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CFANOTES
LOSd:
Calculatepricesofinterestrateoptionsandoptionsonassetsusingone-andtwo-periodbinomialmodels.
LOSe:
Explainhowthebinomialmodelvalueconvergesastimeperiodsareadded.
这个LOS可理解成,当binomialmodel的区间划分的越来越小的时候,binomialmodel得到的期权价格趋向于同一个价格,换句话说,划分500个区间与划分1000个区间得到的期权价格很接近。
见下面这个图有个直观的了解
LOSf:
ExplaintheassumptionsunderlyingtheBlack-Scholes-Mertonmodel.
BSM模型有六个假设,分别是,
1.基础资产的价格遵循自然对数正态分布,注意,是价格遵循自然对数正态分别,收益遵循的是正态分布。
2.无风险利率已知且不变。
3.基础资产的波动率已知且不变
4.无税收和交易成本
5.在期权寿命期间,基础资产不会产生现金流
6.BSM模型只适用与定价Europeanoptions
ThefollowingkeyassumptionsunderlietheBlack-Scholes-MertonModel:
1.Theunderlyingpricefollowsalognormalprobabilitydistributionasitadvancesthroughtime.Logreturnsarealsoreferredtoascontinuouslycompoundedreturns.Ifthisreturnfollowsanormaldistribution,itislognormallydistributed.
2.Therisk-freerateisknownandinvariable,orconstant。
themodeldoesnotallowinterestratestoberandom.
3.Thevolatilityoftheunderlyingassetisknownandinvariable。
volatilityisbothknown,andassumednottochangeovertime.Thisisthemostcriticalassumptionofthemodel.Ofcourse,volatilityinrealityisnotconstant.
4.Therearenotaxesortransactioncosts.
5.Therearenocashflowsontheunderlyingasset.
6.ThemodelisgenerallyonlyusedtovalueEuropeanoptions.AbinomialmodelwithagreatnumberoftimeperiodsisbettertovalueAmericanoptions.
LOSh:
Explainhowanoptionprice,asrepresentedbytheBlack-Scholes-Mertonmodel,isaffectedbyeachoftheinputvalues(theoptionGreeks).
这个LOS讲了,如何利用BSM公式,来知道期权价格与输入量之间的关系。
对于call来说,可以用这个公式帮助记忆,
,变形为
,从这个公式可知,价格与现价成正相关,与X成负相关,与R成正相关,与时间t成正相关。
另外,波动率增加,会增加卖权与买权的价值,这个要另外记忆了。
*Thereisanexceptiontothis,thegeneralrulethatthethetaofaEuropeanputispositive.AnincreaseintimetoexpirationcandecreasethevalueofaEuropeanput,whenthepricedecreasefromdiscountingtheexercisepriceatahigherrateoutweighsthepositiveeffectoflongertime
LOSi:
Explainthedeltaofanoption,anddemonstratehowitisusedindynamichedging.
Call的Delta在binomialmodel是通过Delta=(C+-C-)/(S+-S-)计算的,在BSM模型中,Delta=N(d1),可见,Call的Delta是在0到1之间的。
Call的Delta的含义是,在基础资产价格变动1单位的时候,call的价格变动delta个单位。
这样,可以利用多头基础资产,空头call,或者空头基础资产,多头call构建无风险资产,达到套期保值的目的。
如多头100单位的call,hedgeratio是0.6的话,可以空头60单位的基础资产,这样就构建了一个无风险的资产组合。
但问题是,随着基础资产价格的变化,delta也会发生变化,这样,原来构建的无风险资产又不是完全对冲了。
这样,就需要不断的根据delta的变化调整投资组合,称为dynamichedging,动态套期保值。
Deltadefinessensitivityofoptionpricetoanychangeintheunderlyingasset'sprice.Deltaisconstantlychanging,thusdeltahedgingisadynamicprocess,referredtoasdynamichedging,meaningthatthehedgemustbeconstantlyadjusted.
Ifchangesintheunderlyingasset'spricearelarge,orthedeltahedgeisnotadjustedoverafairlylongtimeperiod,thehedgemaynotbeeffective.Thisisbecausethedeltamaybeunstable。
thisisreferredtoasthegammaeffect.Ifthiseffectisgreat,optionpricechangeswillnotbeveryclosetochangeswhichhadbeenestimatedbythedeltatimestheunderlyingassetpricechange.
LOSj:
Explainthegammaeffectonanoption'spriceanddelta.
Gamma是期权价格对股票价格的二阶偏导数,_Gamma在基础资产的现价等于执行价格时候最大,Gamma衡量的是当基础资产的价格发生变动的时候,delta的变化情况,Gamma大,delta变化大,Gamma小,delta变化小。
所以,利用delta套期保值,Gamma大的时候,套期保值的效果就差、
Gamma在基础资产的现价等于执行价格时候最大这句话要记住。
基础资产的现价大于或小于执行价格,Gamma都会变小。
见下图,在S=X的时候,Gamma最大。
此时套期保值的效果也最差。
Gammaisameasureofthesensitivityofthedeltatotheunderlyingasset,orhowmuchdeltachanges.Whengammaislarge,deltachangesquicklyandisnotagoodapproximationofhowmuchtheoptionmovesforeachmovementintheunderlyingstockpricechange.
Gammaisgreaterwhenthereisgreateruncertaintyconcerningwhethertheoptionwillexpirein-orout-of-themoney.Gammawillthusbelargewhentheoptionisat-the-moneyornearlyso.Duringthistime,adeltahedgewouldnotworkwell.Attimeswhengammaislarge,agamma-basedhedgemaybeneeded.Apositioncanbeaddedinanotheroptiontothedelta-hedgepositionoftheunderlyingassetandtheoption.
LOSk:
Discusstheeffectoftheunderlyingasset'scashflowsonthepriceofanoption.
这里LOS讲了基础资产的现金流如何影响option的价格的,处理方法比较简单,将现金流的现值从基础资产的现货价格减掉即可。
Cashflowsontheunderlyingassetaffectvaluationofforwardandfuturescontracts,andalsooptionprices.Thepresentvalueofdividendsmustbesubtractedfromtheunderlyingstockprice.TheinputfortheBlack-Scholes-MertonModelisadjustedasfollows:
S0=priceofunderlyingassetattime0(today)
AdjustingS0forcashflows:
S0-PV(CF,0,T)(Subtractthepresentvalue)
LOSl:
Demonstratethemethodsforestimatingthefuturevolatilityoftheunderlyingasset(i.e.,thehistoricalvolatilityandtheimpliedvolatilitymethods).
Historicalvolatility:
ConvertatimeseriesofNpricestoreturns.
Convertthereturnstocontinuouslycompoundedreturns.
Calculatethevarianceandstandarddeviationofthecontinuouslycompoundedreturns.
Impliedvolatility:
SettheBlack-Scholes-Mertonmodelpriceequaltomarketpriceoftheoption.This"infers"thevolatility.
Thisimpliedvolatilityisameasureofthevolatilitythemarketitselfisusingtopricetheoption.
这里讲了两种计算volatilityoftheunderlyingasset,一种是Historicalvolatility,即用已知的资产价格,计算收益的波动率,即标准差。
另外一种方法是用BSM公式倒推出波动率,这个波动率称为Impliedvolatility。
用BSM方法的话,要求知道opion的价格,而且这个价格应能反应基础资产的波动率。
LOSn:
CompareandcontrastAmericanoptionsonforwardsandfuturestoEuropeanoptionsonforwardsandfutures.
optionsonfutures称为期货期权,即optionsonfutures的持有者有权但无义务进入一个futures,这里options的基础资产是futures,本身也是衍生金融工具了。
AmericanoptionsonforwardsandfuturestoEuropeanoptionsonforwardsandfutures.的最大区别是Americanoptionsonforwardsandfutures可提前执行,而Europeanoptionsonforwardsandfutures.一定要在到期日才可以执行。
这个LOS讲了,提早执行Americanoptionsonfutures有时是有利的。
这样,AmericanoptionsonforwardsandfuturestoEuropeanoptionsonforwardsandfutures的价格就不一样,Americanoptionsonforwards的价格可能会高一点。
InthecaseofAmericanoptionsonfutures,itcouldbeadvisabletoexercisecallsandputsearly.SuchanearlyexerciseisneverjustifiedinthecaseofAmericancallsonunderlyingassetsthanmakenocashpayments,butmaybeworthwhileinthecaseofAmericancalloptionsonfutures.
Americanoptionsonfutures,putsandcalls,canattimesbeexercisedearly,sotheyaredifferentfromEuropeanoptionsonfuturesandbringahigherprice.
_
LOSa:
Distinguishbetweenthepricingandvaluationofswaps.
Atypicalswapwillbefixed/floating,soitwillcontainafixedrate,orpayment.Topricethisswap,thetermsatthebeginningoftheswapneedtobedetermined.Thefixedtermsaresetatthebeginningoftheswap,sotheswapwillhaveabeginningmarketvalueofzero.
Valuingaswapinvolvesfindingoutthemarketvalueoftheswapbasedonpresentmarketconditions.Overtime,marketvaluewillchange:
Atinitiation,thereisnoassetorliabilitytoeitherparty,sincethevaluationiszero.
Astimegoesonandmarketvaluechanges,theswapwillhaveapositivevaluetooneparty,andanegativevaluetotheother.
LOSb:
Explaintheequivalenceofswapstocombinationsofotherinstruments.
前面说过swaps实际是一系列的forward,定价swaps,实际上是定价这一系列的forward,这一系列的forward有共同的执行价格。
举个例子,在一个plainvanillainterestrateswap中,一方答应以浮动利率交换固定利率,其实是一系列的FRA,现在的问题是,在一个plainvanillainterestrateswap中,固定利率是多少才合适?
求这个固定利率实际上就是priceplainvanillainterestrateswap。
Valueofswaps是求的swap的价值,对一方而言,其得到的,减去其付出的,就是其价值,价值可能为正,可能为负的。
Swaps既然是一系列的远期,远期在开始的时候,是不用前端支付的,因此,在swap的初始,其价值应该为零的。
记住这个话Atinitiation,thereisnoassetorliabilitytoeitherparty,sincethevaluationiszero。
在swap的生命期内,swap的价格是不会发生改变的,因为这个价格一开始就确定了,在整个期内都是固定不变,即写进合同中了。
记住这句话Thepriceofaswap,quotedasthefixedrateintheswap,isdeterminedatcontractinitiationandremainsfixedforthelifeoftheswap.
Swapscanbelookedatascombinationsofotherassets:
Currencyswaps:
Similartoissuingabonddenominatedinonecurrencyandusingtheproceedstopurchaseabonddenominatedinanothercurrency.
Currencyswaps相当于一一国货币发行债券,以所得购买以另一国货币表示的债券。
Interestrateswaps:
Similartoissuingafixed-ratebondandusingtheproceedstopurchaseafloating-ratebond,orthereverse.
Interestrateswaps相当于发行浮动利率债券,用所得购买固定利率债券,或反过来。
这里,要搞清楚fixedpayer与fixedreceiver的区别。
fixedpayer是指pay(空头)fixedrate,receive(多头)floatingrate.fixedreceiver反过来。
发行债券是空头该债券,购买债券是多头该债券。
所以fixedpayerinInterestrateswaps相当于发行固定利率的债券,再用所得购买浮动利率的债券。
Equityswaps:
Similartoissuingabondandusingtheproceedstopurchasestock,orthereverse.
Equityswaps是一方支付对方Equity收益,另一方支付固定利率。
Equityswaps相当于发行债券,用所得购买股票,或反过来。
Equityswapswithbothsidespayingequityreturn:
Similartosellingshortonestockandusingtheproceedstopurchaseanotherstock.(Stockpositionisnotabuy-and-holdposition-willrequirerebalancing.)
Equityswapswithbothsidespayingequityreturn相当于空头一股票,再用所得多头另一股票。
LOSc:
Explainhowinterestrateswapsareequivalenttoaseriesofoff-marketforwardrateagreements(FRAs).
FRA实际上也是以固定利率交换浮动利率,所以interestrateswaps与FRA是十分相似的,但FRA是一期的,只发生一期的结算,而interestrateswaps是多期的结算,因此是一系列的FRA。
这一系列的FRA不可能有相同的价格,因为浮动利率总会变动的。
而interestrateswaps的swaprate,即价格,只有一个,所以,可以把swaprate看成是一系列FRA价格的平均数,这样,有的FRA的价格大于swaprate,有的是小于swaprate,这样可看成是一系列的off-marketforwardrateagreements。
AseriesofFRAsexpiringonthepaymentdatesofaswapwouldnotlikelyallhavethesamefixedratesasthoseinazero-valueswap(atinitiation).Ifweviewtheswapfixedrateasa(complex)averageofthefixedratesonanequivalentseriesofFRAs,someoftheFRArateswillbeabove,andothersbelow,theswapfixedrate.
Viewingthecomponentpartsoftheswapinthisway,wecanconcludethattheyare(individually)off-marketforwards.
Recalltha
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