02数值计算与数据分析.docx
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02数值计算与数据分析
第2章数值计算与数据分析
2.1基本数学函数
2.1.1三角函数与双曲函数
函数sin、sinh
功能正弦函数与双曲正弦函数
格式Y=sin(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的正弦值Y,所有分量的角度单位为弧度。
Y=sinh(X)%计算参量X的双曲正弦值Y
注意:
sin(pi)并不是零,而是与浮点精度有关的无穷小量eps,因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已;对于复数Z=x+iy,函数的定义为:
sin(x+iy)=sin(x)*cos(y)+i*cos(x)*sin(y),
,
例2-1
x=-pi:
0.01:
pi;plot(x,sin(x))
x=-5:
0.01:
5;plot(x,sinh(x))
图形结果为图2-1。
图2-1正弦函数与双曲正弦函数图
函数asin、asinh
功能反正弦函数与反双曲正弦函数
格式Y=asin(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反正弦函数值Y。
若X中有的分量处于[-1,1]之间,则Y=asin(X)对应的分量处于[-π/2,π/2]之间,若X中有分量在区间[-1,1]之外,则Y=asin(X)对应的分量为复数。
Y=asinh(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲正弦函数值Y
说明反正弦函数与反双曲正弦函数的定义为:
,
例2-2
x=-1:
.01:
1;plot(x,asin(x))
x=-5:
.01:
5;plot(x,asinh(x))
图形结果为图2-2。
图2-2反正弦函数与反双曲正弦函数图
函数cos、cosh
功能余弦函数与双曲余弦函数
格式Y=cos(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的余弦值Y,所有角度分量的单位为弧度。
我们要指出的是,cos(pi/2)并不是精确的零,而是与浮点精度有关的无穷小量eps,因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y=sinh(X)%计算参量X的双曲余弦值Y
说明若X为复数z=x+iy,则函数定义为:
cos(x+iy)=cos(x)*cos(y)+i*sin(x)*sin(y),
,
例2-3
x=-pi:
0.01:
pi;plot(x,cos(x))
x=-5:
0.01:
5;plot(x,cosh(x))
图形结果为图2-3。
图2-3余弦函数与双曲余弦函数图
函数acos、acosh
功能反余弦函数与反双曲余弦函数
格式Y=acos(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反余弦函数值Y。
若X中有的分量处于[-1,1]之间,则Y=acos(X)对应的分量处于[0,π]之间,若X中有分量在区间[-1,1]之外,则Y=acos(X)对应的分量为复数。
Y=asinh(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲余弦函数Y
说明反余弦函数与反双曲余弦函数定义为:
,
例2-4
x=-1:
.01:
1;plot(x,acos(x))
x=-5:
.01:
5;plot(x,acosh(x))
图形结果为图2-4。
图2-4反余弦函数与反双曲余弦函数图
函数tan、tanh
功能正切函数与双曲正切函数
格式Y=tan(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的正切值Y,所有角度分量的单位为弧度。
我们要指出的是,tan(pi/2)并不是精确的零,而是与浮点精度有关的无穷小量eps,因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y=tanh(X)%返回参量X中每一个元素的双曲正切函数值Y
例2-5
x=(-pi/2)+0.01:
0.01:
(pi/2)-0.01;%稍微缩小定义域
plot(x,tan(x))
x=-5:
0.01:
5;plot(x,tanh(x))
图形结果为图2-5。
图2-5正切函数与双曲正切函数图
函数atan、atanh
功能反正切函数与反双曲正切函数
格式Y=atan(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反正切函数值Y。
若X中有的分量为实数,则Y=atan(X)对应的分量处于[-π/2,π/2]之间。
Y=atanh(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲正切函数值Y。
说明反正切函数与反双曲正切函数定义为:
,
例2-6
x=-20:
0.01:
20;plot(x,atan(x))
x=-0.99:
0.01:
0.99;plot(x,atanh(x))
图形结果为图2-6。
图2-6反正切函数与反双曲正切函数图
函数cot、coth
功能余切函数与双曲余切函数
格式Y=cot(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的余切值Y,所有角度分量的单位为弧度。
Y=coth(X)%返回参量X中每一个元素的双曲余切函数值Y
例2-7
x1=-pi+0.01:
0.01:
-0.01;%去掉奇点x=0
x2=0.01:
0.01:
pi-0.01;%做法同上
plot(x1,cot(x1),x2,cot(x2))
plot(x1,coth(x1),x2,coth(x2))
图形结果为图2-7。
图2-7余切函数与双曲余切函数图
函数acot、acoth
功能反余切函数与反双曲余切函数
格式Y=acot(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反余切函数Y
Y=acoth(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲余切函数值Y
例2-8
x1=-2*pi:
pi/30:
-0.1;x2=0.1:
pi/30:
2*pi;%去掉奇异点x=0
plot(x1,acot(x1),x2,acot(x2))
x1=-30:
0.1:
-1.1;x2=1.1:
0.1:
30;
plot(x1,acoth(x1),x2,acoth(x2))
图形结果为图2-8。
图2-8反余切函数与反双曲余切函数图
函数sec、sech
功能正割函数与双曲正割函数
格式Y=sec(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的正割函数值Y,所有角度分量的单位为弧度。
我们要指出的是,sec(pi/2)并不是无穷大,而是与浮点精度有关的无穷小量eps的倒数,因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y=sech(X)%返回参量X中每一个元素的双曲正割函数值Y
例2-9
x1=-pi/2+0.01:
0.01:
pi/2-0.01;%去掉奇异点x=pi/2
x2=pi/2+0.01:
0.01:
(3*pi/2)-0.01;
plot(x1,sec(x1),x2,sec(x2))
x=-2*pi:
0.01:
2*pi;
plot(x,sech(x))
图形结果为图2-9。
图2-9正割函数与双曲正割函数图
函数asec、asech
功能反正割函数与反双曲正割函数
格式Y=asec(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反正割函数值Y
Y=asech(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲正割函数值Y
例2-10
x1=-5:
0.01:
-1;x2=1:
0.01:
5;
plot(x1,asec(x1),x2,asec(x2))
x=0.01:
0.001:
1;plot(x,asech(x))
图形结果为图2-10。
图2-10反正割函数与反双曲正割函数图
函数csc、csch
功能余割函数与双曲余割函数
格式Y=csc(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的余割函数值Y,所有角度分量的单位为弧度。
Y=csch(X)%返回参量X中每一个元素的双曲余割函数值Y
例2-11
x1=-pi+0.01:
0.01:
-0.01;x2=0.01:
0.01:
pi-0.01;%去掉奇异点x=0
plot(x1,csc(x1),x2,csc(x2))
plot(x1,csch(x1),x2,csch(x2))
图形结果为图2-11。
图2-11余割函数与双曲余割函数图
函数acsc、acsch
功能反余割函数与反双曲余割函数。
格式Y=asec(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反余割函数值Y
Y=asech(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲余割函数值Y
例2-12
x1=-10:
0.01:
-1.01;x2=1.01:
0.01:
10;%去掉奇异点x=1
plot(x1,acsc(x1),x2,acsc(x2))
x1=-20:
0.01:
-1;x2=1:
0.01:
20;
plot(x1,acsch(x1),x2,acsch(x2))
图形结果为图2-12。
图2-12反余割函数与反双曲余割函数图
函数atan2
功能四象限的反正切函数
格式P=atan2(Y,X)%返回一与参量X和Y同型的、与X和Y元素的实数部分对应的、元素对元素的四象限的反正切函数阵列P,其中X和Y的虚数部分将忽略。
阵列P中的元素分布在闭区间[-pi,pi]上。
特定的象限将取决于sign(Y)与sign(X)。
例2-13
z=1+2i;
r=abs(z);
theta=atan2(imag(z),real(z))
z=r*exp(i*theta)
feather(z);holdon
t=0:
0.1:
2*pi;
x=1+sqrt(5)*cos(t);
y=sqrt(5)*sin(t);
plot(x,y);
axisequal;holdoff
计算结果为:
theta=
1.1071
z=
1.0000+2.0000i
图形结果为图2-13。
图2-13四象限的反正切函数图
2.1.2其他常用函数
函数fix
功能朝零方向取整
格式B=fix(A)%对A的每一个元素朝零的方向取整数部分,返回与A同维的数组。
对于复数参量A,则返回一复数,其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝零方向的整数部分。
例2-14
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>B=fix(A)
计算结果为:
B=
Columns1through4
-1.000003.00005.0000
Columns5through6
7.00002.0000+3.0000i
函数roud
功能朝最近的方向取整。
格式Y=round(X)%对X的每一个元素朝最近的方向取整数部分,返回与X同维的数组。
对于复数参量X,则返回一复数,其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝最近方向的整数部分。
例2-15
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>Y=round(A)
计算结果为:
Y=
Columns1through4
-2.000003.00006.0000
Columns5through6
7.00002.0000+4.0000i
函数floor
功能朝负无穷大方向取整
格式B=floor(A)%对A的每一个元素朝负无穷大的方向取整数部分,返回与A同维的数组。
对于复数参量A,则返回一复数,其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝负无穷大方向的整数部分。
例2-16
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>F=floor(A)
计算结果为:
F=
Columns1through4
-2.0000-1.00003.00005.0000
Columns5through6
7.00002.0000+3.0000i
函数rem
功能求作除法后的剩余数
格式R=rem(X,Y)%返回结果X-fix(X./Y).*Y,其中X、Y应为正数。
若X、Y为浮点数,由于计算机对浮点数的表示的不精确性,则结果将可能是不可意料的。
fix(X./Y)为商数X./Y朝零方向取的整数部分。
若X与Y为同符号的,则rem(X,Y)返回的结果与mod(X,Y)相同,不然,若X为正数,则rem(-X,Y)=mod(-X,Y)-Y。
该命令返回的结果在区间[0,sign(X)*abs(Y)],若Y中有零分量,则相应地返回NaN。
例2-17
>>X=[12233445];
>>Y=[3726];
>>R=rem(X,Y)
计算结果为:
R=
0203
函数ceil
功能朝正无穷大方向取整
格式B=floor(A)%对A的每一个元素朝正无穷大的方向取整数部分,返回与A同维的数组。
对于复数参量A,则返回一复数,其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝正无穷大方向的整数部分。
例2-18
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>B=ceil(A)
计算结果为:
B=
Columns1through4
-1.000004.00006.0000
Columns5through6
7.00003.0000+4.0000i
函数exp
功能以e为底数的指数函数
格式Y=exp(X)%对参量X的每一分量,求以e为底数的指数函数Y。
X中的分量可以为复数。
对于复数分量如,z=x+i*y,则相应地计算:
e^z=e^x*(cos(y)+i*sin(y))。
例2-19
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>Y=exp(A)
计算结果为:
Y=
1.0e+003*
Columns1through4
0.00010.00080.02310.2704
Columns5through6
1.0966-0.0099-0.0049i
函数expm
功能求矩阵的以e为底数的指数函数
格式Y=expm(X)%计算以e为底数、x的每一个元素为指数的指数函数值。
若矩阵x有小于等于零的特征值,则返回复数的结果。
说明该函数为一内建函数,它有三种计算算法:
(1)使用文件expm1.m中的用比例法与二次幂算法得到的Pad近似值;
(2)使用Taylor级数近似展开式计算,这种计算在文件expm2.m中。
但这种一般计算方法是不可取的,通常计算是缓慢且不精确的;
(3)在文件expm3.m中,先是将矩阵对角线化,再把函数计算出相应的的特征向量,最后转换过来。
但当输入的矩阵没有与矩阵阶数相同的特征向量个数时,就会出现错误。
例2-20
>>A=hilb(4);
>>Y=expm(A)
计算结果为:
Y=
3.25061.20680.83550.6417
1.20681.74030.54170.4288
0.83550.54171.41000.3318
0.64170.42880.33181.2729
函数log
功能自然对数,即以e为底数的对数。
格式Y=log(X)%对参量X中的每一个元素计算自然对数。
其中X中的元素可以是复数与负数,但由此可能得到意想不到的结果。
若z=x+i*y,则log对复数的计算如下:
log(z)=log(abs(z))+i*atan2(y,x)
例2-21下面的语句可以得到无理数π的近似值:
>>Pi=abs(log(-1))
计算结果为:
Pi=
3.1416
函数log10
功能常用对数,即以10为底数的对数。
格式Y=log10(X)%计算X中的每一个元素的常用对数,若X中出现复数,则可能得到意想不到的结果。
例2-22
>>L1=log10(realmax)%由此可得特殊变量realmax的近似值
>>L2=log10(eps)%由此可得特殊变量eps的近似值
>>M=magic(4);
>>L3=log10(M)
计算结果为:
L1=
308.2547
L2=
-15.6536
L3=
1.20410.30100.47711.1139
0.69901.04141.00000.9031
0.95420.84510.77821.0792
0.60211.14611.17610
函数sort
功能把输入参量中的元素按从小到大的方向重新排列
格式B=sort(A)%沿着输入参量A的不同维的方向、从小到大重新排列A中的元素。
A可以是字符串的、实数的、复数的单元数组。
对于A中完全相同的元素,则按它们在A中的先后位置排列在一块;若A为复数的,则按元素幅值的从小到大排列,若有幅值相同的复数元素,则再按它们在区间[-π,π]的幅角从小到大排列;若A中有元素为NaN,则将它们排到最后。
若A为向量,则返回从小到大的向量,若A为二维矩阵,则按列的方向进行排列;若A为多维数组,sort(A)把沿着第一非单元集的元素象向量一样进行处理。
B=sort(A,dim)%沿着矩阵A(向量的、矩阵的或多维的)中指定维数dim方向重新排列A中的元素。
[B,INDEX]=sort(A,…)%输出参量B的结果如同上面的情形,输出INDEX是一等于size(A)的数组,它的每一列是与A中列向量的元素相对应的置换向量。
若A中有重复出现的相同的值,则返回保存原来相对位置的索引。
例2-23
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>[B1,INDEX]=sort(A)
>>M=magic(4);
>>B2=sort(M)
计算结果为:
B1=
Columns1through4
-0.2000-1.90003.14162.4000+3.6000i
Columns5through6
5.60007.0000
INDEX=
213645
B2=
4231
5768
9111012
16141513
函数abs
功能数值的绝对值与复数的幅值
格式Y=abs(X)%返回参量X的每一个分量的绝对值;若X为复数的,则返回每一分量的幅值:
abs(X)=sqrt(real(X).^2+imag(X).^2)。
例2-24
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>Y=abs(A)
计算结果为:
Y=
1.90000.20003.14165.60007.00004.3267
函数conj
功能复数的共轭值
格式ZC=conj(Z)%返回参量Z的每一个分量的共轭复数:
conj(Z)=real(Z)-i*imag(Z)
函数imag
功能复数的虚数部分
格式Y=imag(Z)%返回输入参量Z的每一个分量的虚数部分。
例2-25
>>imag(2+3i)
计算结果为:
ans=
3
函数real
功能复数的实数部分。
格式Y=real(Z)%返回输入参量Z的每一个分量的实数部分。
例2-26
>>real(2+3i)
计算结果为:
ans=
2
函数angle
功能复数的相角
格式P=angle(Z)%返回输入参量Z的每一复数元素的、单位为弧度的相角,其值在区间[-π,π]上。
说明angle(z)=imag(log(z))=atan2(imag(z),real(z))
例2-27
>>Z=[1-i,2+i,3-i,4+i;
>>1+2i,2-2i,3+2i,4-2i;
>>1-3i,2+3i,3-3i,4+3i;
>>1+4i,2-4i,3+4i,4-4i];
>>P=angle(Z)
计算结果为:
P=
-0.78540.4636-0.32180.2450
1.1071-0.78540.5880-0.4636
-1.24900.9828-0.78540.6435
1.3258-1.10710.9273-0.7854
函数complex
功能用实数与虚数部分创建复数
格式c=complex(a,b)%用两个实数a,b创建复数c=a+bi。
输出参量c与a、b同型(同为向量、矩阵、或多维阵列)。
该命令比下列形式的复数输入更有用:
a+i*b或a+j*b因为i和j可能被用做其他的变量(不等于sqrt(-1)),或者a和b不是双精度的。
c=complex(a)%输入参量a作为输出复数c的实部,其虚部为0:
c=a+0*i。
例2-28
>>a=uint8([1;2;3;4]);
>>b=uint8([4;3;2;1]);
>>c=complex(a,b)
计算结果为:
c=
1.0000+4.0000i
2.0000+3.0000i
3.0000+2.0000i
4.0000+1.0000i
函数mod
功能模数(带符号的除法余数)
用法M=mod(X,Y)%输入参量X、Y应为整数,此时返回余数X-Y.*floor(X./Y),若Y≠0,或者是X。
若运算数x与y有相同的符号,则mod(X,Y)等于rem(X,Y)。
总之,对于整数x,y,有:
mod(-x,y)=rem(-x,y)+y。
若输入为实数或复数,由于浮点数在计算机上的不精确表示,该操作将导致不可预测的结果。
例2-29
>>M1=mod(13,5)
>>M2=mod([1:
5],3)
>>M3=mod(magic(3),3)
计算结果为:
M1=
3
M2=
12012
M3=
210
021
102
函数nchoosek
功能二项式系数或所有的组合数。
该命令只有对n<15时有用。
函数C=nchoosek(n,k)%参量n,k为非负整数
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