《复数的几何意义》同步练习1新人教B版选修22doc.docx
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《复数的几何意义》同步练习1新人教B版选修22doc
高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题
1.在数学归纳法证明“l+〃+/+...+/=L—(。
。
1,时,验证当〃=1时,等式
1-a
的左边为()
A.1B.aC.1+。
D.[-a2答案:
C
2.已知三次函数f(x)=-x
3
3-(4m-l)x2+(15〃?
2—2〃?
一7)x+2在xc(—8,+8)上是增函数,贝[J
m的取值范围为(
A.m<2或m>4
C.2v"z<4
)
B.-4 D.以上皆不正确 答案: C 3.设/(x)=(ax+Z? )sinx+(cx+J)cosx>若f\x)=xcosx,则o,b,c,d的值分别为() A.1,1,0,0B.1,0,1,0C・0,1,0,1D.1,0,0,1 答案: D 4.己知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(l,l),且在点02,-1)处的切线平行于直线y=x-3 则抛物线方程为( 答案: A 答案: C 6.已知。 人是不相等的正数,工=也二脱,),=亦血,贝八,),的关系是(J2 D.不确定 答案: B 7.复数z=ym(〃ER)不可能在() 1-2/ A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案: A 8. 定义B*C,C*D,D*A的运算分别对应下图中的 (1), (2),(3),(4),那么,图中(A),(B)可能是下列()的运算的结果() 答案: B 9. 用反证法证明命题“〃,关N,如果沥可被5整除,那么。 ,人至少有1个能被5整除则假设的内容是() A.”,人都能被5整除 B.“,。 都不能被5整除 C.。 不能被5整除 D. A.B-D,A*Z) C・B-C,A^D B.B-D,A*C D.C*D,A*。 。 ,8有1个不能被5整除答案: B 10.下列说法正确的是() A.函数y=|x|有极大值,但无极小值 B.函数y=|x|有极小值,但无极大值 C.函数y=|x|既有极大值又有极小值 D.函数y=|x|无极值 答案: B 11.对于两个殳数«=-+—/,下列四个结论: ①砂=1;②三=1;③孔=1; 2222/3\p\ ④^+“3=1.其中正确的个数为() A.1B.2C.3D.4 答案: B 12.设/(同在",可上连续,则在[a,fe]±的平均值是( A/(a);W)b.£f(x)dxC.1£f(x)dx 答案: D 二、填空题 13.若复数z=log』r-3x-3)+ilog2(x-3)为实数,则工的值为・ 答案: 4 14.一同学在电脑中打出如卜图形(O表示空心园,•表示实心圆)0900900090000•- 若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前2006年圆中有实心圆的个数为. 答案: 61 15.函数f(x)^ax3-6ax2+b(a>0)在区间[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,则",人的值分别为. 答案: 2,3 16.由y2=4x与直线y=2x-4所围成图形的面积为. 答案: 9三、解答题 17.设nwN*且sinjc+cosx=-1,求sin"x+cos”工的值.(先观察n=1,2,3,4时的值,归纳猜测 sin"x+cosnx的值.)解: 当m=]时,sinx+cosx=-1; 当〃=2时,有sin。 +cos2x=1; 当〃=3时,有sin。 x+cos'x=(sinx+cosx)(sin2x+cos2x-sinxcosx), Tfijsinx+cosx=-l, /•l+2sinxcosx=l,sinxcosx=0. •\sinJx+cos3x=-l. 当〃=4时,有sin、+cos'x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=\. 由以上可以猜测,当/7eN*时,可能有sin”x+cos”x=(-l)”成立. 18.设关于x的方程x2-(tan0+i)x-(2+/)=0, (1)若方程有实数根,求锐角。 和实数根; (2)证明: 对任意。 工虹+匹(keZ),方程无纯虚数根. 2 解: (1)设实数根为〃,则a2-(tan0+i)a-(2+z)=0, 。 =一1,tanO=l. 艮|J(/-atan3-2)-(a+1)/=0. [广八六uju/。 '一。 tantan。 一2 由于“,tan0cR,那么 。 +1=1 又0<0〈兰, 2 ♦ “=-1, 得阵兰. 4 (2)若有纯虚数根"WcR),使(历)2-(tan0+i)(0)-(2+,)=O, 即(-伊+,—2)—(“lan°+1)1=0, 由们tan^eR,那么M*—。 , |tan。 +1=0, 由于-妒+"-2=0无实数解. 故对任意〃。 如+;(AeZ),方程无纯虚数根. 19.设心0,点PQ,O)是函数f(x)=xi+ax与m(x)=/u2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线. (1)用[表示》c; (2)若函数),=f(x)-g⑴在(-1,3)上单调递减,求1的取值范I韦1・ 解: (1)因为函数/(x),g(x)的图象都过点00),所以f(t)=0,即尸+奸0. 因为小0,所以a=-t2. g(t)=0,B|Jbt24-c=0,以c=ab. 又因为、f(x),g(x)在点(Q)处有相同的切线, 所以ff(t)=g\t),而f\x)=3x2+a,gz(x)=2bx,所以3t2+a=2bt. 将«=-r代入上式得b=t. 因U七c=ab=—广. 故a=—t~»b=t,c=—尸. (2)y=f(x)-g(x)=x3-rx-tx1+f,y1=3x2-2tx-r=(3x+t)(x-1). 当矿=(3x+f)(xT)vO时,函数y=f(x)-g(x)单调递减. 由)"<0,若/>0,则~- 3 若]<0,贝・ 由题意,函数y=fM-g(x)在(-1,3)上单调递减,则(-1,3)4-: ,。 或(-1,3)(",-项. 所以zW-9或/N3. 又当-9<,<3时,函数),=f(x)-幺⑴在(-1,3)上不是单调递减的. 所以t的取值范围为(-8,一9]U[3,+8). 20.下列命题是真命题,还是假命题,用分析法证明你的结论.命题: 若a>b>c,且 a+b+c=Of贝lJ-/? —r/C- a 解: 此命题是真命题. •」。 +/? +c=0,ci>b>c,「•。 >0,c<0. 要证— 即证(“-c)(2a+c)>0・ *.*白一c>0,2。 +c=(白+c)+白=一力+白>0, ・•.(o-c)(2o+c)>0成立, 故原不等式成立. 21.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),且知当利率为0.012时,存款量为1.44亿;又贷款的利率为4.8%时,银行吸收的存款能全部放贷出去;若设存款的利率为x,xe(0,0.048),则当人•为多少时,银行可获得最大收益? 解: 由题意,存款量/(%)=W,又当利率为0.012时,存款量为1.44亿,即X=0.012时,),=1.44; 由1.44="0.012)2,得*=io。 。 。 那么/*(*)=looooj, 银行应支付的利息g(x)=x\f(x)=10000x3, 设银行可获收益为),,则y=480r-1OOOOx3, 由于,),'=960x-30000J,则y'=0,即960x-30000.? =0,得尤二0或工=0.032. 因为,xe(0,0.032)时,y'>0,此时,函数y=480x2-10000? 131增; xe(0.032,0.048)时,/<0,此时,函数y=480x2-10000x3iM减; 故当X=0.032时,),有最大值,其值约为0.164亿. 22.已知函数/(x)=IX(X>0),数列{%}满足%=f(x),=f(an)・ (1)求%,%,%; (2) 猜想数列{《,}的通项,并予以证明. 解: (1)由ax=/(%),得a2=/(47i)=-t= Jl+x (2)猜想: %=、W, J1+nx2 证明: (1)当〃=1时,结论显然成立; (2)假设当n=k时,结论成立,即位=,x 这就是说,当n=k+]时,结论成立; 由 (1), (2)可知,a“=',对于一切日然数h(heW)都成立. Jl+nx1 高中新课标数学选修(2-2)综合测试题 一、选择题 1.函数/(x)=sin2x的导数是() A.2sinxB.2sin2xC.2cosxD.sin2x 答案: D 2.设复数z=-上+必,,则满足z”=z的大于1的正整数〃中,最小的是() 22 A.7B.4C.3D.2 答案: B 3.下列函数在点尤=0处没有切线的是() A.y=3x2+cosxB.y=x*sinx C•y=—+2xD.y= xcosx 答案: C 4-f[! +$+£)dx=() 77517 A.In2+-B.In2C.In2--D.In2-一 8288 答案: A 5.编辑一个运算程序: 1*1=2,m*〃=k,加*(〃+1)=*+2,则1*2005的输出结果为() A.4008B.4006C.4012D.4010 答案: D 6.如下图为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一•段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H有几条不同的旅游路线可走() A.15B.16C.17D.18 答案: C 7.在复平面内,复数=—+(1+V3z)2对应的点在() 14-Z A.第一•象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案: B 8.在中,£4,Z/? ZC分别为a,b,c边所对的角,若a,b,c成等差数列,则Z8的 范围是() A. 据 B. 据 c. D. /\ 7t —,Tt <4_ <3J <2J <2) 答案: B 9.设s(〃)=L+—1-+-^+_L+...+J7,贝U() 〃n+1〃+2n+3tr A.S(〃)共有〃项,当〃=2时,5 (2)=|+| B.S(〃)共有〃+1项,当〃=2时,S (2)=|+|+^ C.S(〃)共有n2-n项,当〃=2时,S (2)=|+|+^ D.S(〃)共有n2-/z+l项,当〃二2时,5 (2)=|+|+^ 答案: D 10.若函数/(x)=x2lnx(x>0)的极值点是a,函数g(x)=x\nx2(x>0)的极值点是”,则有 () A.a>pB.a D.二与“的大小不确定 答案: A 11.己知函数/(x)=|x4-2x3+3/n,xeR,若/(x)+9^0恒成立,则实数m的取值范围 答案: A 12.如图,阴影部分的面积是( A.2^3B.-2^3 C. 32 D. 35 答案: C 二、填空题 13.若复数z=(/—2。 )+(后_〃一2),为纯虚数,则实数〃的值等于答案: 0 4Y 14.若函数f(x)=4在区中(m,2m+l)上是单调逆增函数,则实数m的取值范围是 r+1 答案: 一iv^Wo— 15.类比等比数列的定义,我们可以给出“等积数列”的定义: 答案: 对,任N’,若象是常数),则称数列{%}为等积数列; [2,(〃为奇数)9司,(〃为奇数) a=5S=s "〔3,(〃为偶数)“9〃.(〃为偶数) 12 16.己知函数/(x)=-? +3x2+9x+m在区间[-2,2〕上的最大值是20,则实数也的值等于 答案: -2 三、解答题 17.已知抛物线y=x2+bx+c在点(1,2)处的切线与直线x+y+2=0垂直,求函数y=x24-bx+c的最值. 解: 由于y=x2+bx+cf所以/=2x+/7,所以抛物线在点(1,2))处的切线的斜率为k=2+b,因为切线与直线x+),+2=0垂直,所以2+S1,即b=-l,又因为点(1,2)在抛物线上,所以1+人+。 =2,得c=2.因为),=疽_工+2,于是函数没有最值,当x=-时,有最小值7・ 24 18.已知数列{%}满足条件(〃-1)《”[=(〃+l)(q-1),=6,令bn=an+/z(/7gN*),求数列 {如}的通项公式. 解: 在(〃一1)《+=(〃+1)0-1)中,令〃=1,得%=1;令〃=2,得%=3(%-1)=15;令〃=3,得2句=4(%-1)2,所以%=28. 将印a29%,q代入bn=an+n中,得/? =2,Z? 2=&/? 3=18,b4=32. 由此猜想: bn=2n2.以下用数学归纳法证明猜想正确. (1)当〃=1和〃=2时,结论成立; (2)假设当〃=*心2)时,结论成立,即bk=2kf,所以ak=bk-k=2k2-k,由己知有 。 _1)%=(上+1)(练_1)=。 +1)(2上2_]_1)=。 +1)()_1)(25,因为kA,所以知=(*+1)(2*+1)=2好+3X+1,于是九H=(2好+3*+1)+(*+1)=2(*+顶,所以当〃=*+1 时,结论也成立,根据⑴和 (2),对任意〃eN»,均有如=2,己 19.已知数列1,11,111,1111,…,旦二1,…,写出该数列的一个通项公式,并用反证"个1 法证明该数列中每一项都不是完全平方数. 解: 由于H^=--99^9=-(10n-l),所以该数列的一个通项公式是%=上(10”-1); 〃个19二^99 证明: 假设旦二1是一个完全平方数,由于二1是一个奇数,所以它必须是一个奇数的平方, 〃个1〃个1 不妨设上二=(2/〃+1)2(m为整数),于是11・・・10=4/〃0+1).故55---5=2m(m+l)此 〃个1〃-1个11个5 式中左边是奇数,右边是偶数,日相矛盾,所以旦二1不是一个完全平方数. 〃个1 20.已知z=—,">0,夏数口=z(z+,)的虚部减去它的实部所得的差为2,求实数“• 1-z2 “a-i(a-z)(l+z)a+\+(a-l)za+1a-1 用牛: Z==;=: =+ 「0)-z(z+/)= '。 +1。 一1・ 11 222 “+1 。 +1. +1 2 。 +1疽+。 ・ + 2 l-i2222 解… 21.已知函数/・(x)=sinxcosx-/7i(sinx+cosx). (1)若〃Z=1,求函数r(x)在(o,£|上的单调增区间; (2)若函数「3)在区间仔,』上是单调递减函数,求实数m的取值范围. '12; 解: (1)当〃z=1时,/(x)=sinxcosx-sinx-cosx,/(x)=sinxcosx一sinx-cosx, 则f\x)=cos2x-sin2x-cosx+sinx=(cosx-sinx)(cosx+sinx-0), /\/\ 由于cosx+sinx-1=V2sinx+—-1,而xe0,—,所以cosx+sinx-1>0,因此由I"I2j fr(x)>0,可得cosx-sinx>0,即sinx 为0,-1: I (2)/'(x)=cos2x-sin2x-m(cosx一sinx)=(cosx-sinx)(cosx+sinx-ni). 因为函数在区是兀 12 上是单调减函数,所以ffM<o在马江[2 上恒成立,而由于 /X/\ xe—71,所以cosx-sinxc0,因此只要cosx+sin尤一也>0在四,n上恒成立,即 )\2) m _/\ Xcosx+sinx=V2sinx+—c(一1,1),所以应有〃? W-1. I4j 22. 如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从8孔流出,设箱体的长为。 米,高为米.己知流出的水中该杂质的质量分数与。 ,。 的乘积沥成反比,现有制箱材料60平方米,问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质景分数最小(A,B孔的面积忽略不计). 解: 设),为流出的水中杂质的质量分数,则y, ab 其中柑>0)为比例系数,依题意,即所求的。 ,8值使),值最小, 根据题设,有4/7+2M? +2"=60(。 >0,b>0)得 2+a...Akkk(2+a) ■jy=—=—=— ab30a-a230a-a2 2+。 当矿=0时,"=6或“=一10(舍去). ..•木题只有一个极值点, 当。 =6时,b=3, 即当。 为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
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