高考数学考前必看基本知识篇文科数学.docx
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高考数学考前必看基本知识篇文科数学
郑州一中2020届高考考前必看——数学(文)
一、集合与简易逻辑
1.研究集合问题,一定要抓住集合的代表元素,如:
{x|y=lgx}与{y|y=lgx}及{(x,y)|y=lgx}
2.判断命题的真假要以真值表为依据.原命题与其逆否命题是等价命题,逆命题与其否命题是等价命题,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;
3.判断命题充要条件的三种方法:
(1)定义法;
(2)利用集合间的包含关系判断,若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;(3)等价法:
即利用等价关系
"A⇒B⇔B⇒A"判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;
4.
(1)含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集(非空子集)个数为2n-1;
(2)A⊆B⇔AB=A⇔AB=B;
(3)
CI(AB)=CIACIB,CI(AB)=CIACIB;
二、函数与导数
1.复合函数定义域求法:
若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b
解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)
的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
2.函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(x);
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:
f(x)±f(-x)=0或f(-x)=±1(f(x)≠0);
f(x)
(4)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)曲线C1:
f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0
(或f(-y+a,-x+a)=0);
(2)曲线C1:
f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:
f(2a-x,2b-y)=0;
(3)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(4)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=a+b对称;
2
4.函数的周期性与对称性
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2a-b的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2a-b的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=
-1
f(x)
,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
5.方程k=f(x)有解⇔k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x)恒成立⇔a≥[f(x)]max;a≤f(x)恒成立⇔a≤[f(x)]min;
7.
(1)log
b=log
bn(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)logaN=logbN(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
aan
logba
(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);
8.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:
一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
ax+bb-aca
9.掌握函数y==a+(b-ac≠0);y=x+(a>0)的图象和性质;
x+cx+cx
10.实系数一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)的两根x,x的分布问题:
根的情况
x1≥x2>k
m x1 等价命题 在(k,+∞)上有两 根 在(m,n)上有两根 在(k,+∞)和(-∞,k)上各有一根 充要条件 ⎧ ⎪∆≥0 ⎪ ⎨f(k)>0 ⎪b ⎪->k ⎩2a ⎧∆≥0 ⎪f(m)>0 ⎪ ⎨f(n)>0 ⎪b ⎪⎪m<- ⎩2a f(k)<0 注意: 若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)=0有实数解的情况,可先利用在开区间(m,n)上实根分布的 情况,得出结果,再令x=n和x=m检查端点的情况. 11.函数单调性的判断方法: 定义法,分解成基本函数法(复合,加减),图像法,导数法;求函数单调区间时,你是否写成了区.间.形式,两个单调区间不.能.并.起来. 12.根据导数法研究函数单调性时,熟记八个基本函数求导公式,和差积商四则运算的求导公式,复合函数 的求导公式.特别提醒内层函数为a-x形式的复合函数,如[ln(1-x)]'=- 1 1-x. 13.对于可导函数f(x),不等式f'(x)>0(<0)的解是函数f(x)的递增(减)区间. y=f(x)在给定 区间上单调递增(减)⇔ f'(x)≥0 (或f'(x)≤0)在区间上恒成立(“=”丢不得) y=f(x)在给定区间上不单调⇔ f'(x)>0 (或f'(x)<0)在区间有解(“=”要不得) 14. f'(x0)=0是可导函数y=f(x)在x=x0处有极值的必要条件.若求极值,必须指明极大(小)值,其中极值点只是一个点.的.横.坐.标.,最值及最值点也是同样的要求哦! 15.若 f(x)>0恒成立,则f(x)min>0;若∀x∈I f(x)<0恒成立,则f(x)max<0; min 若∃x0∈I使得f(x0)>0,则f(x)max>0;若∃x0∈I使得f(x0)<0,则f(x)min<0. 16.设f(x)与g(x)的定义域的交集为D,若∀x∈D f(x)>g(x)恒成立,则有[f(x)-g(x)]>0 若对∀x1∈I1、x2∈I2 若对∀x1∈I1,∃x2∈I2 ,f(x1)>g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max. ,使得f(x1)>g(x2),则f(x)min>g(x)min. 若对∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1) 已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上值域为B,若对∀x1∈I1,∃x2∈I2使得f(x1)=g(x2) 成立,则A⊆B. 17.若三次函数f(x)有三个零点,则方程f'(x)=0有两个不等实根x1,x2 18.证题中常用的不等式: ①lnx≤x-1(x>0)(仅当x=1时取“=”) 且f(x1)f(x2)<0 ②ln(x+1)≤x(x>-1)(仅当x=0时取“=”) ③lnx x+12 ex≥1+x ⑤e-x≥1-x a-b ⑥ 三、数列 ⎧S(n=1), 1n 1.由Sn求an,a=1注意验证a是否包含在后面a的公式中,若不符合要单独列出. n⎨ S ⎩n-Sn-1 (n≥2,n∈N*) 一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式; 2.等差数列{a}⇔a -a=d(d为常数)⇔2a=a +a(n≥2)⇔a=an+b⇔s =An2+Bn; nn+1 nnn+1 n-1nn 3.等比数列{a}⇔an+1=q(q为常数)⇔a2=aa (n≥2)⇔a=aqn-1; nn+1 n n-1n1 4.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 ⎧an≥0⎛ ⎧an≤0 ⎫解决; ⎨çç或⎨⎪⎪ ⎩an+1≤0⎝⎩an+1≥0⎭ 6.在等差数列中,a=a +(n-m)d, an-am;在等比数列中, n-m an; nmd= n-m an=amq q=n-m am 7.当m+n=p+q时,对等差数列有am+an=ap+aq;对等比数列有am⋅an=ap⋅aq; 8.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+pbn}(k、p是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn}是等比数列,则{kan}、 {anbn}等也是等比数列; 9.若数列{an}为等差(比)数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, 也是等差(比)数列; 10.等差数列{an}中,项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd;项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中(即an); 11.等比数列(实数范围内)中一定没有0这一项,且奇数项同号,偶数项同号. 12.数列通项的求法: ①公式法: 等差等比数列;②叠加法: an=an-1+f(n),则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1 (n≥2 );③叠乘法: an=an-1⋅g(n),则 a=an ⋅an-1⋅⋅a2⋅a(n≥2).④待定系数法: a =pa + q,⑤倒数法: a =san, nan-1 an-2 a11 nn-1 n+1 tan+s 将递推公式变形为 1-1 an+1an =t,⑥周期数列,⑦观察法. s 13.常见裂项公式: ①1 =1(1- 1);②1 =1(1 -1); n(n+k) knn+k (2n+1)(2n-1)22n-12n+1 111111 ③=(- );④=( -n); n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2) n+n+kk n112n11 ⑤ (n+ 1)! =-;⑥ n! (n+1)! (2n+1 -1)(2n -1)=2n -1-2 n+1-1; ⑦ cosn cos(n+1) =tan(n+1) n+1111 ;⑧=(-); n2(n+2)24n2(n+2)2 (n+2)11tan(n+1)-tann ⑨ n(n+1)⋅2n-2 =4( n⋅2n-1 -(n+1)⋅2n+1 );⑩tann⋅tan(n+1)=-1tan1 14.数列求和的常用方法: ①公式法;②倒序相加法;③错位相减法;④分组求和法;⑤裂项相消法. 15.数列的单调性与最值问题: 注意数列是特殊的函数. 四、三角函数 1.三角函数中的和、差、倍、降幂公式及其逆用、变形用都掌握了吗? 如cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ,cos2θ=1+cos2θ,sin2θ=1-cos2θ. 22 2. 辅助角公式: asinx+bcosx= sin(x+ϕ)(其中 sinϕ= b cosϕ=a, tanϕ=b.)在求最值、化简时起着重要作用. a 3.在三角的恒等变形中,要特别注意角的各种变换. (如β=(α+β)-α,β=(α-β)+α, α+β=(α-β)-(α-β)等) 4.你还记得三角化简的通性通法吗? 222 从函数名、角、运算三方面进行差异分析,常用的技巧有: 切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊 角.异角化同角(角的变换: 和、差、倍、余、补角),异名化同名,高次化低次. 5.你能迅速完成三角函数(正弦、余弦、正切)图像及相关性质(定义域,值域,单调性,奇偶性,对称性: 轴对称及中心对称)的分析吗? 6.会用五点法画y=Asin(ωx+ϕ)的草图吗? 画图需要画哪些关键点(端点、极值点、拐点)? 会根据图象求参数值吗? 7.在三角函数图象平移时最容易错的是平移多少个单位,你注意到ω的作用吗? 例如y=sin(2x+π)是由 3 y=sin2x向左平移π 6 π 而不是 3 得到的.谨记: 只变x! ! ! 8.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗? 会用它们解斜三角形吗? 如何实现边角互化? (别忘了,正弦定理可以用来求三角形外接圆的半径) 9.在△ABC中, a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA 五、平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ为实数. (1)向量式: a∥b(b≠0)⇔a=λb; (2)坐标式: a∥b(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0; 2.两个向量垂直的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式: a⊥b(b≠0)⇔a⋅b=0; (2)坐标式: a⊥b⇔x1x2+y1y2=0; 3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⋅b=cosθ=x1x2+y1y2;其几何意义是a⋅b等于a的长度与b在a的 方向上的投影的乘积; 4.设A(x1,x2)、B(x2,y2),则S⊿AOB=1xy -xy; 5.常用结论 21221 (1)向量共线的充要条件: O为平面上一点,则A,B,P三点共线的充要条件是→=1→+2→其中 λ1+λ2=1). OPλOA λOB( (2)三角形中线向量公式: 若P为△OAB的边AB的中点,则向量→与向量→,→的关系是→ 1→+ → OB). OPOAOB OP=2(OA (3)三角形重心坐标的求法: G为△ABC的重心⇔→+→+→=0⇔G⎛xA+xB+xC yA+yB+yC⎫. (4)奔驰定理: GAGBGC ⎝3,3⎭ 已知O是 ∆ABC 内的一点,∆BOC,∆AOC,∆AOB 的面积分别为SA,SB ,SC ,则: SA∙OA+SB∙OB+SC∙OC=0 推论: O是∆ABC内的一点,且x∙OA+y∙OB+z∙OC=0,则S∆BOC: S∆COA: S∆AOB=x: y: z (5)三角形中的心 O是∆ABC的重心⇔OA+OB+OC=0 O是∆ABC的内心⇔a∙OA+b∙OB+c∙OC=0 O是∆ABC的外心⇔sin2A∙OA+sin2B∙OB+sin2C∙OC=0⇔ O是∆ABC的垂心⇔tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0 ⇔OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA⇔ 欧拉定理: 设O,G,H分别是∆ABC的外心,重心,垂心,则OG=1OH. 3 (6)极化恒等式: a⋅b=1⎡(a+b)2-(a-b)2⎤ 4⎢⎣⎥⎦ 几何意义: 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1.即: a⋅b=1[AC2-DB2](平行四边形模式) 44 在∆ABD中,M为BD的中点,则a⋅b= AM2-1DB2(三角形模式) 4 六、直线和圆的方程 1.直线l1: A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0; 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是d=; 3.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件: A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0; 4.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为: x0x+y0y=r2;若M(x0,y0)在圆外,此方程为切点弦所在直线方程. 5.以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0; 6. (1)直线与圆的位置关系: (d表示圆心到直线的距离) ①d=R⇔相切;②d (2)圆与圆的位置关系: (d表示圆心距,R,r表示两圆半径,且R>r) ①d>R+r⇔相离;②d=R+r⇔外切;③R-r ④d=R-r⇔内切;⑤0 7.直线与圆相交所得弦长|AB|=2 七、圆锥曲线方程 1.椭圆焦半径公式: 设P(x,y)为椭圆x2y2(a>b>0)上任一点,焦点为F(-c,0),F(c,0),则 00+=112 a2b2 PF1 =a+ex0,PF2 =a-ex0(e为离心率); 2双曲线x2-y2=(a>0,b>0)的渐近线方程为x2-y2 =0; a2b2a2b2 3.抛物线焦半径公式: 设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为焦点,则PF p =x0 + p;y2=2px(p 2 <0)上任意一点,F为焦点,则PF=-x0+2; 4.涉及圆锥曲线的最值问题勿忘用定义解题; 5.共渐进线y=±bx的双曲线标准方程为x2-y2 =λ(λ 为参数,λ≠0); aa2b2 6.弦长公式: 若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2), 则弦长 AB= ⋅x2 -x1= = |a| =⋅y2 -y1= ,体现了解析几何“设而不求”的解题思想; 7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为2b2,抛物线的通径为2p,焦准距为p;双曲线x2-y2 =1(a>0, a b>0)的焦点到渐进线的距离为b; a2b2 8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2+Bx2=1; 9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论: (1)AB=x+x+p=2p. (2)yy=-p2,xx=p2 ;(3)1+1=2. 12sin2θ12 12 4|AF||BF|p 10.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法,设A(x,y)、B(x,y)为椭圆x2y2 (a>b>0) 1122 b2x2 +=1 a2b2 y2 上不同的两点,M(x0,y0)是AB的中点,则kAB⋅kOM =-;对于双曲线- a2a2b2 =1(a>0,b>0),类 似可得: kAB⋅kOM 2 =;对于y=2px(p≠0)抛物线有k a 2p . y1+y2 11.求轨迹的常用方法: (1)直接法; (2)定义法;(3)代入法(相关点法)(4)参数法. 12.圆锥曲线中最值问题函数最值的常见求法: 22 (1)S= k+1⋅ k+4(观察法); (2) S=2k2+3 (换元法,注意换元的范围) (3) (k2+1)2 S=≥ (1+2k2)(k2+2) (k2+1)2 2 (1+2k2)+(k2+2)[] 2 (基本不等式) (4)S= 4m2+1 (基本不等式)(5)S= 2k2+3= (分离常数) 2k+121 (6) S=k(k+1)=k(上下同时除以k,再换元t=k+)(导数法) (3k2+1)(k2+3)(3k+1)(k+3) kk 八、直线、平面、简单几何体 1.位置关系的证明(主要方法): ⑴直线与直线平行: ①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理. ⑵直线与平面平行: ①线面平行的判定定理;②面面平行⇒线面平行. ⑶平面与平面平行: ①
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