Stolz定理的若干应用.docx

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Stolz定理的若干应用

Stolz定理的若干应用

Stolz定理的若干应用

XXXX

（XXXXXX大学XXXXXX专业XXX级XX班）

摘要

极限思想是许多科学领域的重要思想之一．为了解决求极限的问题，本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广．

本文先叙述有关Stolz定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz定理可以说是数列的L’Hospital法则，它对求数列的极限很有用．Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易．Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形．

关键词Stolz定理；数列；函数；极限

SomeapplicationsofStolztheorems

ZHANGRan

（Grade2004Class

（2）

InformationandComputingScience

CollegeofMathematicsandPhysics

UniversityofScienceandTechnologyofSuzhou）

Abstract

Thelimitthoughtisoneofmanyscientificfieldimportantthoughts．Inordertosolveasksthelimitthequestion，thisarticleintroducedthecomputationlimit'sonemethod——Stolztheorem，andhaspopularizedtheconclusionofStolztheorem．

ThisarticlefirstnarratesrelatedStolztheoremsomeknownconclusions，theninthelimitsolutionthroughtheexampleexplainedtheapplicationoftheStolztheoremanditspopularizedrelatedconclusion．TheStolztheoremcanbesaidtobesequenceL'Hospitalprinciple，itisveryusefultoasksthesequencethelimit．TheStolztheoremcanbepopularizedtothesituationwiththelimitoffunction，somequestionsusetheStolztheoremtobecomeveryeasy．TheStolztheoremisimportanttheoremtoprovethelimitexistenceofthesequenceandfunction．ThisarticlehasgiventheStolztheoremthesituationofsequenceandthesituationoffunction．

KeywordsStolztheorem;sequence;function;limit

摘要关键词………………………………………………………………………………Ⅰ

AbstractKeywords…………………………………………………………………………Ⅱ

1引言……………………………………………………………………………………1

2序列形式的Stolz定理………………………………………………………………1

2.1型Stolz公式………………………………………………………………………1

2.2型Stolz公式………………………………………………………………………3

2.3序列形式的Stolz定理应用…………………………………………………………4

3函数形式的Stolz定理………………………………………………………………10

3.1型Stolz公式……………………………………………………………………10

3.2型Stolz公式………………………………………………………………………13

3.3函数形式的Stolz定理应用…………………………………………………………14

结论………………………………………………………………………………………18

致谢………………………………………………………………………………………19

参考文献…………………………………………………………………………………20

按已知条件有，即，，当时，有．

由

（1）得

两边同时除以，再同时减去，得

因为，故，使得时有．

于是．所以．

2°（的情况）

因为，所以对，，当时，，即

时，．

（2）

且有．

所以当时，严格递增．

（2）式中令，然后相加，可得

．

令，知，即．于是严格递增，，且．由1°的结论得，故．

3°（的情况）

只要令即可转化为2°中的情况．

注，一般推不出．例如

，．

这时虽然，但不趋向．

注若，在Stolz定理中设，．因为

，所以．因而Stolz定理是它的推广形式．

2.2型Stolz公式

定理2.2（型Stolz公式）设时，严格↘0（严格单调下降趋向零）．若，则（其中为有限数，或）．

证1°（为有限数的情况）

因为时，严格↘0（严格单调下降趋向零）．所以

，．

按已知条件，可知，,当时，有

．

即．

可得．

令，得，即．

所以．

2°（的情况）

因已知，所以对，，当时，有．

推得．令，得，即．故．

3°（的情况）

只要令即可转化为2°中的情况．

注Stolz定理只是给出了极限存在的充分条件，并非必要．例如

，．

虽然不存在，但是却有．另外，定理2.1其名为型，其实只要求分母↗（严格单调上升趋向无穷大），至于分子是否趋向无穷大，无关紧要．定理2.2是名副其实的型．因为定理要求分子、分母都以0为极限．因此，Stolz定理为求某些待定型极限提供了一个有用的工具．

2.3序列形式的Stolz定理应用

Stolz定理，对于求序列的极限十分有用．

例1应用Stolz定理求极限：

（1）；

（2）．

解

（1）由Stolz定理，得

．

（2）因为

，

所以，由Stolz定理，得

例2设，．证明：

．

证设，则．，，使得．

由于，故单调减．因此，当时，有，

可知．令，对递推公式取极限，得．即是单调减的无穷小量，利用Stolz定理

．

例3设数列收敛于，则当时，有

．

证由Stolz定理，有

Stolz定理，必要时可以重复使用．

例4设，其中，求．

解由于单调增且发散于，由Stolz定理

有时问题经过处理之后，方能应用Stolz定理．

例5设．试证：

极限存在时，

．

证因，只须证明第一项趋于零．

为了利用，特令，，…，，…，则知，且．

于是

所以．

例6设，当时有极限；为单调增的正数数列，且

．证明：

．

证设．由于，所以

由Stolz定理，得

例7求．

解先取对数，再求极限．

应用Stolz定理，得

．

故．

例8设数列，满足：

，，其中．证明：

．

证显然成立．

设．若，显然有．

若，则．．

．

令，．

由知，是严格增加的正无穷大的数列，应用Stolz定理得

所以，即．

例9设为自然数，求下列各极限：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解

（1）设，．因为，所以单调增，且

．又

于是，由Stolz定理得

．

（2）因为，

现设，．

因为，所以单调增，且．又

故由Stolz定理得：

当为自然数时

．

（3）设，．则单调增，且．

又因为

所以，由Stolz定理

．

（4）设，．则由知，单调增，且．

又因为，所以．

注意仍为型，且满足Stolz定理条件

．

可知．故．

3函数形式的Stolz定理

为了求非导函数的待定式的极限，在Stloz定理的基础上，给出了Stloz定理的推广定理，并对定理进行了证明．

3.1型Stolz公式

定理3.1（型）若为常数，

（ⅰ）；

（ⅱ）（当时），且，在内闭有界（即指：

，，在上有界）；

（ⅲ）．

则（其中为有限数，或）．

证1°（为有限数的情况）

按已知条件（当时），及知

，，当时有，

．

（1）

记．

（2）

则

在除以，减去，得

由

（1）式知，因为，

按条件，在上有界，即，使得

．于是

．

但（当时），故，当时有

．

所以．（3）

故，总及，使得．

从而由（3）式知．

即．

2°（为的情况）

因及，故，，当时，，．从而，有

．

由此

两边同时除以，得

．

注意到在上有界，而，所以，时，．于是

．

因，及，使得．故．

即．

3°（为的情况）

可考虑即可转化为2°中的情况．

3.2型Stolz公式

定理3.2（型）设T>0，且

（ⅰ）；

（ⅱ）；

（ⅲ）．

则（其中为有限数，或）．

证1°（为有限数的情况）

因为．所以．按已知条件，可知，，当时，有

．

对，由此可得

．

因为，令，得

．

即．故．

2°（为的情况）

因，所以，，当时，

．

推得．令，得，即．故．

3°（为的情况）

可考虑即可转化为2°中的情况．

3.3函数形式的Stolz定理应用

有些问题应用上述定理可变得十分容易．如

例1（Cauchy定理）若在内有定义，且内闭有界（即，在上有界），则

（1）；

（2），

当右边极限存在时成立．

证

（1）令，则，（取），且．

又和在上内闭有界，故当

存在时，可知

存在，且有

．

（2）已知，令，，则，（取），且．

由于在上内闭有界，则在上也内闭有界．又在上内闭有界，故当存在，从而也存在时，可知

存在，且有

．

例2设在上有定义，内闭有界，（=有限数，或）．则．

证

（为，也成立）．

例3设函数和在区间上满足

（1）；

（2）、可导，且；

（3）．

则．

证由条件

（2）可知，，．以下验证和在上满足定理3.1（型）的条件（取）．

1）由条件

（2），利用Lagrange中值定理知，，有

，，即，成立．

而由条件

（1），已成立．

2）由条件

（2）知，和在上连续，从而内闭有界．

3）由条件

（2）和（3），利用Cauchy中值定理知，，有

，成立．

从而有

．

由定理3.1（型），得证在上述条件下成立

．

结论

Stolz定理与L’Hospital法则是数学分析中处理“”型和“”型极限的两个重要工具，它们分别适用于变量为“离散的”和“连续的”情形．

Stolz定理实质上是已知数列与正无穷大数列的各自相邻两项增长率之比的极限，来求得的极限．这与求函数极限时，已知的极限来求的极限（型）的情形（L’Hospital法则）有相似之处．

Stolz定理常用于分子或分母是某一和式的极限求法，应用该定理时，要注意验证定理各条件．在同一题目中，只要定理条件满足，Stolz定理