高考数学知识方法专题8概率与统计第39练 概率的两类模型.docx

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高考数学知识方法专题8概率与统计第39练概率的两类模型

第39练　概率的两类模型

[题型分析·高考展望]　概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：

一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题或填空题的形式出现.

体验高考

1.（2015·课标全国Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：

（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），其中勾股数只有（3，4，5），所以概率为.故选C.

2.（2015·山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log

≤1”发生的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　由－1≤log

≤1，得≤x＋≤2，

∴0≤x≤.

∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.

3.（2015·福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）＝的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　由图形知C（1，2），D（－2，2），∴S四边形ABCD＝6，S阴＝×3×1＝.∴P＝＝.

4.（2016·课标全国乙）某公司的班车在7：

00，8：

00，8：

30发车，小明在7：

50至8：

30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.

5.（2016·天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.

高考必会题型

题型一　古典概型问题

例1　

（1）（2016·课标全国丙）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为，故选C.

（2）某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：

①选取的2位学生都是男生；

②选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.

解　①设4位男生的编号分别为1，2，3，4，2位女生的编号分别为5，6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种.

从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.

所以选取的2位学生全是男生的概率为P1＝＝.

②从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），共8种.

所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2＝.

点评　求解古典概型问题的三个步骤

（1）判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A.

（2）分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.

（3）利用古典概型的概率公式P（A）＝求出事件A的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.

变式训练1　（2016·北京）从甲，乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　从甲，乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.

题型二　几何概型问题

例2　

（1）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）

A.B.C.D.

（2）在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）如图所示，

正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，所以选D.

（2）所求概率为几何概型，测度为面积，

则Δ＝4a2＋4b2－4π≥0⇒a2＋b2≥π得所求概率为

1－＝.

点评　

（1）几何概型并不限于向平面（或直线、空间）投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.

（2）几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式（或其他简单不等式）组表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P（A）只与其所表示的区域的几何度量（长度、面积或体积）有关，而与区域的位置和形状无关.

变式训练2　

（1）已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）

A.B.C.D.

（2）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

答案　

（1）D　

（2）

解析　

（1）由＋＋2＝0，

可得＋＝－2，

由向量加法的几何意义可知点P在△ABC的中线AD上，且＋＝，

如图所示，由共线向量定理知＝2＝－2，

所以＝－，所以P为AD的中点，

所以△PBC的面积是△ABC面积的，

根据几何概型可知黄豆落在△PBC内的概率是P＝＝，故选D.

（2）由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2（e－ex）dx＝2（ex－ex）

＝2[e－e－（0－1）]＝2.又该正方形面积为e2，

故由几何概型的概率公式可得所求概率为.

高考题型精练

1.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　从1，2，3，4中任取2个不同的数共有6（种）不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的有2种不同取法，故所求概率为＝，选B.

2.（2015·广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　）

A.B.C.D.1

答案　B

解析　从袋中任取2个球共有C＝105（种）取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50（种）取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.

3.（2016·课标全国甲）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.

4.在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，10]内的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　设这两个数为x，y，

则0≤x≤10，0≤y≤10，

构成一个正方形，面积为102，

这两个数的平方和x2＋y2∈[0，10]，

在正方形中形成的阴影面积为，

因此所求概率为＝，选A.

5.设a∈[1，4]，b∈[1，4]，现随机地抽出一对有序实数对（a，b）使得函数f（x）＝4x2＋a2与函数g（x）＝－4x的图象有交点的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　因为a∈[1，4]，b∈[1，4]，

所以（a，b）所在区域面积为9，

f（x）＝4x2＋a2与函数g（x）＝－4x的图象有交点，

等价于4x2＋4x＋a2＝0有解，

即是b≥a2，

此时（a，b）所在区域如图阴影部分，

其面积为3－（a2－1）da＝3－（a3－a）＝，

由几何概型概率公式得到函数f（x）＝4x2＋a2与函数g（x）＝－4x的图象有交点的概率为＝，

故选A.

6.一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的内部爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（　　）

A.6－B.6－C.1－D.2－

答案　C

解析　因为三角形的面积为×3×4＝6，离三角形的三个顶点的距离不超过1的面积为×π×12＝，

所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P＝＝1－，故选C.

7.（2016·四川）从2、3、8、9任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________.

答案　

解析　从2、3、8、9任取两个数分别为记为（a，b），则有（2，3），（3，2），（2，8），（8，2），（2，9），（9，2），（3，8），（8，3），（3，9），（9，3），（8，9），（9，8），共有12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，所以P＝＝.

8.若袋中5个外形相同的小球，其中红球2个，白球3个，现从中任取2个球，则取出的球中有红球的概率为________.

答案　

解析　5个外形相同的小球，记其中的2个红球为1，2，3个白球为a，b，c.从中任取2个球，共有10种可能的结果，其中没有红球有3种可能的结果.

所以有红球的概率为1－＝.

9.（2016·上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.

答案　

解析　甲同学从四种水果中选两种，选法有C种，乙同学的选法有C种.两同学相同的选法有C种，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为＝.

10.一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”.若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数abc，则它为“凹数”的概率是________.

答案　

解析　根据题意，当且仅当a>b且c>b是称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A＝60（种）取法，在{4，5，6，7，8}中任取3个不同的数组成“凹数”有以下3种取法，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A＝12（种）；将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A＝6（种）；将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A＝2（种）；根据分类加法计数原理，可得共有12＋6＋2＝20（种），所以构成“凹数”的概率为＝.

11.甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙闯关成功的概率为，每人闯关成功得2分，三人得分之和记为小组团体总分.

（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；

（2）求团体总分为4分的概率；

（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组可参加复赛的概率.

解　记甲、乙、丙三人各自独立闯关成功的事件依次为A、B、C，则由已知条件得P（A）＝，P（A·B）＝，P（B·C）＝.

（1）∵P（A·B）＝P（A）·P（B），∴P（B）＝.

同理，P（C）＝.

（2）∵每人闯关成功记2分，要使团体总分为4分，则需要两人闯关成功，

∴两人都闯关成功的概率

P1＝··＋··＋··＝，

即团体总分为4分的概率P1＝.

（3）团体总分不小于4分，则团体总分可能为4分，可能为6分，团体总分为6分，需要三人都闯关成功，

三人闯关都成功的概率P2＝··＝.

由

（2）知团体总分为4分的概率P1＝，

∴团体总分不小于4分的概率P＝P1＋P2＝＋＝.

12.如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q.

（1）求p和q的值；

（2）问最少几分钟，甲乙二人相遇？

并求出最短时间内可以相遇的概率.

解　

（1）∵＋＋＋p＝1，∴p＝，

又∵4q＝1，∴q＝.

（2）最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇（如图，在C、D、E三处相遇）.

设在C、D、E三处相遇的概率分别为pC、pD、pE，

则pC＝（×）×（×）＝，

pD＝2（×）×2（×）＝，

pE＝（×）×（×）＝，

∴pC＋pD＋pE＝（＋＋）＝，

即所求的概率为.