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因式分解
第12章因式分解
一.解答题(共27小题)
1.将下列各式因式分解:
(1)x2﹣9
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
(3)4x2﹣3y(4x﹣3y)
(4)(a+2b)2+2(a+2b﹣1)+3.
2.分解因式:
(1)2x2y﹣8xy+8y;
(2)a2(x﹣y)﹣9b2(x﹣y);
(3)9(3m+2n)2﹣4(m﹣2n)2;
(4)(y2﹣1)2+6(1﹣y2)+9.
3.分解因式
(1)x3﹣6x2+9x;
(2)a2(x﹣y)+4(y﹣x).
4.因式分解:
(1)a3﹣4ab2;
(2)2a3﹣8a2+8a.
5.因式分解:
(x2+x)2﹣8(x2+x)+12.
6.因式分解:
(1)2x(a﹣b)+3y(b﹣a)
(2)x(x2﹣xy)﹣(4x2﹣4xy)
7.分解因式:
2x2﹣8.
8.因式分解
①x(x﹣2)﹣3(2﹣x)②9x2﹣36y2
③xy+x﹣y﹣1④4x2﹣(y2﹣2y+1)
9.分解因式:
(1)(a2+b2)2﹣4a2b2
(2)(x2﹣2xy+y2)+(﹣2x+2y)+1.
10.因式分解:
(1)2x2﹣4x+2;
(2)(a2+b2)2﹣4a2b2.
11.分解因式:
(1)2a3﹣4a2b+2ab2;
(2)x4﹣y4
12.因式分解:
(1)6ab2﹣9a2b﹣12b4
(2)4x4﹣64
(3)(a﹣3)2﹣6(a﹣3)+9.
13.分解因式
(1)4n(m﹣2)﹣6(2﹣m)
(2)x2﹣2xy+y2﹣1.
14.因式分解:
(1)4m2n﹣8mn2﹣2mn
(2)m2(m+1)﹣(m+1)
(3)4x2y+12xy+9y
(4)(x2﹣6)2+2(x2﹣6)﹣15.
15.因式分解:
(x2+4)2﹣16x2.
16.因式分解:
(1)3a(x﹣y)﹣5b(y﹣x)
(2)x6﹣x2y4.
17.因式分解:
﹣3a3b+6a2b2﹣3ab3.
18.因式分解:
(2x+y)2﹣(x+2y)2.
19.分解因式:
a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1.
20.把下列各式分解因式:
(1)2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m)
(2)﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3.
21.分解因式:
(1)3ab3﹣30a2b2+75a3b;
(2)(3m+2n)2﹣4(m﹣6n)2.
(3)8(x2﹣2y2)﹣x(7x+y)+xy.
22.因式分解:
(1)x2﹣4(x﹣1);
(2)4(m+n)2﹣9(m﹣n)2.
23.分解因式:
(1)﹣2m2+8mn﹣8n2
(2)a2(x﹣1)+b2(1﹣x)
(3)(m2+n2)2﹣4m2n2.
24.分解因式:
(1)2x2﹣7x+3
(2)(x2+2x)2﹣7(x2+2x)﹣8
(3)x2+2x﹣15﹣ax﹣5a.
25.分解因式
(1)﹣2x2+18x2y﹣4xy2
(2)x2(a﹣1)+x(1﹣a)
26.分解因式
(1)x2y2﹣x2﹣4y2+4xy
(2)(a2+1)(a2+2)+
.
27.分解因式:
(x﹣1)(x﹣3)+1.
2018年06月13日初数的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共27小题)
1.将下列各式因式分解:
(1)x2﹣9
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
(3)4x2﹣3y(4x﹣3y)
(4)(a+2b)2+2(a+2b﹣1)+3.
【分析】
(1)直接利用平方差公式分解因式得出答案;
(2)首先提取公因式﹣3m,进而利用十字相乘法分解因式得出答案;
(3)首先去括号,进而利用完全平方公式分解因式得出答案;
(4)首先去括号,进而利用完全平方公式分解因式得出答案.
【解答】解:
(1)x2﹣9=(x+3)(x﹣3);
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
=﹣3m(a2﹣4a+3)
=﹣3m(a﹣1)(a﹣3);
(3)4x2﹣3y(4x﹣3y)
=4x2﹣12xy+9y2,
=(2x﹣3y)2;
(4)(a+2b)2+2(a+2b﹣1)+3
=(a+2b)2+2(a+2b)+1,
=(a+2b+1)2.
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.
2.分解因式:
(1)2x2y﹣8xy+8y;
(2)a2(x﹣y)﹣9b2(x﹣y);
(3)9(3m+2n)2﹣4(m﹣2n)2;
(4)(y2﹣1)2+6(1﹣y2)+9.
【分析】
(1)首先提取公因式2y,进而利用完全平方公式分解因式即可;
(2)首先提取公因式(x﹣y),进而利用平方差公式分解因式得出即可;
(3)直接利用平方差公式分解因式得出即可;
(4)直接利用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式.
【解答】解:
(1)2x2y﹣8xy+8y=2y(x2﹣4x+4)=2y(x﹣2)2;
(2)a2(x﹣y)﹣9b2(x﹣y)
=(x﹣y)(a2﹣9b2)
=(x﹣y)(a+3b)(a﹣3b);
(3)9(3m+2n)2﹣4(m﹣2n)2
=[3(3m+2n)﹣2(m﹣2n)][3(3m+2n)+2(m﹣2n)]
=(7m+10n)(11m+2n);
(4)(y2﹣1)2+6(1﹣y2)+9
=(y2﹣1﹣3)2
=(y+2)2(y﹣2)2.
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,熟练应用乘法公式是解题关键.
3.分解因式
(1)x3﹣6x2+9x;
(2)a2(x﹣y)+4(y﹣x).
【分析】
(1)原式提取x,再利用完全平方公式分解即可;
(2)原式变形后,提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解:
(1)原式=x(x2﹣6x+9)=x(x﹣3)2;
(2)原式=a2(x﹣y)﹣4(x﹣y)=(x﹣y)(a2﹣4)=(x﹣y)(a+2)(a﹣2).
【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法,以及提公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
4.因式分解:
(1)a3﹣4ab2;
(2)2a3﹣8a2+8a.
【分析】
(1)先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解;
(2)先提取公因式2a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:
(1)a3﹣4ab2
=a(a2﹣4b2)
=a(a+2b)(a﹣2b);
(2)2a3﹣8a2+8a
=2a(a2﹣4a+4)
=2a(a﹣2)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
5.因式分解:
(x2+x)2﹣8(x2+x)+12.
【分析】先把x2+x看做一个整体,然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式.
【解答】解:
(x2+x)2﹣8(x2+x)+12,
=(x2+x﹣2)(x2+x﹣6),
=(x﹣1)(x+2)(x﹣2)(x+3).
【点评】本题考查十字相乘法分解因式,用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程,难点在于要二次利用十字相乘法分解因式,整体思想的利用也比较关键.
6.因式分解:
(1)2x(a﹣b)+3y(b﹣a)
(2)x(x2﹣xy)﹣(4x2﹣4xy)
【分析】
(1)原式变形后,提取公因式即可得到结果;
(2)原式提取公因式即可得到结果.
【解答】解:
(1)原式=2x(a﹣b)﹣3y(a﹣b)=(a﹣b)(2x﹣3y);
(2)原式=x2(x﹣y)﹣4x(x﹣y)=x(x﹣y)(x﹣4).
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.
7.分解因式:
2x2﹣8.
【分析】先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
【解答】解:
2x2﹣8
=2(x2﹣4)
=2(x+2)(x﹣2).
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
8.因式分解
①x(x﹣2)﹣3(2﹣x)②9x2﹣36y2
③xy+x﹣y﹣1④4x2﹣(y2﹣2y+1)
【分析】①原式变形后,提取公因式即可得到结果;
②原式利用平方差公式分解即可;
③原式两项两项结合,提取公因式即可得到结果;
④原式利用完全平方公式变形,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解:
①原式=x(x﹣2)+3(x﹣2)=(x﹣2)(x+3);
②原式=(3x+6y)(3x﹣6y)=9(x+2y)(x﹣2y);
③原式=x(y+1)﹣(y+1)=(x﹣1)(y+1);
④原式=4x2﹣(y﹣1)2=(2x+y﹣1)(2x﹣y+1).
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
9.分解因式:
(1)(a2+b2)2﹣4a2b2
(2)(x2﹣2xy+y2)+(﹣2x+2y)+1.
【分析】
(1)直接利用平方差公式分解因式,进而利用完全平方公式分解因式即可;
(2)直接利用完全平方公式分解因式得出即可.
【解答】解:
(1)(a2+b2)2﹣4a2b2
=(a2+b2+2ab)(a2+b2﹣2ab)
=(a+b)2(a﹣b)2;
(2)(x2﹣2xy+y2)+(﹣2x+2y)+1
=(x﹣y)2﹣2(x﹣y)+1
=(x﹣y﹣1)2.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用平方差公式和完全平方公式是解题关键.
10.因式分解:
(1)2x2﹣4x+2;
(2)(a2+b2)2﹣4a2b2.
【分析】
(1)首先提取公因式2,再利用完全平方公式进行二次分解即可;
(2)首先利用平方差公式进行分解,再利用完全平方公式进行分解.
【解答】解:
(1)原式=2(x2﹣2x+1)=2(x﹣1)2,
(2)原式=(a2+b2+2ab)(a2+b2﹣2ab)=(a+b)2(a﹣b)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
11.分解因式:
(1)2a3﹣4a2b+2ab2;
(2)x4﹣y4
【分析】
(1)首先提取公因式2a,再进一步运用完全平方公式;
(2)二次运用平方差公式分解因式即可.
【解答】解:
(1)2a3﹣4a2b+2ab2,
=2a(a2﹣2ab+b2),
=2a(a﹣b)2;
(2)x4﹣y4,
=(x2+y2)(x2﹣y2),
=(x2+y2)(x+y)(x﹣y).
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力.一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
12.因式分解:
(1)6ab2﹣9a2b﹣12b4
(2)4x4﹣64
(3)(a﹣3)2﹣6(a﹣3)+9.
【分析】
(1)提取公因式3b即可因式分解;
(2)先提取公因式4,再对余下的多项式两次利用平方差公式继续分解;
(3)把a﹣3看作一个整体,根据完全平方公式进行二次因式分解.
【解答】解:
(1)6ab2﹣9a2b﹣12b4=3b(2ab﹣3a2﹣4b3);
(2)4x4﹣64
=4(x4﹣16)
=4(x2+4)(x2﹣4)
=4(x2+4)(x+2)(x﹣2);
(3)(a﹣3)2﹣6(a﹣3)+9
=(a﹣3﹣3)2
=(a﹣6)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
13.分解因式
(1)4n(m﹣2)﹣6(2﹣m)
(2)x2﹣2xy+y2﹣1.
【分析】
(1)利用提公因式法进行分解因式,即可解答;
(2)利用完全平方公式,平方差公式进行因式分解,即可解答.
【解答】解:
(1)4n(m﹣2)﹣6(2﹣m)
=4n(m﹣2)+6(m﹣2)
=(4n+6)(m﹣2)
=2(m﹣2)(2n+3).
(2)x2﹣2xy+y2﹣1
=(x﹣y)2﹣1
=(x﹣y+1)(x﹣y﹣1).
【点评】本题考查了因式分解,解决本题的关键是利用提公因式法,公式法进行因式分解.
14.因式分解:
(1)4m2n﹣8mn2﹣2mn
(2)m2(m+1)﹣(m+1)
(3)4x2y+12xy+9y
(4)(x2﹣6)2+2(x2﹣6)﹣15.
【分析】
(1)直接提取公因式2mn整理即可;
(2)先提取公因式(m+1),再对余下的多项式利用平方差公式继续分解;
(3)先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;
(4)把(x2﹣6)看作一个整体,利用十字相乘法分解因式,再利用平方差公式分解因式.
【解答】解:
(1)4m2n﹣8mn2﹣2mn=2mn(2m﹣4n﹣1);
(2)m2(m+1)﹣(m+1)
=(m+1)(m2﹣1)
=(m+1)2(m﹣1);
(3)4x2y+12xy+9y
=y(4x2+12x+9)
=y(2x+3)2;
(4)(x2﹣6)2+2(x2﹣6)﹣15
=(x2﹣6﹣3)(x2﹣6+5)
=(x2﹣9)(x2﹣1)
=(x+3)(x﹣3)(x+1)(x﹣1).
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止
15.因式分解:
(x2+4)2﹣16x2.
【分析】利用公式法因式分解.
【解答】解:
(x2+4)2﹣16x2,
=(x2+4+4x)(x2+4﹣4x)
=(x+2)2•(x﹣2)2.
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法.
16.因式分解:
(1)3a(x﹣y)﹣5b(y﹣x)
(2)x6﹣x2y4.
【分析】根据因式分解法即可求出答案.
【解答】解:
(1)原式=(x﹣y)(3a+5b)
(2)=x2(x4﹣y4)
=x2(x2﹣y2)(x2+y2)
=x2(x﹣y)(x+y)(x2+y2)
【点评】本题考查因式分解,解题的关键是熟练运用因式分解法,本题属于基础题型.
17.因式分解:
﹣3a3b+6a2b2﹣3ab3.
【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:
原式=﹣3ab(a2﹣2ab+b2)=﹣3ab(a﹣b)2.
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
18.因式分解:
(2x+y)2﹣(x+2y)2.
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.
【解答】解:
(2x+y)2﹣(x+2y)2
=(2x+y+x+2y)(2x+y﹣x﹣2y)
=3(x+y)(x﹣y).
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用平方差公式是解题关键.
19.分解因式:
a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1.
【分析】先分组得到原式=(a2+4b2﹣4ab)+(﹣2ac2+4bc2)+(c4﹣1),再根据完全平方公式,提取公因式法,平方差公式得到原式=(2b﹣a)2+2c2(2b﹣a)+(c2+1)(c2﹣1),再根据十字相乘法即可求解.
【解答】解:
a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1
=(a2+4b2﹣4ab)+(﹣2ac2+4bc2)+(c4﹣1)
=(2b﹣a)2+2c2(2b﹣a)+(c2+1)(c2﹣1)
=(2b﹣a+c2+1)(2b﹣a+c2﹣1).
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法,本题关键是式子分组,以及熟练掌握完全平方公式,提取公因式法,平方差公式,十字相乘法的计算方法.
20.把下列各式分解因式:
(1)2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m)
(2)﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3.
【分析】
(1)直接提取公因式2m(m﹣n),进而分解因式得出答案;
(2)直接提取公因式﹣4ab,进而分解因式得出答案.
【解答】解:
(1)2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m)
=2m(m﹣n)[(m﹣n)+4m]
=2m(m﹣n)(5m﹣n);
(2)﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3
=﹣4ab(2a﹣3b+a2b2).
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
21.分解因式:
(1)3ab3﹣30a2b2+75a3b;
(2)(3m+2n)2﹣4(m﹣6n)2.
(3)8(x2﹣2y2)﹣x(7x+y)+xy.
【分析】
(1)先提取公因式3ab,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;
(2)把(3m+2n)与(m﹣6n)看作一个整体,直接利用平方差公式分解因式即可;
(3)先根据单项式乘以多项式的运算法则展开并合并同类项,然后利用平方差公式分解因式即可.
【解答】解:
(1)3ab3﹣30a2b2+75a3b
=3ab(b2﹣10ab+25a2)
=3ab(5a﹣b)2;
(2)(3m+2n)2﹣4(m﹣6n)2
=[(3m+2n)+2(m﹣6n)][(3m+2n)﹣2(m﹣6n)]
=(3m+2n+2m﹣12n)(3m+2n﹣2m+12n)
=(5m﹣10n)(m+14n)
=5(m﹣2n)(m+14n);
(3)8(x2﹣2y2)﹣x(7x+y)+xy
=8x2﹣16y2﹣7x2﹣xy+xy
=x2﹣16y2
=(x+4y)(x﹣4y).
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
22.因式分解:
(1)x2﹣4(x﹣1);
(2)4(m+n)2﹣9(m﹣n)2.
【分析】
(1)把原式拆开,发现刚好是完全平方式,所以用完全平方公式分解即可.
(2)可以化为两个数的平方差,运用平方差公式分解则可.
【解答】解:
(1)x2﹣4(x﹣1),
=x2﹣4x+4,
=(x﹣2)2;
(2)4(m+n)2﹣9(m﹣n)2,
=[2(m+n)]2﹣[3(m﹣n)]2,
=[2(m+n)+3(m﹣n)][2(m+n)﹣3(m﹣n)],
=(2m+2n+3m﹣3n)(2m+2n﹣3m+3n),
=(5m﹣n)(5n﹣m).
【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式因式分解,熟记公式结构并灵活运用是解题的关键.
23.分解因式:
(1)﹣2m2+8mn﹣8n2
(2)a2(x﹣1)+b2(1﹣x)
(3)(m2+n2)2﹣4m2n2.
【分析】
(1)首先提取公因式﹣2,进而利用完全平方公式分解因式得出答案;
(2)首先提取公因式(x﹣1),进而利用平方差公式分解因式得出答案;
(3)直接利用平方差公式分解因式进而结合完全平方公式分解因式即可.
【解答】解:
(1)﹣2m2+8mn﹣8n2
=﹣2(m2﹣4mn+4n2)
=﹣2(m﹣2n)2;
(2)a2(x﹣1)+b2(1﹣x)
=(x﹣1)(a2﹣b2)
=(x﹣1)(a﹣b)(a+b);
(3)(m2+n2)2﹣4m2n2
=(m2+n2+2mn)(m2+n2﹣2mn)
=(m+n)2(m﹣n)2.
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式,正确应用公式是解题关键.
24.分解因式:
(1)2x2﹣7x+3
(2)(x2+2x)2﹣7(x2+2x)﹣8
(3)x2+2x﹣15﹣ax﹣5a.
【分析】
(1)利用十字相乘法分解因式即可;
(2)把x2+2x看做一个整体,利用十字相乘法分解即可;
(3)先利用分组分解法分解,再提公因式即可.
【解答】解:
(1)2x2﹣7x+3=(2x﹣1)(x﹣3);
(2)(x2+2x)2﹣7(x2+2x)﹣8=(x2+2x﹣8)(x2+2x+1)=(x+4)(x﹣2)(x+1)2;
(3)x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=(x+5)(x﹣3)﹣a(x+5=(x+5)(x﹣3﹣a).
【点评】本题考查的是多项式的因式分解,掌握分组分解法、公式法因式分解是解题的关键.
25.分解因式
(1)﹣2x2+18x2y﹣4xy2
(2)x2(a﹣1)+x(1﹣a)
【分析】
(1)首先找出公因式﹣2x,进而提取公因式得出答案;
(2)首先提取公因式x(a﹣1),进而分解因式得出答案.
【解答】解:
(1)﹣2x2+18x2y﹣4xy2
=﹣2x(x﹣9xy+2y2);
(2)x2(a﹣1)+x(1﹣a)
=x2(a﹣1)﹣x(a﹣1)
=(a﹣1)(x2﹣x)
=x(a﹣1)(x﹣1).
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.
26.分解因式
(1)x2y2﹣x2﹣4y2+4xy
(2)(a2+1)(a2+2)+
.
【分析】
(1)首先将后三项分为一组,进而利用完全平方公式分解因式,进而利用平方差公式分解得出即可.
(2)先去括号,再利用完全平方公式进行因式分解.
【解答】解:
(1)x2y2﹣x2﹣4y2+4xy
=(xy)2﹣(x﹣2y)2
=(xy+x﹣2y)(xy﹣x+2y)
(2)(a2+1)(a2+2)+
.
=a4+3a2+
=(a2+
)2
【点评】本题主要考查了因式分解,正确分组得出是解题关键.
27.分解因式:
(x﹣1)(x﹣3)+1.
【分析】首先利用多项式乘法计算出(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3,再加上1后变形成x2﹣4x+4,然后再利用完全平方公式进行分解即可.
【解答】解:
原式=x2﹣4x+3+1,
=x2﹣4x+4,
=(x﹣2)2.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,关键是熟练掌握完全平方公式:
①a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2,②a2+2ab+b2=(a+b)2.
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- 关 键 词:
- 因式分解
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