辅助教师分析国小学生小数学习迷思概念及教学策略支援.docx

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辅助教师分析国小学生小数学习迷思概念及教学策略支援

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BGCG-0857-BTDO-0089-2022

辅助教师分析国小学生小数学习迷思概念及教学策略支援

辅助教师分析国小学生小数学习迷思概念及教学策略支援系统

表格目录

图表目录

1、绪论

迷思概念（misconception）指的是指在某一特定概念中，对某事件或某现象，所持有的一些有别於目前所公认的想法[52]，其形成的原因可能源自於学生日常生活经验的自我学习所得，也可能来自於学生对老师机械式敎学的一知半解[2]。

在学生学习的过程产生迷思概念时，教师若能适时做教学策略的调整，即能有效澄清学生的学习迷思并调整错误的概念。

诊断教学法（diagnosticteaching）即是协助教师解决学生迷思概念的教学策略之一，近几年来许多相关研究[8][20][23]指出诊断教学能有效的解决学生迷思概念，其主要的理论是假设当学生所处的学习环境时，其要求掌握的资讯量超过能力负荷时，学生将就趋向发展出合理但过於简化的解题策略[43]，因而产生学习迷思。

依据诊断教学法的理论基础，教师可将含有迷思概念的布题融入至题目（item）或答案选项（choice）中，经由行间巡视或由学生发表的答案内容（response）来诊断学生可能具有的迷思概念。

因此在诊断教学中，教师就所了解学生所犯的错误，在教学中设计活动有机会呈现出来[6]，使学生能够以自觉的方式发现认知有误，并产生认知上的不平衡，进而以认知调整的需求来导正其迷思概念。

依诊断教学理论，当学生学习过程中产生迷思概念时，若能针对学生的迷思进行修正的工作，即时有效地澄清学生的迷思概念，不同教师对於使用适性化的教学策略类型的选择方式不一，影响教师选择教学策略类型的因素皆来自於教师本身的教学经验及专业素养，另外在面对不同背景及学习特性的学生时也会影响教学策略类型的抉择结果，教师依据学生不同的迷思结构分布状况及不同学习背景进行重点补救或适性化的辅导，以解决学生的迷思概念。

因此，如何设计一个具有分析迷思概念之能力的题库，以及针对不同教师及不同特质的学生，在人数众多或大班级教学环境中分析各种可能的迷思分布状况，并提出适性化的教学策略，将是一项重大的挑战。

1.1研究动机

在平日生活环境中，数学与我们生活密不可分，而生活中牵涉到「小数」的部分也有许多（例如10.5公分、1.5公斤、成绩统计、计算机的使用等等……），「小数」是因应人类生活的需要所产生的，所以在日常生活中是相当普遍的，这些都是在生活中与外界沟通需要使用的数学语言与工具，所以具备正确且完整的小数概念是必要的。

「小数」在数的发展过程中扮演了一个重要的角色，更在小学数学课程中有其相当的份量[11]。

我国九年一贯数学领域之课程纲要於2003年11月14日由教育部正式发布，并从2005年8月1日（九十四学年度）起自一年级及七年级的学生同步逐年实施。

现今九年一贯数学教材大网历经多次改版，包含九十学年度第一学期实施的暂行纲要及目前实施的现行纲要，复加以一纲多本的前提下，各学校每年所采用的教材内容不尽相同，使得国民小学数学教学及出现教材衔接上的问题[1]，更导致教师在教学及补救教学时难以了解学生的迷思概念结构分布状况，对於班级与个别学生在不同迷思概念发生次数与比率以及班级学生发生个别迷思概念的人数等皆难以掌握，进而造成提供适合辅导的困难。

对於国民小学生来说，小数概念抽象且复杂，根据相关研究结果或评量报告，发现学生在小数学习方面表现并不理想[11]。

许多学生在学习小数的知识时偏向程序性的了解或以记忆性的居多，而忽略概念性的理解，以致於日後学习计算时遇到学习障碍，因为只有熟记算则，不理解算则背後的原理，所以无法掌握计算的结果[10]，造成学习小数迷思概念产生。

因此，倘若教师无法在教学过程中即时发现学生的迷思概念并适时加以辅导，将使得日後具有相依性质的章节教学时将更加困难，为了不使学生的迷思影响後来的学习成效，教师需要立即且详细地分析学生的迷思概念。

然而，教师在分析学生迷思概念之前，必须收集许多资料，在面对愈来愈多的教学资讯时，产生的「informationoverloading资讯过荷[41]现象，将使得许多研究学者所提出的教学理论难以推行，这使得以电脑科技辅助传统教室教学渐渐成为趋势，许多工具及系统，如machinelearning[42]与decisiontree[42]应普遍应用在实际的教学环境中，藉其优点，可减轻教师负担，教师可经学生在网路系统上的辅助了解学生学习状况，并调整教学策略，以达到适性化教学，其原则是以适应学生的个别差异，运用个别化的教学方式，然而无论是智力因素或非智力因素的个别差异，实施适性教学时都应该先广泛的收集学生个人的背景资料，评估学生的知识与技能水准，调整教学，让学生作好下一个阶段学习的准备[78]。

因此，为使小数迷思诊断教学活动能顺利进行，教师将面临以下三个困难：

1.教室人数过多，教师难以经由行间观察法掌握个别学生的学习时产生的迷思概念。

2.针对不同学生之迷思概念，教师无法掌握其迷思形成的结构，亦无法分析或统计全班同学共有的迷思分布情况。

3.教师面对不同的迷思概念时会有不同的教学策略，教师将如何针对不同迷思状况抉择适性化教学策略已以改善迷思状况。

本研究将提出一套以资讯科技辅助教师进行诊断教学，并以机器学习的技术协助教师依据不同学生的迷思分布及结构选择适当的教学策略以协助修正其迷思概念。

1.2研究目的

基於以上研究动机，本计画将以国民小学数学科教材中之小数教学为研究题材，提供具有支援学生学习迷思概念之题库，经由学生以电脑或纸笔测验後之结果，分析迷思概念之结构，并协助教师进行适性化的补救教学。

本研究提出以下三个研究目的，以解决上述三种教师在进行适性化辅导国小学生小数迷思概念时所面对的问题。

1.2.1建构具有小数迷思概念之题库

现今教师分析学生迷思概念的方式，大部分是利用学期末的时段以纸笔测验卷的结果进行分析，可以使用古典测验理论（TestTheory）[51]或现代测验理论（ItemResponseTest-IRT）的测验卷[79]，无论使用哪一种，皆将焦点专注在评监学生的学习成效，或是学生依试题难度及监别度所得到的不同反应，仍然无法即时反应每一位学生之迷思概念。

除了纸笔式的测验方式之外，目前对於迷思概念的分析皆采用目前常见的行间观察或将解题过程录影後再详细分析或访谈的方法，这些方式虽然有效，但是也将大量增加教师的教学负担。

本研究将建构出具有结构化迷思概念题目及诱答题的线上评量卷，将国小学生及数学课中的小数迷思概念，依不同结构分散在题目选项当中，并提供视窗化界面协助教师布题并获得试後分析结构时之需求。

1.2.2结构化呈现小数学习迷思概念

以往测验结束後，教师只看得到学生整体与个别的总成绩、平均分数、排名，对於学生详细具体的错误迷思状况并无法掌握，而错误迷思种类可能不只一种而是同时存在，甚至有其相依性质，迷思发生的比率也难掌握，以致於测验後的教学策略不容易适性化，针对关键问题来加以辅助学习。

本研究将采用「概念图」[16]的理论及技术以改善以往测验难以掌握学生学期状况与错误迷思，将学生依前一节所述迷思概念题库作答之答案收集後，对於班级所有学生及个别学生都提供教师一个图型化的迷思架构图，在架构图上对於小数相关迷思概念可看到迷思概念之分类、相依性质与相互阶层关系，提供教师更进一步了解其迷思概念可能的形成原因或关键因素，以作为优先选择或按排辅导迷思进度与顺序的参考。

1.2.3协助教师抉择适性化教学策略

许多数学补救教学只采取单一的教学策略，即是反覆练习作业单，这是目前我国数学科补救教学的课程与教学的重要问题之一，事实上各种错误类型分析和解题策略才应是数学科补救教学的主要方向和重点[35]。

教师在了解学生的迷思概念架构或形成原因後，面对不同的学生的迷思概念，教师会依其专业知识及经验决定使用不同教学策略，而为了协助教师能在最快的时间内做出正确的决择

本研究将利用机器学习中的「决策树」[64]技术，记录并学习种子教师的决策过程，形成专家决策树，将全班学生及个别学生的迷思概念资料配合教师抉择的教学策略类型，产生决策关连规则，将把全部学生分为四类：

（1）同侪交互指导

（2）测验练习（3）家庭协助（4）教室课後辅导，然而，最後将学生分类的目的是期望教师能再同一时间将不同类别的学生同时进行辅导，达成不同类型学生相同时间分别做不同的教学，针对不同教学者分成四类，

（1）同侪交互指导即是同学指导

（2）测验练习即是自我学习（3）家庭协助即是家长兄长指导（4）教室课後辅导即是任课教师指导。

以供日後其它教师在进行同一教学内容时，面对学生类似的迷思结构及背景状况时，可迅速获得适当的教学建议及参考。

2文献探讨

本研究的相关文献部分，将依建构理论、诊断教学、电脑适性化测验理论、小数迷思与认知冲突、概念构图、机器学习与决策树等方面来进行论述：

2.1诊断教学

诊断是利用资料来决定所该做的事项，以改进情境、行动或成就。

诊断的目的不是给予等第，而是根据实况给予建议事项。

诊断适当内容程度和检阅学生学习型态，教师必须对於学习环境敏感；环境对学习有帮助，也有所阻碍，致使学习成功，也能导致失败。

因此诊断教学需考虑或改善环境[20]。

依据陈海泓提出诊断教学有三种形式[20]：

（1）正式诊断教学：

是将诊断项目与规定标准加以比较。

设计良好的测验是正式诊断教学最普遍使用的工具。

其优点是给予每个学生所需的资料，其缺点是浪费时间；并且，其资料的蒐集和教师使用之间，也因必须批改和纪录资料，通常会延搁时间，简单的正式诊断教学可以了解一般学习的困难处、成就的最高点、和开始所需的新学习。

（2）非正式诊断教学：

是诊断教学的核心，广泛的需要每个学生或每一情境的资料。

它的资料可透过团体的回馈或敏锐的观察而获得。

教师利用敏锐的观察通常能获得一些有用的资料，决定该以哪一程度教学、何时继续、何时回溯及再教学。

观察可着重於过程—讨论；亦可着重於成果—数学试卷。

其优点是资料容易获得，不需要固定的测验，且在教学时能立即使用；缺点是精确度较正式诊断差，但仍适用於大部分的学生。

（3）推论诊断教学：

以教师的经验和一群人或个人为基础，也可能以教师的经验和以前的一群人、个人或看来与目前类似的情境为基础。

教师以过去的班级学生获取某一观念所费的时间，做为推论现在班级了解此观念的大概时间。

其优点是能节省正式或非正式诊断教学活动所需花费的时间和精力；缺点是效度是视现在与过去的相似性而定。

此效度的范围能从低到高，是教师专业的机灵而定。

本研究涵盖了正式诊断教学中设计测验、非正式诊断教学中收集班级导师观察每位学生之各项资料、及推论诊断教学中，运用专家决策树，模拟老师决策教学策略，可做日後教学之参考。

数学教学过程中的评量以不打击学生的学习信心为原则，进行诊断下列事项[5]：

（1）学生了解的程度：

许多学生在学习知识或概念时了解都不完备。

教师对於学生了解的程度来评量，而不只是告诉学生结果他的对、错或者他会、不会，可以增加学生学习信心。

（2）学生的解题策略：

评量学生某题做对或做错的做法虽也能获得一些学生了解程度的资讯，但如果能进一步评量出学生解题时的想法与解题策略，就更能清晰地呈现出学生的学习情况。

（3）学生常犯的错误：

教师在教每一年的学生，在相同单元常会发生出现过的错误类型，诊断评量的主要目标之一，就是要找出这些错误类型，进而改正观念。

（4）学生犯错的原因：

了解学生出错的原因後，诊断评量大致完成，对於教师设计教案、决定教学策略，皆对学生有效改进错误，因此学生出错的原因是相当宝贵的资料。

【简化..二段式诊断测验，困难…先整段删掉】

2.2电脑辅助测验

测验理论（testtheory）（或全称叫「心理测验理论」）[20]是一种解释测验资料间实证关系（empiricalrelationships）的有系统的理论学说，它的发展，迄今已迈入不同的新纪元，测验理论学者通常把它划分成二大学派：

一为古典测验理论（classicaltesttheory）—主要是以真实分数模式（truescoremodel）为骨干[51]；另一为当代测验理论（moderntesttheory）—主要是以试题反应理论（itemresponsetheory,IRT）为架构[52]。

这两派理论目前并行流通於测验学界。

两派测验理论之比较：

古典测验理论的内涵，主要是以真实分数模式（亦即，观察分数等於真实分数与误差分数之和，数学公式为）为理论架构，依据弱势假设（weakassumption）而来，其理论模式的发展已为时甚久，且发展得相当规模，所采用的计算公式简单明了、浅显易懂，适用於大多数的教育与心理测验资料，以及社会科学资料的分析，为目前测验学界使用与流通最广的理论依据。

然而，除上述各项优点外，古典测验理论却有下列诸项先天的缺失[70]：

1.古典测验理论所采用的指标，诸如：

难度（difficulty）、监别度（discrimination）、和信度（reliability）等，都是一种样本依赖（sampledependent）的指标；也就是说，这些指标的获得会因接受测验的受试者样本的不同而不同，因此，同一份试卷很难获得一致的难度、监别度、或信度。

2.古典测验理论以一个相同的测量标准误（standarderrorofmeasurement），作为每位受试者的测量误差指标，这种作法并没有考虑受试者能力的个别差异，对高、低能力两极端组的受试者而言，这种指标极为不合理且不准确，致使理论假设的适当性受到怀疑。

3.古典测验理论对於非复本（nonparallel）但功能相同的测验所测得的分数间，无法提供有意义的比较，有意义的比较仅局限於相同测验的前後测分数或复本测验分数之间。

4.古典测验理论对信度的假设，是建立在复本（parallelforms）测量的概念假设上，但是这种假设往往不存在於实际测验情境里。

道理很简单，因为不可能要求每位受试者接受同一份测验无数次，而仍然假设每次测量间都彼此独立不相关，况且，每一种测验并不一定同时都有制作复本，因此复本测量的理论假设是行不通的，从方法学逻辑观点而言，它的假设也是不合理的、矛盾的。

古典测验理论忽视受试者的试题反应组型（itemresponsepattern），认为原始得分相同的受试者，其能力必定一样；其实不然，即使原始得分相同的受试者，其反应组型亦不见得会完全一致，其能力估计值应该会有所不同，因此便有当代测验理论中，依据受测者的反应来评估能力的适性测验理论（adaptivetest）发展，然而受测者的反应资讯及题库资讯数量庞大，在实际的测试中必需使用电脑计算加以辅助，也就是电脑化适性测验（ComputerAssistedTest-CAT）[3]。

对於评量与教学目标的连结来说，教育评量应该是对学生各方面学习情形完整的收集过程，收集的资料是可以供诊断与监控学生的学习情形以及提供学习成就参考，非常具有实际教学功能[33]。

教学进行期间用来测知学生进步情形的测验称为「形成性测验」。

它特别强调：

使用测量的结果来诊断和改进教学（而非评定学生的等第）、题目的排定以类别和难度为主要依据。

它的目的在於监别学生学习是否成功，以求教与学之调适。

当学生的学习困难一直持续，无法以形成性测验所提供的改正方法来解决时，就需要更深入研究学生学习困难之处，此时诊断测验即为有用的工具，诊断测验是用来深入探求形成性测验无法解决的学习困难原因[19]。

所谓「客观的试题」代表可被客观的计分，即使不同的评分者各自评分，所评定的结果也相同。

它包含三种试题，即「是非题」、「选择题」、「配合题」。

而「知识」层次的学习通常用客观测验来测量，原因是它有三个优点[19]：

.

1.客观测验更适合於所预期的学习结果之测量

2.更能充分代表学生真正行为表现

3.评分迅速且客观

然而试题的品质也必须考虑，如果其他条件相等，选择题的品质最佳，因为选择题可以测量到各种不同层次的学习结果（简单到复杂）。

选择题最大的优点是其适用范围最为广泛，除了可以有效测量「知识」层次外，也可用来测量「理解」、「应用」、「分析」、「综合」、「评监」等复杂成就的学习结果[19]。

选择题的组成元素有两大部分，题干（stem）与选项（alternatives）。

题干就是问题本身；选项则是包括一个正确或最佳答案，和数个诱答选项（distractors）。

就选择题的形式而言，可分为四类[33]：

【1】完全的问句（completequestion）

所谓完整的问句，指的是题干本身就已经完整，无须选项来补充说明。

例如：

太一吃了个饼乾，用分数表示的话，要怎麽表示

【2】不完全的叙述句（incompletestatement）

在不完全的叙述句里，必须加上选项，才成为完整的句子。

例如：

大雄花了小时吃晚餐，可见得他吃晚餐

（A）相当於用了14分钟（B）相当於用了1小时4分钟

（C）相当於用了1小时分钟（D）相当於用了1小时24分钟。

然而必须建议除非可以使语句更精简而仍能保持题意的清晰，否则不宜采用不完全的叙述句。

尤其对於国小的学生而言，较不容易理解不完全的叙述句的意义。

【3】题干置於指导语中（stemembeddedindirection）

有的时候由於多个选择题的题干完全一样，所以乾脆把题干放上作答说明里。

例如：

以下题目中，请挑选文法错误的所在。

MaryandJohnwenttoschoolonyesterday.

ABCD﹡

【4】选项置於题干中（alternativesembeddedinstem）

有时由於选项的叙述非常简短，因此将选项直接至於题干中。

例如：

是（个个个个）。

有些老师偏爱这种可以节省版面的形式，然而严格来说，这种编排方式并不值得鼓励，因为学生的思考会被打断，尤其对年纪较小的学生而言，会增加很大的困扰。

在各式各样的考题中，选择题的优点整理後有以下几点：

1.选择题可适用於各种不同层次学习结果的测量[19]。

2.选择题可避免题意不清的缺点[19]。

3.选择题具有诊断的效果[10]。

4.由於标准答案事先就已设定，因此不用担心不同的评分者会给不同的分数[33]。

编写选择题诱答选项的注意事项[33]：

1.诱答选项必须有似真性。

2.每个诱答选项最好都能反映出学生的迷思或学习困难。

3.每个诱答选项的文法都必须一致。

4.避免诱答选项间有着重复、同义、相似、包含、或从属的关系。

本研究将采用电脑化适性测验理论相似的模式，依以上五项要件，提供教师可诊断小数迷思概念的题库。

2.3小数迷思概念

「迷思概念」（misconceptions）广为以科学诊断测验的科学教育学者所用[63][68]，国内也有学者将迷思概念的研究应用在国民小学的数学教学的研究中[7][8]，研究发现迷思概念形成的一般原因有6种[26]：

1.由正式或非正式教学情境而来。

2.由日常生活经验或通常用语而来。

3.从知识的缺乏而来。

4.由信念、被允许的意见或同侪的文化而来。

5.学童错误理解教师所传递的知识。

6.学童过度推论既有知识。

国民小学有关於小数教材分布在三～六年级，学生小数迷思大都集中在四、五年级，六年级偏向小数乘除问题[3]。

研究发现学童在获得的小数知识似乎都偏向程序性的了解或以记忆性的居多，学生常犯的错误如下[11]：

在概念题部分又有：

1.学童有「乘会变大，除会变小」的迷思概念。

2.学童在小数除法上，会以「大的数」÷「小的数」来解题。

3.学童直接将分子与分母当作整数与小数部分或小数与整数部分。

4.学童会以小数为数的多寡来判断小数的大小。

在计算题部分有：

1.学童以整数加法的经验类推，而易将数字「向右对齐」计算。

2.学童在求余数问题中常以四舍五入法求商。

3.学童在求有余数的除法中，会忽略余数的小数点，或是将余数的小数点对齐移位後的被除数小数点。

学生不易掌握小数符号背後的数学意义；连带的对小数比大小和小数加减产生错误或迷思概念。

小数与分数都与分的概念有关。

对分数符号而言，一个单位被等分成多少等份是由分母显示，而占多少等份是由分子显示。

但对小数符号而言，一个单位被等分成多少等份是由小数点後的部分显示。

并且，由於小数与整数都是采十进位制，在符号结构上十分相似，学生在不了解小数意义的情况下，便容易将它视为整数来处理[13]。

学生若能掌握小数符号意义，在面临图像表徵或是与分数的双向连结问题时，便能透过等分割观念解题。

在图像表徵方面，四年级的学生倾向将由表面的形式直接转换成图像，如将小数点左右两边的数（）视为两个独立的整数（a、b）；五、六年级则在单位量的表示（分几份取几份）仍是不清楚。

也就是学生对於小数点左右两边的数之意义掌握不够，不易理解整数部分与非整数部分有何关连，而有迷思概念[15]。

以新课程常用的教学法，经三阶段（分数引入小数、小数概念、小数加减）的教学，发现学生产生迷思概念或错误做法，可在质疑辩证时，藉师或生提出认知冲突或反思问题，促使学生们反省思考其建构的数学知识，有益澄清迷思概念或错误做法[18]。

研究发现五、六年级学童在小数比大小方面其错误类型都包含了Resnick等人（1989）所定义的整数法则及分数法则，独缺零法则。

建议利用教具比利用符号来代表概念更为具体[2]。

小数大小比较必须已相当丰富的整数概念为其先前知识，并需要有基本的小数与分数符号系统的知识为基础。

不过，进行小数大小比较作业不一定需要小数大小概念，以特定的解题策略即可正确完成。

同时。

研究资料指出，小数大小比较之不同法则的发展顺序，依序为不管小数点（P）、整数法则（W）、零法则（Z）、分数法则（F）、正确者（E）。

论文以整数位值系统与小数位值系统的表徵历程，说明两种数字系统学习过程的差异，并讨论数概念的意义向度与符号向度之区分[34]。

针对小数教学的理念提出一些教学活动，例如连结小数符号与图形表徵时，教师也应特别强调小数点分隔整数与非整数部份的功用以及小数点两边数量大小与大小单位间的关系。

在小数加减的教学方面，教师可让学生操作具体物解题，强调小数点的功能，并搭配定位板帮助学生理解直式算则的原理[14]。

Hibert将小数知识具体分成三种[58]：

1.计数系统知识：

有关小数符号的知识。

2.运算规则知识：

根据规则操弄小数符号以进行运算的知识。

3.数量表示知识：

将小数表示数量的知识。

针对这三部分的细部内容，再参考相关研究及文献，探讨学生可能产生的小数迷思概念整理如下表：

小数知识

迷思代号

迷思概念

说明

相关研究或文献

类别

内容

计数系统知识

A

写法

A1

将、的下一位写成

将、的下一位写成

略

[11][12][56]

A2

省略小数点後数字中的零

容易受「小数点後面的零可以省略」的影响，误以为小数点後数字中的零也可以省略。

如：

「一百零六点零五」记成。

[11][12][56]

读法

A3

将小数点後面的数读成整数

如：

读成「十五点二十三」。

[27][11][12][56]

A4

将小数点左边的整数部份，只读出数字，不读出位名

如：

读成「一五点二三」。

[23]

位值

A5

和不一样多

略

[25]

A6

和8一样大

略

[46]

A7

受到整数位值的影响

、

如：

认为共有「一个1000、二个100、三个10、四个1」或「一个1、二个、三个、四个」。

[12]

位名

A8

受到整数位名影响

左右位名对称「个位」

如：

认为里

1代表：

十位

2代表：