数学广东省清远市清城区届高三上学期期末考试B卷理.docx
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数学广东省清远市清城区届高三上学期期末考试B卷理
广东省清远市清城区
高三第一学期期末统考(B)卷(理)试题
(本卷满分150分,时间120分钟)
1、选择题(60分,每题5分)
1.已知集合、为整数集,则集合中所有元素的和为()
A.1B.2C.3D.4
2.已知复数,则的虚部为()
A.B.3C.D.
高一
高二
高三
女生
373
m
n
男生
377
370
p
3.某高中共有2000名学生,其中各年级男生、女生的人数如下表所示,已知在全校学生中随机抽取1人,抽到高二年级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则在高三年级中应抽取的学生人数是()
A.8B.16
C.28D.32
4.如图所示,程序框图的输出值()
A.B.C.D.
5.若双曲线的渐近线方程是
则该双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
6.等差数列的前项和为,若公差,,则当取得最大值时,的值为()
A.10B.9C.6D.5
7.已知变量、满足约束条件,那么的最小值为()
A.B.8C.D.10
8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.12B.24C.40D.72
9.已知函数,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且函数是偶函数,下列判断正确的是()
A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于点对称
C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递增
10.平行四边形中,,点在边上,则的取值范围是()
A.B.C.D.
11.三棱锥的四个顶点均在同一球面上,其中是正三角形,平面则该球的体积为()
A.B.C.D.
12.已知点在不等式组表示的平面区域上运动,则的取值范围是()
A.B.C.D.
2、填空题(20分,每题5分)
13.若实数满足,则的最小值为.
14.在数列中,已知,,则其通项公式为。
15.三棱锥中,平面,,,,
若三棱錐的四个顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.
16.若,则。
3、解答题(70分)
17.(12分)
如图,是椭圆的两个顶点,,直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线平行于,与轴分别交与点,与椭圆相交于.证明:
的面积等于的面积;
18.(12分)
在中,的对边分别为,已知,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求周长的最大值.
19.(本小题满分12分)
如图
(1),在平行四边形中,,,分别为,的中点,现把平行四边形沿折起,如图
(2)所示,连结.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)设,.
(1)若,求的单调区间;
(2)讨论在区间上的极值点个数;
21.(12分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:
(是参数).(Ⅰ)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.
(Ⅱ)设为曲线上任意一点,求的取值范围
22.(10分)选修4—5:
不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,求的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集包含,求的取值范围.
参考答案
一、1-12:
CBBDCDBCDABD
二、13.14.15.16.
三、
17.
(1)解:
依题意,得,解得,所以椭圆的方程为;
(2)证明:
由于,设直线的方程为,
将其代入,消去,整理得,设,,所以
证法一:
记的面积是的面积是,
由,则,
因为,所以,
从而;
证法二:
记的面积是,的面积是,
则线段的中点重合
因为,所以,
故线段的中点为,因为,
所以线段的中点坐标亦为,从而.
18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等,满分12分.
解法一:
(Ⅰ)因为,,
所以,
即,
即.
因为,所以,
故,
由正弦定理得,
所以.
(Ⅱ)在中,,
由正弦定理得,,
所以,
所以
.
因为,所以.
所以当时,即时,取得最大值1.
故当时,周长取得最大值.
解法二:
(Ⅰ)由,
得,
由正弦定理,得,
由余弦定理,得,
整理得,
因为,所以,
所以.
(Ⅱ)在中,,
由余弦定理得,.
因为,
所以,即,所以,
当且仅当时,等号成立.
故当时,周长取得最大值.
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理认证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等,满分12分.
证明:
(Ⅰ)由已知可得,四边形均为边长为2的菱形,
且.
在图
(1)中,取中点,连结,
故是等边三角形,
所以,
同理可得,
又因为,
所以,
又因为,所以.
(Ⅱ)由已知得,,
所以,故,
如图
(2),分别以为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,
得,.
设平面的法向量,
,,
由得,
令,得,,
所以平面的一个法向量.
设平面的法向量,
,,
由得,
令,得,,
所以平面的一个法向量为.
于是,
因为二面角的平面角为钝角,
所以二面角的余弦值为.
20.
解:
(1)当时:
,()
故
当时:
,当时:
,当时:
.
故的减区间为:
,增区间为
(2)
令,故,
显然,又当时:
.当时:
.
故,,.
故在区间上单调递增
注意到:
当时,,故在上的零点个数由
的符号决定.
①当,即:
或时:
在区间上无零点,即无极值点.
②当,即:
时:
在区间上有唯一零点,即有唯一极值点.
综上:
当或时:
在上无极值
当时:
在上有唯一极值点.
21.
解:
(Ⅰ)曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:
直线的直角坐标方程为:
圆心到直线l的距离(弦心距)圆心到直线的距离为:
或5分
(Ⅱ)曲线的方程可化为,其参数方程为
为曲线上任意一点,
的取值范围是
22.选修4-5:
不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,分类与整合思想等,满分10分.
解法一:
(Ⅰ)时,原不等式可化为,
当时,原不等式可化为,即,
此时,不等式的解集为.
当时,原不等式化为,即.
此时,不等式的解集为.
当时,原不等式化为,即,
此时,不等式的解集为.
综上,原不等式的解集为.
(Ⅱ)不等式的解集包含,
等价于对恒成立,
即对恒成立,
所以,即对恒成立,
故的取值范围为.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因为,所以不等式可化为,
当时,不等式化为,解得;
当时,不等式化为,解得.
故当时,原不等式的解集为,
由于不等式的解集包含,
所以,解得.
当时,原不等式的解集为,
由于不等式的解集包含,
所以,解得.
综上,的取值范围为.
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