立体几何中的最值和动态问题.docx
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立体几何中的最值和动态问题
立体几何中的最值问题
海红楼
立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中岀现。
下面举例说明解决这类问题的常用方法。
一、运用变量的相对性求最值
例1.在正四棱锥S-ABCD中,SO丄平面ABCD于O,S0=2,底面边长为2,点P、Q分别在线段BD、
SC上移动,则P、Q两点的最短距离为()
A.
C.2
D.1
解析:
如图1,由于点P、Q分别在线段
BD、SC上移动,先让点
P在BD上固定,Q在SC上移动,当OQ
2(5
最小时,PQ最小。
过O作OQ丄SC在RtASOC中,0Q中。
又P在BD上运动,且当P运动到点O
5
时,PQ最小,等于0Q的长为
2.5
5
也就是异面直线BD和SC的公垂线段的长。
故选
图1
A.2a
B.2b
C.2c
D.a+b+c
、定性分析法求最值
例2.已知平面a“3CD
形,且AB=CD=aAC=BD=bAD=BC=c平面a分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S,则四边形PQRS
的周长的最小值是()
图3-1
解析:
如图3-2,将四面体的侧面展开成平面图形。
由于四面体各侧面均为锐角三角形,且AB=CDAC=BD,
AD=BC,所以,a与A'、d与d在四面体中是同一点,且AD^BC仏A'D',AB^CD',Ac、A共线,
d、b、d'共线,AADD'2BD。
又四边形PQRS在展开图中变为折线s'pqrss与S在四面体中是同一
点。
因而当P、Q、R在S'上时,S'PPQQRRS最小,也就是四边形PQRS周长最小。
又SASA',
所以最小值LSSDD'2BD2b。
故选B。
图3-2
四、利用向量求最值
例4.在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中,P是AF上的动点,_则GP+PB的最小值为
解析:
以A为坐标原点,分别以AB、AD、AE所在直线为x,y,z轴,建立如图4所示的空间直角坐标系,
则B(1,0,0),G(1,1,1)。
根据题意设P(x,0,x),则BP(X1,0,x),GP(x1,1,X1),
那么
GPPB-2x24x32x22x1
2
1
x_
2
式子
(X1)2
.2
2
X-0-可以看成x轴正半轴上一点(x,0,0)到
22
xAy平面上两点
-,0的距离之和,其最小值为
22
所以
GP+PB的最小值为
立体几何中的最值问题
、线段长度最短或截面周长最小问题
例1.正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为2,M为AA-中点,N为BC的中点,则在棱柱的表面上从点M到
点N的最短距离是多少并求之.
AlE
_£
__*
K1
1\(
:
A
解析:
⑴从侧面到N,如图1,沿棱柱的侧棱AA-剪开,并展开,则MN=,AM2AN2=,.12(21)2
=』10
(2)从底面到N点,沿棱柱的
AC、BC剪开、展开,如图
2.
则MN=.AMAN2AMANcos120
12m2「3:
=;厂3
4.3v.10•-MNmin=143.
例2.如图,正方形ABCDABEF的边长都是1,而且平面ABCDABEF互相垂直。
点M在AC上移动,点N在BF
上移动,若CM=BN=a(0a'.2).
(1)求MN的长;
MNQP是平行四边形
MN=PQ,由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
•-ACBF
2,兰a,BQa,即cp
1V2172
BQ
•-MNPQ.(1CP)2BQ2
(2)由
(1)知:
当a
MN
即M,N分别移动到AC,BF的中点时,
MN的长最小,最小值为
(3)取MN的中点G,连接AG、BG,tAM=AN,BM=BN,「.AG丄MN,BG丄MN,
•••/AGB即为二面角a的平面角。
又AGBG,所以由余弦
4
<62(-)cos4
V)21
4
1。
故所求二面角
cos
咄6-:
6
3
2?
?
:
-
44
定理有
arccos()
3
(0—)。
点M在AC上,点N
2
例3.如图,边长均为a的正方形ABCDABEF所在的平面所成的角为
在BF上,若AM=FN,
(1)求证:
MN解析:
(1)如图作
MGMPNMPN
MNx2(ax)22x(ax)cos
i
a212a
...2(1cos)(x—)-(1cos)a2x
\222
-(1cos)a图,正方形ABCDABEF的边长都是1,而且平面ABCDABEF互相垂直。
点M在AC上移动,2
点N在BF上移动,若CM=x,BN=y,(0x,y.2).
(1)求MN的长佣x,y表示);
(2)求MN长的最小值,
该最小值是否是异面直线AC,BF之间的距离。
解析:
在面ABCD中作MPAB于P,连PN,_则MP面ABEF,所以MP
PN,PB=1-AP=_2
PBN中,
由余弦定理得:
PN2=Vx)2
..2xycos45°
-x2y2xy,在RtPMN
2
中,mn=.MP2PN2
J(1孚x)2
2
yxy
(2)MN
y2xy2x1(0
x,y.2)
2
yxy
2x1(y;)23(x232
-,故当x
3
时,MN有最小值
例5.如图,在△
—CD—B后,D在怎样的位置时,
ab=.b2sin2
a2cos(asinbcos)2=、•、a
2b2absin2
a2b2ab.
3
—。
且该最小值是异面直线AC,BF之间的距离。
3
以CD为棱把它折成直二面角A
ABC中,/ACB=90°,BC=a,AC=b,D是斜边AB上的点,
AB为最小,最小值是多少
-9,作AM丄CD于M,BN丄CD于N,于是AM=bsin9,CN=asin9.
/•MN=|asin9-bcos9|,因为A—CD—B是直二面角,AM丄CD,BN丄CD,「.AM与BN成90°的角,于是
.•.当9=45°即CD是/ACB的平分线时,AB有最小值,最小值为―b2—ab.
例6.正三棱锥A-BCD底面边长为a,侧棱为2a,过点B作与侧棱AC、AD相交的截面,在这样的截面三角形中,求
(1)周长的最小值;
(2)周长为最小时截面积的值,(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.
解析:
(1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1,当周长最小时,
△B'AF,「.AE=AF,AC=AD,「.B'B//CD,.:
/
EF在直线BB'上,AB¥
1=Z2=Z3,「.BE=BC=a,同
DB
(fa)2
8
DF
理B'F=B'D=a.FDB'“△ADB',「.——
DBAB
133
-DF=a,AF=日.又丁4AEF^AACD,/•BB'=a+a+a=
224
11
的周长的最小值为a.
4
DFa1
a2a2
11
a,「.截面三角形
4
(2)如图2,•:
△BEF等腰,取EF中点G,连BG,则BG丄EFZ-BG=.BE2EG2
-55a:
Sbe=1•EF-BG=1•fa•互a=□a?
8224864
⑶vVA-BCD=VB-ACD而三棱锥B—AEF,三棱锥B—ACD的两个高相同,所以它们体积之比于它们的两底面积之比,即
VBAEF
VBCAD
Saaef
Saacd
EF2
CD2
9
16
评析把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题,从而使问题得到解决,这是求曲
面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体,其中任何一个面都可以做为底面,因而它可有四个底面和与之
对应的四条高,在解决有关三棱锥体积题时,需要灵活运用这个性质二、面积最值问题
例7.如图1所示,边长AC=3,BC=4,AB=5的三角形简易遮阳棚,其A、B是地面上南北方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成30°角,试问:
遮阳棚ABC与地面成多大角度时,才能保证所遮影面ABD
面积最大
图I
D
A
图2
解析:
易知,△ABC为直角三角形,由C点引AB的垂线,垂足为Q,则应有DQ为CQ在地面上的斜射影,且AB垂直于平面CQD,如图2所示.
因太阳光与地面成
30°角,
所以/CDQ=30°,又知在△CQD中,CQ=12,由正弦定理,有
5
CQ=QD
QD=6sinZQCD.
sin30sinQCD
为使面ABD的面积最大,需
QD最大,这只有当ZQCD=90°时才可达到,从而Z
CQD=
60
故当遮阳棚ABC与地面成60°角时,才能保证所遮影面ABD面积最大.
例8.在三棱锥A—BCD中,△ABC和厶BCD都是边长为a的正三角形,二面角A—BC—D=©,问©为何值时,三棱锥的全面积最大。
解析飞BAC=Sbc,J3^为常量,所以三棱锥全面积的大小取决于S^ABD与sACD的大小,由于△ABD辿ACD,
4
Sacd=1asinZACD,所以当ZACD=90°时面积最大,问题得解。
2
解如图,取BC中点M,连AM、DM,二△ABC和厶BCD都是正三角形,/-ZAMD是二面角A-BC-D的平面角,
ZAMD=©,又丁厶ABD^^ACD,且当ZACD=90°时,△ACD和厶ABD面积最大,此时AD=•.2a,在△AMD
1
中,由余弦定理cosZAMD=-一,
3
1
•/当©=n-arccos时,三棱锥A-BCD的全面积最大。
3
点评本题将求棱锥全面积的最大值,转化为求△ACD面积的最大值,间接求得©角。
例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200,母线为1,过顶点作圆锥的截面中,最大截面面积为。
分析:
本题是截面问题中的常见题,设圆锥的轴截面顶角是a,母线长为I,则截面面积
Smax=
2・
sin
(%)
2
本题轴截面顶角为1200,/最大面积为丄
2
例10、圆柱轴截面的周长L为定值,求圆柱侧面积的最大值。
分析:
设圆柱的底面直径和高分别为
d,h,则有:
2(d+h)=L,d+h=L/2,S侧=ndh l2 (当且 216 仅当d=h时取“=”)。 例11、在棱长为1的正方体ABCD—ABCD中,若G、E分别是BB1>C1D1- 的中点,点F是正方形ADD1A1的中心。 则四边形BGEF在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形面积的最大值是。 1 分析: 可得四边形BGEF在前后侧面上的射影相等且等于;在左右 4 13 侧面上的射影相等且等于一;在上下底面的射影相等且等于—,所以射影图 88 3 形面积的最大值为。 8 三、体积最值问题 例12.如图,过半径为 求三棱锥P—ABC的体积的最大值. R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PBPC, (1)求证: PA2+P将+P6为定值;⑵ PB,设其确定的平面截球得。 01,AB是。 01的直径,连PQ并延长交。 01于D,PADB是矩形,PD2=AB2=PA^+pB2,然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了. 解: (1)设过PA、PB的平面截球得O01,vPAXPB, AB是。 01的直径,连P01并延长交。 01于。 ,_则PADB是矩形,PD2=PA2+P氏设0为球心,则001丄平面。 01, •/PCXO01平面, •••00JPC,因此过PC、PD的平面经过球心0,截球得大圆,又PCXPD.「•CD是球的直径. 故PA2+P将+pc2=PD2+PC? =CD2=4R2定值. ⑵设PAPBPC的长分别为x、 1 22 21222一1Xy V2=x2y2z2<(- 36363 z23164R6246 )3・r6 362735. y、z,则三棱锥P—ABC的体积7=xyz, •V<12R3. 27 4^3 即卩V最大=R3 27 评析: 定值问题可用特殊情况先“探求”,如本题 (1)若先考虑PAB是大圆,探求得定值4R2可为 (1)的证明指明方向. 球面上任一点对球的直径所张的角等于90°,这应记作很重要的性质. 四、角度最值问题。 3,试求a+3的最大值和最小值• 例13.在棱长为1的正方体ABCD—A1BQ1D1中,P是A1B1上的一动点,平面PAD和平面PBG与对角面ABGD1所成的二面角的平面角分别为a、解析: 如图.对角面A1B1CD丄对角面ABGD1,其交线为EF过P作PQ丄EF于Q,则PQ丄对角面ABCq.分别连 PEPF. TEF±AD1,PE丄AD1(三垂线定理)•故由二面角的平面角定义知/PFQ=a, 同理,/PFQ=B. 设A1P=x,(O •-EQ=A1P,QF=PB1,PQ=丄, 2 •••当Ovxv1时,有tana=,tan3 2x2(1x) 、2 •tan(a+3)=回—空 1tantan 2x 2(1x) A、22 1- 2x2(1x) 一2 2(x2)22 A1E 而当x=0时“=—,tan(a+3)=tan(+3)=-cot3=-~~=-、j2,上式仍成立;类似地可以验证.当x 22 1 1时,上式也成立,于是,当x=时,tan(a+B)取最小值2.2;当x=0或1时,tan(a+卩)取最大值-.2. 2 又IOVa+P /•(a+B)max=n-arctan2 (a+p)min=n-arctan2 “动态”立体几何题初探 盐城市时杨中学陈晓兵224035 本文所指的“动态”立体几何题,是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外,渗透了一些“动态”的点、线、面元素,给静态的立体几何题赋予了活力,题意更新颖,同时,由于“动态”的存在,也使立体几何题更趋灵活,加强了对学生空间想象能力的考查。 一、截面问题 截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型,由于截面的“动态”性,使截得的结果也具有一定的可变性。 例1、已知正三棱柱AA1B1C1—ABC的底面积为S高为h,过C点作三棱柱的与底面ABC成a角的截面 ), MNiC Sh 1C」 cos43S2 _*3h2cos 2、3sin2 C1 B B C 11,119-50.119最值问题 2233' 立体几何题中经常会涉及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算,很多情况下,我们可以把这类动态问题转化成目标函数,从而利用代数方法求目标函数的最值。 例4、(2002年全国高考)如图,正方形ABCDABEF的边长都是1,而且平面ABCDABEF互相垂直,点
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- 立体几何 中的 动态 问题