高二数学圆锥曲线复习.docx
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高二数学圆锥曲线复习
圆锥曲线
【知识网络】
3.1椭圆
【考点透视】
一、考纲指要
1.熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程.
2.考查椭圆的离心率,直线的方程,平面向量的坐标表示,方程思想等数学思想方法和综合解题能力.
二、命题落点
圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,高考中主要出现三种类型的试题:
①考查圆锥曲线的概念与性质;②求曲线方程和轨迹;③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题,主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.
【典例精析】
例1:
(2005·全国1)已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值.
解析:
(1)设椭圆方程为,则直线AB的方程代入,化简得.
令,则.
由与共线,
得 ,又,
.
即,所以,,
故离心率.
(2)由(1)知,所以椭圆可化为
设,由已知得,
在椭圆上,,
即①
由
(1)知,
又代入①,得.
故为定值,定值为1.
例2:
(2005·上海)如图,点、分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于轴上方,.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.
解析:
(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0)
设点P的坐标是
,
由已知得
由于
(2)直线AP的方程是
设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是,
于是椭圆上的点到点M的距离d,有
由于
例3:
(2005·福建)已知方向向量为的直线l过点()和椭圆的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足cot∠MON≠0(O为原点).若存在,求直线m的方程;若不存在,请说明理由.
解析:
(1)直线,①
过原点垂直的直线方程为,②
解①②得
∵椭圆中心(0,0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上,
∵直线过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).
故椭圆C的方程为③
(2)设M(),N().
当直线m不垂直轴时,直线代入③,整理得
点O到直线MN的距离.
即
即
整理得
当直线m垂直x轴时,也满足.
故直线m的方程为
或或
经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为
或或
【常见误区】
解析几何问题,基本上都与方程思想相结合,因而要注意直线方程与曲线方程联立起来,结合根与系数的关系,或直接解出根,是高考常用的方法,要注意有关方法的练习、归纳,要注意运算的优化,要注意利用数形结合,挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.
【基础演练】
1.(2005·广东)若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则m=()
A.B.C.D.
2.(2005·福建)设的最小值是()
A.B.C.-3D.
3.(2005·全国3)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A.B.C. D.
4.(2005·江苏)点在椭圆的左准线上,过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为
()
A.B.C.D.
5.(2005·重庆)已知是圆为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为.
6.如图所示,底面直径为的圆柱被与底面成的平面所截,
其截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长,
短轴长,离心率为.
7.(2005·辽宁)已知椭圆的左、右焦点分别是
、,是椭圆外的动点,满足,
点P是线段与该椭圆的交点,点T在线段上,并且
满足.
(1)设为点P的横坐标,证明;
(2)求点T的轨迹C的方程;
(3)试问:
在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△的面积.若存在,求∠的正切值;若不存在,请说明理由.
8.(2005·湖南).已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为e.直线l:
y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设=λ.
(1)证明:
λ=1-e2;
(2)若,△PF1F2的周长为6,写出椭圆C的方程;
(3)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
9.(2005·湖北)设A、B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(1)确定的取值范围,并求直线AB的方程;
(2)试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?
并说明理由.
3.2双曲线
【考点透视】
一、考纲指要
熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质.
二、命题落点
1.考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程,以及标准方程中a,b,c之间的关系,两渐近线间的夹角的求法,如例1.
2.双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例2;
3.考查等边三角形的性质,焦点三角形公式及离心率公式,灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算,突出观察研究能力的考查,如例3.
【典例精析】
例1:
(2005·湖南)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为(O为原点),则两条渐近线的夹角()
A.30º B.45º C.60º D.90º
解析:
双曲线的右焦点F(c,0),右准线方程为x=,一条渐近线方程为y=x,可得点A的坐标(,),△OAF的面积S△OAF=OF│YA│=c=ab,又题意已知S△OAF=a2,所以a=b,两条渐近线间的夹角为900.
答案:
D
例2:
(2005·全国3)已知双曲线的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为( )
A.B.C.D.
解析:
设M到x轴的距离为h,∵,
又∵,
由双曲线定义得,
再由,∴.
答案:
C
例3:
(2005·福建)已知F1、F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()
A.B.C.D.
解析:
令,边MF1交双曲线于点N,连结N易知
答案:
D
例4.(2005·山东)设双曲线的右焦点为,右准线与两条渐近线交于P、两点,如果是直角三角形,则双曲线的离心率.
解析:
如图所示,
且,
在中,
. ①
② ③
将②③代入①式化简得:
答案:
【常见误区】
1.对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时,应想法利用已知曲线构造等式,从而解出的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例3、例4.
2.解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例1、例2.
【基础演练】
1.(2006·广东)已知双曲线,则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于()
A.B.C.2D.4
2.(2005·天津)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为()
A.B.C.D.
3.平面内有两个定点和一动点,设命题甲,是定值,命题乙:
点的轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的()
A.充分但不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为,则应满足的关系是( )
A.B.
C.D.
5.(2005·浙江)过双曲线(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________.
6.(2005·江西)以下几个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆;③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号)
7.已知双曲线的左右焦点分别为,左准线为,能否在双曲线的左支上求一点,使是到的距离与的等比中项?
若能,求出的坐标,若不能,说明理由.
8.过双曲线的右焦点作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线,垂足为,与双曲线的左、右支的交点分别为.
(1)求证:
在双曲线的右准线上;
(2)求双曲线离心率的取值范围.
9.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由.
(1)渐近线方程为,
(2)点到双曲线上动点的距离最小值为.
3.3抛物线
【考点透视】
一、考纲指要
掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质.
二、命题落点
1.考察抛物线过焦点的性质,如例1;
2.抛物线上张直角问题的探究,考察抛物线上互相垂直的弦的应用,如例2;
3.定值及定点问题是解几问题研究的重点内容,此类问题在各类考试中是一个热点,如例3.
【典例精析】
例1:
(2005·全国3)设两点在抛物线上,是AB的垂直平分线,
(1)当且仅当取何值时,直线经过抛物线的焦点F?
证明你的结论;
(2)当直线的斜率为2时,求在y轴上截距的取值范围.
解析:
(1)∵抛物线,即,∴,
∴焦点为
(i)直线的斜率不存在时,显然有=0;
(ii)直线的斜率存在时,设为k,截距为b,即直线:
y=kx+B.
由已知得:
即的斜率存在时,不可能经过焦点
所以当且仅当=0时,直线经过抛物线的焦点F
(2)设在y轴上截距为b,
即直线:
y=2x+b,AB:
.由得,
∴,且,
∴,
∴.
所以在y轴上截距的取值范围为
例2:
(2005·广东)在平面直角坐标系中,抛物线上异于坐标原点的两不同动点A、B满足(如图所示)
(1)求得重心(即三角形三条中线的交点)
的轨迹方程;
(2)的面积是否存在最小值?
若存在,请求出
最小值;若不存在,请说明理由.
解析:
(1)∵直线的斜率显然存在,
∴设直线的方程为,
,依题意得
,①
∴,② ③
∵,∴,即,④
由③④得,,∴
∴设直线的方程为
∴①可化为,∴⑤,
设的重心G为,则
⑥,⑦,
由⑥⑦得,即,这就是的重心的轨迹方程.
(2)由弦长公式得
把②⑤代入上式,得,
设点到直线的距离为,则,
∴,
∴当,有最小值,
∴的面积存在最小值,最小值是.
例3:
(2005·江西)M是抛物线上y2=x上的一点,动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点,且MA=MB.
(1)若M为定点,证明:
直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.
解析:
(1)设M(y,y0),直线ME的斜率为k(k>0),
则直线MF的斜率为-k,方程为
∴由,消,
解得,
∴(定值).
所以直线EF的斜率为定值.
(2)直线ME的方程为
由得
同理可得
设重心G(x,y),则有
消去参数得
【常见误区】
1.运算正确率太低,这是考生在解解析几何问题中常出现的
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