《管理运筹学》第二版课后习题参考答案.docx
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《管理运筹学》第二版课后习题参考答案
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案第1章线性规划(复习思考题)1.什么是线性规划?
线性规划的三要素是什么?
答:
线性规划(LinearProgramming,LP)是运筹学中最成熟的一个分支,并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划,是一种重要的优化工具,能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素:
决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值,取值一般为非负;约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,保障决策方案的可行性;目标函数是决策者希望实现的目标,为决策变量的线性函数表达式,有的目标要实现极大值,有的则要求极小值。
2.求解线性规划问题时可能出现几种结果,哪种结果说明建模时有错误?
答:
(1)唯一最优解:
只有一个最优点;
(2)多重最优解:
无穷多个最优解;
(3)无界解:
可行域无界,目标值无限增大;
(4)没有可行解:
线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时,可能是建模时有错。
3.什么是线性规划的标准型?
松弛变量和剩余变量的管理含义是什么?
答:
线性规划的标准型是:
目标函数极大化,约束条件为等式,右端常数项bi0,
决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话,则说明该约束限定没有约束力,对企业来说不是紧缺资源,所以称为松弛变量;剩余变量取值为非零的话,则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值,出现剩余量。
4.试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答:
可行解:
满足约束条件AXb,X0的解,称为可行解。
基可行解:
满足非负性约束的基解,称为基可行解可行基:
对应于基可行解的基,称为可行基。
最优解:
使目标函数最优的可行解,称为最优解。
最优基:
最优解对应的基矩阵,称为最优基。
它们的相互关系如右图所示:
5.用表格单纯形法求解如下线性规划
8x1
3x2
x32
s.t.6x1
x2
x38
x1,x2,x3
0
解:
标准化
maxZ
4x1
x2
2x3
8x1
3x2
x3x4
2
s.t.
6x1
x2
x3x5
8
x1,x2,
x3,x4,x50
列出单纯形表
4
1
2
0
0
b
0
2
[8]
3
1
1
0
2/8
0
8
6
1
1
0
1
8/6
4
1
2
0
0
4
1/4
1
3/8
[1/8]
1/8
0
(1/4)/(1/8)
0
13/2
6
-5/4
1/4
-3/4
1
(13/2)/(1/4)
0
-1/2
3/2
-1/2
0
2
2
8
3
1
1
0
0
6
-2
-2
0
-1
1
-12
-5
0
-2
0
故最优解为X*(0,0,2,0,6)T,即x10,x20,x32,此时最优值为Z(X*)4.
6.表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表,问表中a1,a2,c1,c2,d为何值及变量
属于哪一类型时有:
(1)表中解为唯一最优解;
(2)表中解为无穷多最优解之一;(3)
下一步迭代将以x1代替基变量x5;(4)该线性规划问题具有无界解;(5)该线性规划问
题无可行解。
表1—15某极大化问题的单纯形表
0
0
0
b
0
d
4
1
0
0
0
2
-1-5
0
1
0
0
3
-3
0
0
1
0
0
0
解:
(
1)
d0
c10,
c2
0;
(2)
d
0,c1
0,c2
0
(c1,c2中至少有一个为零)
d
3
(3)
c1
0,a2
0,d
4
a
2
(4)
c2
0,a1
0;
(5)x1为人工变量,且c1为包含M的大于零的数,d3;或者x2为人工变量,
4a2
且c2为包含M的大于零的数,a10,d0.
7.用大M法求解如下线性规划。
x1
2x2
x3
18
s.t.2x1
x2
3x3
16
x1
x2
x3
10
x1,x
2,x3
0
解:
加入人工变量,
进行人造基后的数学模型如下
x1
2x2
x3
x4
18
2x1
x2
3x
3x5
16
s.t.1
x1
x2
x3
x6
10
xi
0
(i
1,2,
6)
列出单纯形表
53600-M
b
0
18
1
2
1
1
0
0
18/1
0
16
2
1
[3]
0
1
0
16/3
-M
10
1
1
1
0
0
1
10/1
5+M
3+M
6+M
0
0
0
0
38/3
1/3
5/3
0
1
-1/3
0
38/5
6
16/3
2/3
1/3
1
0
1/3
0
16
-M
14/3
1/3
[2/3]
0
0
-1/3
1
14/2
0
0
0
0
1
-1/2
0
0
1
1/2
-5/2
-
6
3
[1/2]
0
1
0
1/2
-1/2
6
3
7
1/2
1
0
0
-1/2
3/2
14
1/2
0
0
0
-3/2
0
4
0
0
1
1
1
-3
5
6
1
0
2
0
1
-1
3
4
0
1
-1
0
-1
2
0
0
-1
0
-2
-1-M
故最优解为X*(6,4,0,4,0,0)T,即x16,x24,x30,此时最优值为Z(X*)42.8.A,B,C三个城市每年需分别供应电力320,250和350单位,由I,II两个电站
提供,它们的最大可供电量分别为400单位和450单位,单位费用如表1—16所示。
由于需要量大于可供量,决定城市A的供应量可减少0~30单位,城市B的供应量不变,城市C的供应量不能少于270单位。
试建立线性规划模型,求将可供电量用完的最低总费用分配方案。
表1—16单位电力输电费(单位:
元)
电站
城市
A
B
C
I
15
18
22
II
21
25
16
解:
设xij为“第i电站向第j城市分配的电量”(i=1,2;j=1,2,3),建立模型如下:
9.某公司在3年的计划期内,有4个建设项目可以投资:
项目I从第一年到第三年年初都可以投资。
预计每年年初投资,年末可收回本利120%,每年又可以重新将所获本利纳入投资计划;项目II需要在第一年初投资,经过两年可收回本利150%,又可以重新将所获本利纳入投资计划,但用于该项目的最大投资不得超过20万元;项目III需要在第二年年初投资,经过两年可收回本利160%,但用于该项目的最大投资不得超过15万元;项目IV需要在第三年年初投资,年末可收回本利140%,但用于该项目的最大投资不得超过10万元。
在这个计划期内,该公司第一年可供投资的资金有30万元。
问怎样的投资方案,才能使该公司在这个计划期获得最大利润?
i,设xi(3)表示第三次
解:
设xi
(1)表示第一次投资项目i,设xi
(2)表示第二次投资项目
投资项目i,(i=1,2,3,4),则建立的线性规划模型为
10.某家具制造厂生产五种不同规格的家具。
每种家具都要经过机械成型、打磨、
上漆几道重要工序。
每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具
的利润由表1—17给出。
问工厂应如何安排生产,使总利润最大?
表1—17家具生产工艺耗时和利润表
生产工序
所需时间(小时)
每道工序可用时间(小时)
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润(百元)
2.7
3
4.5
2.5
3
解:
设xi表示第i种规格的家具的生产量(i=1,2,⋯,5),则
3x1
4x2
6x3
2x4
3x5
3600
s.t.4x1
2x1
3x2
5x3
6x4
4x5
3950
3x2
3x3
4x4
3x5
2800
xi
0,i
1,2,
5
通过LINGO软件计算得
:
x10,
x2
38,x3
254,x40,x5642,Z3181
11.某厂生产甲、乙、丙三种产品,分别经过A,B,C三种设备加工。
已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
表1—18产品生产工艺消耗系数
甲
乙
丙
设备能力
A(小时)
1
1
1
100
B(小时)
10
4
5
600
C(小时)
2
2
6
300
单位产品利润(元)
10
6
4
1)建立线性规划模型,求该厂获利最大的生产计划。
2)产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产?
如产品丙每件的利润增加到
6,求最优生产计划。
(3)产品甲的利润在多大范围内变化时,原最优计划保持不变?
(4)设备A的能力如为100+10q,确定保持原最优基不变的q的变化范围
(5)如合同规定该厂至少生产10件产品丙,试确定最优计划的变化。
解:
(1)设x1,x2,x3分别表示甲、乙、丙产品的生产量,建立线性规划模型
x1x2x3100
10x14x25x3600s.t.
2x12x26x3300x1,x2,x30
标准化得
x1x2x3x4100
10x14x25x3x5600
s.t.1235
2x12x26x3x6300x1,x2,x3,x4,x5,x60
列出单纯形表
10
6
4
0
0
0
b
0
100
1
1
1
1
0
0
100
0
600
[10]
4
5
0
1
0
60
0
300
2
2
6
0
0
1
150
10
6
4
0
0
0
0
40
0
[3/5]
1/2
1
1/10
0
200/3
10
60
1
2/5
1/2
0
1/10
0
150
0
180
0
6/5
5
0
-1/5
1
150
0
2
-1
0
-1
0
6
200/3
0
1
5/6
5/3
-1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
-2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
-2
0
1
0
0
-
-10/3
-2/3
0
8/3
故最优解为x1100/3,x2200/3,x30,又由于x1,x2,x3取整数,故四舍五入可得
最优解为x133,x267,x30,Zmax732.
2)产品丙的利润c3变化的单纯形法迭代表如下:
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
-1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
-2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
-2
0
1
0
0
c3-20/3
-10/3
-2/3
0
202要使原最优计划保持不变,只要3c3200,即c3626.67.故当产品丙每
33
件的利润增加到大于6.67时,才值得安排生产。
如产品丙每件的利润增加到6时,此时6<6.67,故原最优计划不变
3)由最末单纯形表计算出
1/60
1/60,新的最优解为
01
解得4q5,故要保持原最优基不变的q的变化范围为[4,5].
(5)如合同规定该厂至少生产10件产品丙,则线性规划模型变成
x1x2x3100
10x14x25x3600
s.t.2x12x26x3300x310
x1,x2,x3通过LINGO软件计算得到:
x132,x258,x310,Z708.
第2章对偶规划(复习思考题)
1.对偶问题和对偶向量(即影子价值)的经济意义是什么?
答:
原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题,前者从产品产量的角度来考察利润,后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润,即利润是产品生产带来的,同时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值yi表示第i种资源的边际价值,称为影子价值。
可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
2.什么是资源的影子价格?
它与相应的市场价格有什么区别?
答:
若以产值为目标,则yi是增加单位资源i对产值的贡献,称为资源的影子价格(ShadowPrice)。
即有“影子价格=资源成本+影子利润”。
因为它并不是资源的实际价格,而是企业内部资源的配比价格,是由企业内部资源的配置状况来决定的,并不是由市场来决定,所以叫影子价格。
可以将资源的市场价格与影子价格进行比较,当市场价格小于影子价格时,企业可以购进相应资源,储备或者投入生产;当市场价格大于影子价格时,企业可以考虑暂不购进资源,减少不必要的损失。
3.如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系,找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系?
答:
(1)最优性定理:
设X,Y分别为原问题和对偶问题的可行解,且CXbTY,则X,Y分别为各自的最优解。
(2)对偶性定理:
若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,而且两者的目标函数值相等。
(3)互补松弛性:
原问题和对偶问题的松弛变量为XS和YS,它们的可行解X*,Y*为最优解的充分必要条件是Y*XS0,YSX*0.
4)对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中,初始基变量的检验数的负值。
若YS对应于原问题决策变量x的检验数,则Y对应于原问题松弛变量xS的检验数。
4.已知线性规划问题
8x13x2x32(第一种资源)
s.t.6x1x2x38(第二种资源)
x1,x2,x30
(1)求出该问题产值最大的最优解和最优值。
(2)求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。
(3)给出两种资源的影子价格,并说明其经济含义;第一种资源限量由2变为4,
最优解是否改变?
(4)代加工产品丁,每单位产品需消耗第一种资源2单位,消耗第二种资源3单位,
应该如何定价?
解:
(1)标准化,并列出初始单纯形表
4
1
2
0
0
b
0
2
[8]
3
1
1
0
2/8
0
8
6
1
1
0
1
8/6
4
1
2
0
0
4
1/4
1
3/8
[1/8]
1/8
0
2
0
13/2
6
-5/4
1/4
-3/4
1
26
0
-1/2
3/2
-1/2
0
2
2
8
3
1
1
0
0
6
-2
-2
0
-1
1
-12
-5
0
-2
0
由最末单纯性表可知,该问题的最优解为:
X*(0,0,2,0,6)T,即x10,x20,x32,
最优值为Z4.
(2)由原问题的最末单纯形表可知,对偶问题的最优解和最优值为:
y12,y20,w4.
(3)两种资源的影子价格分别为2、0,表示对产值贡献的大小;第一种资源限量由2变为4,最优解不会改变。
(4)代加工产品丁的价格不低于22034.
5.某厂生产A,B,C,D4种产品,有关资料如表2—6所示。
表2—6
资源消耗
资源
产品
资源供应量
(公斤)
原料成本
(元/公斤)
A
B
C
D
甲
2
3
1
2
800
2.0
乙
5
4
3
4
1200
1.0
丙
3
4
5
3
1000
1.5
单位产品售价(元)
14.5
21
15.5
16.5
(1)请构造使该厂获利润最大的线性规划模型,并用单纯形法求解该问题(不计加工成本)。
(2)该厂若出租资源给另一个工厂,构成原问题的对偶问题,列出对偶问题的数学模型,资源甲、乙、丙的影子价格是多少?
若工厂可在市场上买到原料丙,工厂是否应该购进该原料以扩大生产?
(3)原料丙可利用量在多大范围内变化,原最优生产方案中生产产品的品种不变(即最优基不变)?
(4)若产品B的价格下降了0.5元,生产计划是否需要调整?
解:
(1)设x1,x2,x3,x4分别表示甲、乙、丙产品的生产量,建立线性规划模型
2x1
3x2
x3
2x4
800
5x1
4x2
3x3
4x4
1200
s.t.1
3x1
4x2
5x3
3x4
1000
xi
0,i
1,2,3,4
初始单纯形表
1
5
3
4
0
0
0
b
0
800
2
3
1
2
1
0
0
800/3
0
1200
5
4
3
4
0
1
0
1200/4
0
1000
3
[4]
5
3
0
0
1
1000/4
1
5
3
4
0
0
0
最末单纯形表
1
5
3
4
0
0
0
b
0
100
1/4
0
-13/4
0
1
1/4
-1
4
200
2
0
-2
1
0
1
-1
5
100
-3/4
1
11/4
0
0
-3/4
1
-13/4
0
-11/4
0
0
-1/4
-1
解得最优解为:
X*(0,100,0,200,100)T,最优值Z1300.
(2)原问题的对偶问题的数学模型为
2y1
5y2
3y3
1
3y1
4y2
4y3
5
s.t.y1
3y2
5y3
1
2y1
4y2
3y3
4
y1,y2,y30
解得影子价格分别为2、1.25、2.5。
对比市场价格和影子价格,当市场价低于影子
价格时购进
(3)原料丙可利用量在[900,1100]范围内变化,原最优生产方案中生产产品的品种不变(即最优基不变)。
(4)若产品B的价格下降了0.5元,生产计划不需要调整。
6.某企业生产甲、乙两种产品,产品生产的工艺路线如图2—1所示,试统计单位
产品的设备工时消耗,填入表2—7。
又已知材料、设备C和设备D等资源的单位成本和拥有量如表2—7所示。
表2—7资源消耗与资源成本表
产品
资源
资源消耗
资源成本
资源拥有量
甲
乙
元/单位资源
材料(公斤)
60
50
200
4200
设备C(小时)
30
40
10
3000
设备D(小时)
60
50
20
4500
据市场分析,甲、乙产品销售价格分别为13700元和11640元,试确定获利最大的产品生产计划。
(1)设产品甲的计划生产量为x1,产品乙的计划生产量为x2,试建立其线性规划的数学模型;若将材料约束加上松弛变量x3,设备C约束加上松弛变量x4,设备D约束加上松弛变量x5,试化成标准型。
(2)利用LINDO软件求得:
最优目标函数值为18400,变量的最优取值分别为
x120,x260,x30,x40,x5300,则产品的最优生产计划方案是什么?
并解释x30,x40,x5300的经济意义。
(3)利用LINDO软件对价值系数进行敏感性分析,结果如下:
ObjCoefficientRanges
Variable
Current
Coef
Allowable
Increase
AllowableDecrease
200
88
20
试问如果生产计划执行过程中,甲产品售价上升到13800元,或者乙产品售价降低60元,所制定的生产计划是否需要进行调整?
(4)利用LINDO软件对资源向量进行敏感性分析,结果如下:
RighthandSideRanges
Resource
CurrentRhs
Allowable
Increase
Allowable
Decrease
材料
4200
300
450
设备C
3000
360
900
设备D
4500
Infinity
300
试问非紧缺资源最多可以减少到多少,而紧缺资源最多可以增加到多少?
解:
(1)建立的线性规划模型为
60x1
50x2
4200
s.t.
30x1
40x2
3000
60x1
50x2
4500
x1,x
20
将其标准化
60x1
50x2
x34200
s
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- 管理运筹学 管理 运筹学 第二 课后 习题 参考答案