对数公式的运算.docx

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对数公式的运算

对数公式的运用

1对数的概念

如果a（a>0,且a丰1）的b次幕等于N，即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作:

logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数•

由定义知：

1负数和零没有对数；

2a>0且a工1,N>0;

3|oga1=0,logaa=1,alogaN=N（对数恒等式），logaab=b。

特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作logioN，简记为lgN；

以无理数e（e=2•71828…）为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.

2.对数式与指数式的互化

式子名称ab=N

指数式ab=N（底数）（指数）（幕值）

对数式logaN=b（底数）（真数）（对数）

3•对数的运算性质

如果a>0,1,M>0,N>0，那么

（1）loga（MN）=logaM+logaN.

（2）loga（M/N）=logaM-logaN.

（3）logaMn=nlogaM（n€R）.

问：

①公式中为什么要加条件a>0,a丰1,M>0,N>0?

2logaan=?

（n€R）

3

对数式与指数式的比较•（学生填表）

运算性质：

am•an=am+n

mnmvn

a^a=a

logaMN=logaM+logaN

（n€R）（a>0,1,M>0,N>0）

（a>0且a丰1,n€R）logaMN=

n

logaM=

难点疑点突破

对数定义中，为什么要规定a>0,，且1?

理由如下：

1av0，则N的某些值不存在，例如log一28=?

2若a=0，贝UN丰0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数？

3若a=1时，贝UNm1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数？

解题方法技巧

1•

（1）将下列指数式写成对数式：

154=625:

②26=64:

③3x=27:

④13m=5•73.

（2）将下列对数式写成指数式：

1log2l6=4;②log2l28=7;

③log327=x;④IgO.0仁-2;

⑤In10=2.303:

⑥lgn=k.

解析由对数定义：

ab=N,IogaN=b•

解答

（1）①Iog5625=4.②Iog264=6.

③Iog327=x.④Iog135.73=m.

解题方法

指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：

ab=N

47x

⑵①2=16，②2=128，③3=27,

④10-2=0.01,⑤e23°3=10,⑥10k=n.

2.根据下列条件分别求x的值：

（1）log8X=-2/3;

（2）log2（log5x）=0;

⑶Iogx27=3x;⑷Iogx（2+_）=-1.

解析⑴对数式化指数式，得：

x==?

（2）log5x=20=1.x=?

⑶3Xog32=?

.27=x?

—-1

⑷2+=x=1/x.x=?

解答

（1）x===2-2=1/4.

01

⑵log5X=2=1,x=5=5.

⑶Iogx27=3x=3x2=6,

…x=27=3=（），故x=.

—-1■—

（4）+=x=1/x,「.x=1/（+）=.

解题技巧

1转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，

经常进行着两种形式的相互转化.

2熟练应用公式：

Ioga1=0,logaa=1,aIogaM=M,logaan=n.

3.已知logax=4,logay=5，求A=〔x•y丨的值•

解析：

思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式,

算求值；

思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值？

解答：

解法一TIogax=4,logay=5,

•••x=a4,y=a5,

--A=xV=（a）（a）=a•a=a=1.

IogaN=b

在解决有关问题时,

再利用指数式的运

解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得

（5/12）（-1/3）

lOgaA=lOga（Xy）

=（5/12）logax-（1⑶logay=（5/12）4-（1/3）5=0,•••A=1.

解题技巧

有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把

指数运算转化为对数运算•

4•设x,y均为正数，且x•y1+lgx=1（xM1/10），求lg（xy）的取值范围•

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，

故y是x的函数，从而lg（xy）也是x的函数.因此求lg（xy）的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢？

能否对已知的等式两边也取对数？

解答x>0,y>0,x•y1+lgx=1,

两边取对数得：

lgx+（1+lgx）lgy=0.

即lgy=-lgx/（1+lgx）（x丰1/10,lgx丰-1）.

令lgx=t,贝Ulgy=-t/（1+t）（X-1）.

•lg（xy）=lgx+lgy=t-t/（1+1）=t2/（1+t）（t工-1）.

（解题规律：

对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较

复杂问题转化为较简单的问题.）

设S=t2/（1+t），得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解.

2

•△=S+4S>0，得sw-4或S>0,

故lg（xy）的取值范围是（-a,-4〕U〔0,+^）.

5.求值：

（1）lg25+lg2•lg50+（lg2）2；

（2）2log32-log3（32/9）+log38-52log53；

⑶设lga+lgb=2lg（a-2b），求log2a-log2b的值；

⑷求7lg20•（1/2）lg0.7的值.

解析：

（1）25=52,50=5X10。

都化成lg2与lg5的关系式.

⑵转化为log32的关系式.

⑶所求log2a-log2b=log2（a/b），由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出a/b的值

呢？

（4）7lg20•（1/2）lg0.7是两个指数幕的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20•（1/2）lg0.7能否先求出

lgx，再求x?

解答

（1）原式=lg5+lg2•lg（10X5）+（lg2）

2

=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）

=lg5（2+lg2）+lg2+（lg2）2

2

=（lg（10/2））（2+lg2）+lg2+（lg2）

=（1-lg2）（2+lg2）+lg2+（lg2）2

22

=2-lg2-（lg2）+lg2+（lg2）=2.

（2）原式=2log32-（log325-log332）+log323-5log59

=2log32-5log32+2+3log32-9

=-7.

2

⑶由已知lgab=lg（a-2b）（a-2b>0）,

•••ab=（a-2b）2,即a2-5ab+4b2=0.

•••a/b=1或a/b=4，这里a>0,b>0.

若a/b=1，则a-2b<0,•a/b=1（舍去）.

•a/b=4,

•log2a-log2b=log2（a/b）=log24=2.

⑷设x=7lg20•（1/2）lg0'7，则

lgx=lg20xlg7+lg0.7>lg（1/2）

=（1+lg2）lg7+（lg7-1）（-lg2）

=lg7+lg2=lg14,

•x=14,故原式=14.

解题规律

1对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒

等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检

验，如（3）.

2对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如（4）.

6.证明⑴logaN=logcN/logca（a>0,a丰1,c>0,cm1,N>0）;

（2）logab•logbc=logac;

（3）logab=1/logba（b>0,bM1）；

（4）loganbm=（m/n）logab.

解析：

（1）设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.

⑵中logbc能否也换成以a为底的对数.

⑶应用

（1）将logab换成以b为底的对数.

⑷应用

（1）将loganbm换成以a为底的对数.

解答:

（1）设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：

b•logca=logcN,

•-b=logcN/logca.•logaN=logcN/logca.

⑵由

（1）logbC=logac/logab.

所以logab•logbc=logab•logac/logab=logac.

⑶由

（1）logab=logbb/logba=1/logba.

解题规律

（1）中logaN=logcN/logca叫做对数换底公式，

⑵（3）（4）是

（1）的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底

公式，既要善于正用，也要善于逆用

丄mmn

（4）由

（1）loganb=logab/logaa=mlogab/nlogaa=（m/n）logab.

7.已知log67=a,3b=4,求log127.

解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢？

解答已知Iog67=a,log34=b,

•log127=log67/log612=a/（1+log62）.

又log62=log32/log36=log32/（1+log32）,

由log34=b,得2log32=b.

-log32=b/2,•••log62=（b/2）/（1+b/2）=b/（2+b）.

•'•logi27=a/（1+b/（2+b））=a（2+b）/（2+2b）.

解题技巧

利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，

这是常用的方法技巧。

Xyz

&已知x,y,z€R+，且3=4=6.

（1）求满足2x=py的p值；

（2）求与p最接近的整数值；

⑶求证：

（1/2）/y=1/z-1/x.

解析：

已知条件中给出了指数幕的连等式，能否引进中间量m,再用m分别表示x,y,z?

又想，对于指数式能否用对数的方法去解答？

解答：

（1）解法一3x=4y,log33x=log34y,x=ylog34,2x=2ylog34=ylog316,

•-p=log316.

解法二设3x=4y=m,取对数得：

x•lg3=lgm,ylg4=lgm,

•x=lgm/lg3,y=lgm/lg4,2x=2lgm/lg3,py=plgm/lg4.

由2x=py,得2lgm/lg3=plgm/lg4,

•p=2lg4/lg3=lg42/lg3=log316.

（2）■/2=log39,•3-p=log327-log316=log3（27/16）,

p-2=log316-log39=log3（16/9）,

而27/16<16/9,又3>1真数大则对数大

•p-2>3-p,p>2.5

•••与p最接近的整数是3.

解题思想

1提倡一题多解•不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，

既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢？

2

（2）中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1,所以真数大的

对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学

生超前学习，自觉学习的学习积极性.

（3）解法一令3x=4y=6z=m，由于x,y,z€R+,

•k>1，贝Vx=lgm/lg3,y=lgm/lg4,z=lgm/lg6,

所以1/z-1/x=lg6/lgm-lg3/lgm=（lg6-lg3）/lgm=lg2/lgm,（1/2）/y=（1/2）•lg4/lgm=lg2/lgm,故（1/2）/y=1/z-1/x.

解法二3x=4y=6z=m,

则有3=m1/x①，4=m1/y②，6=m1/z③，

3/①，得m1/z-1/x=6/3=2=m（1/2）/y.

•1/z-1/x=（1/2）/y.

22

9.已知正数a,b满足a+b=7ab.求证：

logm（a+b）/3=（1/2）（logma+logmb）（m>0且m^1）.解析：

①已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：

能否将真数中的

一次式也转化为二次，进而应用a+b2=7ab；

解题技巧

2（a+b）/3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一•

3应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二•

解答：

2/2

logm（a+b）/3=logm（（a+b）/3）=

22

（1/2）logm（（a+b）/3）2=（1/2）logm（a+b+2ab）/9•

..22

-a+b=7ab,

logm（a+b）/3=（1/2）logm（7ab+2ab）/9=（1/2）logmab=（1/2）（logma+logmb）,即logm（a+b）/3=（1/2）（logma+logmb）•

思维拓展发散

1.数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系•设真数N=ax10n。

其中N>0。

Ka<10,n€Z•这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里？

我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘。

解析：

由已知，对N=ax10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系？

解答lgN=lg（aX10n）=n+lga•n€Z,1

•-lga€（0,1）•

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的

纯小数或0.

小结：

①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0

2有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；

3当N》1时，lgN的首数n比它的整数位数少1,当N€（0,1）时，lgN的首数

n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同•

师生互动

什么叫做科学记数法？

N>0,lgN的首数和尾数与ax10n有什么联系？

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？

什么不同？

解题规律

把Igx的首数和尾数，lg（1/x）的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再

由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.

3•计算:

（1）-—"=；

100

（2）2lg（lga）/（2+Ig（lga））.

解析

（1）中.2+与2-有何关系？

+双重根号，如何化简？

（2）中分母已无法化简，分子能化简吗？

解题方法

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒•解

答

（1）原式=+

解题规律

⑴转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充

分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化

⑵比较指数相同，底不同的指数幕（底大于0）的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中

第一象限（指数大于0）或第二象限（指数小于0）的性质进行比较？

①是y=（）x，②是y=（）x，③是y=（）x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从

大到小.所以（）m<（）m<（）m，故<<

潜能挑战测试

1.

（1）将下列指数式化为对数式：

①73=343:

②（1/4）-2=16:

③e-5=m.

（2）将下列对数式化为指数式：

①logi/28=-3:

②lg10000=4:

③In3.5=p.2•计算：

（1）；⑵一；（3）-

3.

（1）已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg;

（2）若lg3.127=a，求lg0.03127.

4•已知0,则下列各式中与Iog2a2总相等的是（）

2

A.2log2|a|B.2log2aC.（log2a）D.log2a+log2a

5•若logx+1（x+1）=1，则x的取值范围是（）

6.已知ab=M（a>0,b>0,M丰1），且logMb=x，则logwia的值为（）

7.若log63=0.6731,log6X=-0.3269,贝Ux为（）

8.若Iog5（log3（log2x））=0，则x=（）.

9.=（）.

10.如果方程lg2x+（lg2+lg3）lgx+lg2•lg3=0的两根为X1、X2,那么冷•x?

的值为（）.

11.生态学指出：

生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个

营养级.出宀出宀出宀出宀H6这条生物链中（出表示第n个营养级，n=1,2,3,4,

5,6）.已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量？

12.已知x,y,z€R+且3x=4y=6z,比较3x,4y,6z的大小.

13.已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.

14.已知2a•5b=2c•5d=10,证明（a-1）/（d-1）=（b-1）/（c-1）.

15.设集合M={x|lg（ax2-2（a+1）x-1）>0},若M丰空集，M={x|x<0},求实数a的取值范围

16.在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为"神威I”的计算机运算速度为每秒

钟384000000000次.用科学记数法表示这个数为N=3.84,若已知lg3.840=0.5843,

贝HlgN=.

17.某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生

产成本降低为原来的40%?

（lg2=0.3,lg3=0.48）

18.某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f（x）的解析式f（x）=.

名师助你成长

1.

（1）①log7343=3.②log（”4）16=-2.③Inm=-5.

（2）①（1/2）-3=8.②104=10000.③ep=3.5.

2.

（1）48点拨：

先应用积的乘方，再用对数恒等式

（2）9/8点拨：

应用商的乘方和对数恒等式.

（3）144点拨：

应用对数运算性质和积的乘方.

3.

（1）0.8266点拨：

lg=（1/2）lg45=12lg（90/2）=（1/2）（lg3+lg10-lg2）.

（2）lg0.03127=lg（3.127XI0_2）=-2+lg3.127=-2+a

4.

C

点拨:

az0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义

5.

B

点拨:

底x+1>0且x+1z1；真数x+1>0.

6.

A

点拨:

对ab=M取以M为底的对数.

7.

C

点拨:

注意0.6731+0.3269=1,Iog6（1/x）=0.3269,

所以Iog63+log6（1/x）=log63x=1./•3x=6,x=2.

3

&x=8点拨：

由外向内.Iog3（log2x）=1,log2x=3,x=2.

5

9.5点拨：

Iog87•Iog76•Iog65=log85,=5.

10.1/6点拨：

关于Igx的一元二次方程的两根是Igx1,Igx2.

由Igx1=-Ig2,Igx2=-Ig3，得X1=1/2,x2=1/3.X1•x?

=1/6

11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，

依题意:

106•（10/100）n-1=100,

化简得:

107-n=102，禾U用同底幕相等，得7-n=2,

或者两边取常用对数也得7-n=2.

•••n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.

12.设3x=4y=6z=k,因为x,y,z€R+,

所以k>1.取以k为底的对数，得：

x=1/logk3,y=1/logk4,z=1/logk6.

•3x=3/logk3==1/Iogk,

同理得：

4y=1/logk,6z=1/logk.

而=,=,=,

••logk>logk>logk.

又k>1,>>>1,

•-logk>logk>logk>0,•3x<4y<6z.

13.vaxby=aybx=1,•Ig（axby）=Ig（aybx）=O,

即xlga+ylgb=O,ylga+xlgb=O.（^）两式相加,得x（lga+lgb）+y（lga+lgb）=0.

即（lga+lgb）（x+y）=O.•lga+lgb=0或x+y=0.

当lga+lgb=0时，即lgb=-lga,代入xlga+ylgb=0,得:

（x-y）lga=0,a是不为1的正数•Iga丰0,•x-y=0.

22

•x+y=0或x-y=0,即（x+y）（x-y）=0•x=y.

14.•/2a5b=10,•2a-1=51-b.两边取以2为底的对数，得：

a-仁（1-b）log25.

••log25=（b丰1）.同理得log25=（d^1）.

即1,1时，——=.

•（a-1）（1-d）=（c-1）（1-b）,

•（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）.

当b=1,c=1时显然成立.

2

15.设lg（ax-2（a+1）x-1）=t（t>0），则

2t

ax-2（a+1）x-1=10（t>0）・

t22

二10>1,ax-2（a+1）x-1>1ax-2（a+1）x-2>0.