　

10.设是一个２Ｎ点的序列，具有如下性质：

另设,它的Ｎ点DFT为，求的２N点DFT和的关系。

１1．试求以下有限长序列的N点ＤFT（闭合形式表达式）

（1）　　　　

（2）　

1２．计算下列序列的Ｎ点DFT:

（1）

（2）,,

1３．已知一个有限长序列　

（１）ﻩ求它的10点离散傅里叶变换

（2）已知序列的10点离散傅立叶变换为,求序列

（3）已知序列的1０点离散傅立叶变换为,求序列

１４.

（1）已知序列:

求的Ｎ点ＤFT。

（2）已知序列:

则的９点DFT是正确否?

用演算来证明你的结论。

15．一个８点序列的８点离散傅里叶变换如图5．29所示。

在的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个１６点序列,即

（1）求的１6点离散傅里叶变换,并画出的图形。

（２）设的长度N为偶数，且有,求。

１6．计算下列有限长序列的DFT，假设长度为Ｎ。

（1）　　

（2）

１７．长度为8的有限长序列的8点DFT为，长度为1６的一个新序列定义为　　　　

　试用来表示。

18.试计算的离散傅里叶变换的值。

证明题:

1９.设表示长度为N的有限长序列的DＦT。

（1）证明如果满足关系式

则

（２）证明当N为偶数时，如果

则

２0．令表示N点序列的N点离散傅里叶变换,

（1）证明如果满足关系式,则。

（２）证明当N为偶数时，如果,则。

简答题:

21．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么?

怎样才能减小这种效应?

２２.试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。

三、离散傅立叶变换性质

填空题:

1.已知序列，序列长度,写出序列的值（　　）。

2．已知，则和的5点循环卷积为（）。

3．已知则的

4点循环卷积为（　　　　）。

证明题：

4.试证N点序列的离散傅立叶变换满足Ｐaｒｓeval恒等式

５.是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：

6.长为N的有限长序列,分别为的圆周共轭偶部及奇部,也即

证明:

7．若

８.若,求证。

9.令表示N点序列的N点DFT,试证明：

（a）如果满足关系式，则。

（b）当N为偶数时，如果,则。

10.设,求证。

1１．证明：

若为实偶对称,即，则也为实偶对称。

计算题:

1２．已知，用圆周卷积法求和的线性卷积。

1３.序列，序列。

（1）求线性卷积

（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果,FFT至少应取多少点？

14.有限长为N=１00的两序列

做出示意图,并求圆周卷积及做图。

15．已知是长度为N的有限长序列,,现将的每两点之间补进个零值,得到一个长为的有限长序列

求:

DFT[]与的关系。

１6．已知是Ｎ点有限长序列,。

现将长度变成点的有限长序列

试求点ＤFT[]与的关系。

1７．已知是N点有限长序列,。

现将的每两点之间补进个零值点，得到一个点的有限长序列

试求点DFT[]与的关系。

１8.已知序列和它的6点离散傅立叶变换。

（１）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为，求。

（2）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为的实部,即,求。

（3）若有限长序列的３点离散傅立叶变换，求。

１9．令表示Ｎ点序列的N点DFT,本身也是一个Ｎ点序列。

如果计算的DFＴ得到一序列，试用表示。

20.为了说明循环卷积计算（用DＦT算法）,分别计算两矩形序列的卷积,如果,求

　　　（１）两个长度为6点的6点循环卷积。

（2）两个长度为6点的12点循环卷积。

21．设是一个2N点序列，具有如下性质　

另设，它的N点DFＴ为。

求得2N点DＦT和的关系。

２2.已知某信号序列,,试计算

（２）和的循环卷积和；

（3）和的线性卷积和；

（４）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。

2３.如图表示一个5点序列。

（1）试画出

（２）试画出

简答题:

２4．试述用ＤFT计算离散线性卷积的方法。

2５.已知是两个N点实序列的DＦT值，今需要从求的值,为了提高运算效率，试用一个N点IFＦT运算一次完成。

四、频域取样

填空题:

1.从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。

采用的方法,从时域角度看是（　　　　　）；从频域角度看是（　　　　）。

2.由频域采样恢复时可利用内插公式,它是用（　　　

）值对（　　　　）函数加权后求和。

３．频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（　　）。

简答题:

4．已知有限长序列的变换为，若对在单位圆上等间隔抽样点，且，试分析此个样点序列对应的IDFT与序列的关系。

５.FFT算法的基本思想是什么?

6.简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。

计算题:

７．设是长度为M的有限长序列，其Z变换为

今欲求在单位圆上N个等距离点上的采样值,其中解答下列问题（用一个N点的FFT来算出全部的值）

（１）当时，写出用一个N点FFT分别算出的过程；

（２）若求的IDFT，说明哪一个结果和等效,为什么？

８.已知,今对其z变换在单位圆上等分采样,采样值为，求有限长序列ＩDＦT

９.研究一个长度为M点的有限长序列，

我们希望计算求z变换在单位圆上N个等间隔点上的抽样,即在上的抽样。

当时，试找出只用一个N点DFT就能计算的N个抽样的方法,并证明之。

10．已知序列：

　。

现在对它的Z变换在单位圆上进行N等分取样，取样值为,求有限长序列的IDＦＴ。

１1．对有限长序列的Z变换在单位圆上进行5等份取样,得到取样值,即

求的逆傅里叶变换。

12.设下图所示的序列的Ｚ变换为，对在单位圆上等间隔的4点上取样得到,即

试求的4点离散傅里叶逆变换，并画出的图形。

四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题

简答题：

1.理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法?

2．补零和增加信号长度对谱分析有何影响?

是否都可以提高频谱分辨率？

3.试说明连续傅里叶变换采样点的幅值和离散傅里叶变换幅值存在什么关系?

4.解释DFT中频谱混迭何频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱?

5．解释频谱混迭、频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱?

6.解释频谱混迭、频谱泄漏产生的原因,如何克服或减弱？

计算题：

7.用某台FFT仪做谱分析。

使用该仪器时,选用的抽样点数Ｎ必须是2的整数次幂。

已知待分析的信号中，上限频率kＨz。

要求谱分辨率Hz。

试确定下列参数：

１.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。

8.（１）模拟数据以10．24千赫速率取样，且计算了１02４个取样的离散傅里叶变换。

求频

谱取样之间的频率间隔。

（２）以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换后抽样点的间隔为多少？

整个1024点的时宽为多少？

9.频谱分析的模拟信号以8ｋHz被抽样,计算了512个抽样的ＤFT,试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。

10.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂,假定没有采用任何特殊数据处理措施,要求频率分辨力,如果采用的抽样时间间隔为0.1ｍs，试确定：

（1）最小记录长度;

（2）所允许处理的信号的最高频率;（３）在一个记录中的最少点数。