高三数学上学期第二次阶段期中测试试题 理.docx
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高三数学上学期第二次阶段期中测试试题理
2019-2020年高三数学上学期第二次阶段(期中)测试试题理
满分:
150分 考试时间:
120分钟
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
)
1、已知集合
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2、幂函数
的图像经过点
,则
的值为( )
A.1B.2C.3D.4
3、已知
都是单位向量,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4、已知命题
:
对任意
,总有
,
:
“
”是“
”的充分不必要条件,则
下列命题为真命题的是( )
A.
B.
C.
D.
5、下列函数中,在区间
上为增函数的是( )
A.
B.
C.
D.
6、函数
的图像可能是下列图像中的( )
7、若曲线
的一条切线
与直线
垂直,则
的方程为( )
A.
B.
C.
D.
8、下列命题中,真命题是( )
A.函数
的单调递增区间为
B.命题“
”的否定是“
”
C.
若
为共轭复数,则
为实数
D.
是函数
的图像的一条对称轴
9、已知定义在
上的函数
满足以下三个条件:
①对于任意的
都有
;②对于任意的
,且
,都有
③函数
的图像关于
轴对称,则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10、已知函数
若函数
有三个零点,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共5小题,每题4分,共20分。
)
11、在复平面内,复数
对应的点的坐标为____________
12、若
则
的值是____________
13、已知向量
夹角为
且
;则
____________
14、直角坐标平面内三点
,若
为线段
的三等分点,则
=____________.
15、对于函数
,若存在区间
,当
时的值域为
,则称
为
倍值函数.若
是
倍值函数,则实数
的取值范围是.
年级班级座号姓名
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
清流一中2014-2015学年上学期高三理科
半期考试卷答题卡
满分:
150分 考试时间:
120分钟
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题(本大题共5题,每小题4分,共20分。
)
11、12、13、
14、15、
三、解答题(本大题共6小题,共80分。
)
16、(本小题满分13分)在等差数列
中,
且
求数列
的首项、公差及前
项和.
17、(本小题满分13分)设
的内角
所对的边分别为
,已知
(1)求
的周长与面积;
(2)求
.
18、(本小题满分13分)函数
最小正周期为
(1)求
的表达式;
(2)将函数
的图像向右平移
个单位,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数
的图像,若关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数解,求实数
的取值范围.
19、(本小题满分13分)已知向量
(1)求证:
;
(2)若存在不等于
的实数
和
,使
满足
。
试求此时
的最小值。
20、(本小题满分14分)如图所示,甲船以每小时
海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于
处时,乙船位于甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里.当甲船航行
分钟到达
处时,乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里.问乙船每小时航行多少海里?
21、(本小题满分14分)设函数
,
是
的导函数.
………………………密……………………………………封…………………………………………………………线…………………………………
(1)令
,猜想
的表达式;
(2)若
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设
,比较
与
的大小,并加以证明.
清流一中2014-2015学年上学期高三理科数学
半期考试卷参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
C
B
B
D
A
C
A
C
A
D
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,满分20分.把答案填在题中相应位置横线上)
11、
12、213、
14、2215、
三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16、解:
设该数列公差为
前
项和为
.由已知,可得
.………………………4所以
解得
或
………………………7
即数列
的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.………………………9所以数列的前
项和
或
………………13
17、解:
(Ⅰ)
………2
的周长为
……………………4
……………………5
………………………7
(Ⅱ)
………………………9
故A为锐角
.
.……………………11
.………………13
18、(I)
…………………3
由题意知
的最小正周期
所以
所以
………………………6
(Ⅱ)将
的图象向右平移个
个单位后,得到
的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到
的图象.
所以
………………………8
因为
所以
.………………………9
在区间
上有且只有一个实数解,即函数
与
在区间
上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知
或
所以
或
.………………………13
19、解:
由诱导公式得:
………………………2
(1)
则
………………………4
(2)
即:
………………………7
……………………10
即当
时,
的最小值为
.………………………13
20、解 如图所示,连结A1B2,
由已知A2B2=10
,
A1A2=30
×
=10
,∴A1A2=A2B2,
又∠A1A2B2=180°-120°=60°,
∴△A1A2B2是等边三角形,
∴A1B2=A1A2=10
.………………………6
由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°,
在△A1B2B1中,由余弦定理,
B1B
=A1B
+A1B
-2A1B1·A1B2·cos45°
=202+(10
)2-2×20×10
×
=200.
∴B1B2=10
.………………………12
因此,乙船速度的大小为
×60=30
(海里/小时).………13
答 乙船每小时航行30
海里.………14
21、解:
由题设得,g(x)=
(x≥0).………………………1
(1)由已知,g1(x)=
,
g2(x)=g(g1(x))=
=
,
g3(x)=
,…,猜想gn(x)=
.………………………4
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥
恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)-
(x≥0),
则φ′(x)=
-
=
,………………………6
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
∴a≤1时,ln(1+x)≥
恒成立(仅当x=0时等号成立).………………8
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0,
∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0.
即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥
不恒成立.
综上可知,a的取值范围是(-∞,1].………………………10
(3)由题设知g
(1)+g
(2)+…+g(n)=
+
+…+
,
比较结果为g
(1)+g
(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).
证明如下:
方法一:
上述不等式等价于
+
+…+
在 (2)中取a=1,可得ln(1+x)> ,x>0. 令x= ,n∈N+,则 .………………………11 下面用数学归纳法证明. ①当n=1时, ②假设当n=k时结论成立,即 + +…+ 那么,当n=k+1时,………………………12 + +…+ + =ln(k+2), 即结论成立. 由①②可知,结论对n∈N+成立.………………………14 方法二: 上述不等式等价于 + +…+ 在 (2)中取a=1,可得ln(1+x)> ,x>0.………………………11 令x= ,n∈N+,则ln > . 故有ln2-ln1> , ln3-ln2> , …… ln(n+1)-lnn> ,………………………13 上述各式相加可得ln(n+1)> + +…+ , 结论得证.………………………14 方法三: 如图, dx是由曲线y= ,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而 + +…+ 是图中所示各矩形的面积和, ∴ + +…+ > dx= dx=n-ln(n+1), 结论得证.………………………14
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