北师大版九年级数学上册习题 11 菱形的性质与判定.docx
- 文档编号:6509181
- 上传时间:2023-01-07
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:219.50KB
北师大版九年级数学上册习题 11 菱形的性质与判定.docx
《北师大版九年级数学上册习题 11 菱形的性质与判定.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版九年级数学上册习题 11 菱形的性质与判定.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北师大版九年级数学上册习题11菱形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
01 基础题
知识点1 菱形的定义
1.如图,在▱ABCD中,∵∠1=∠2,∴BC=DC.∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).(请在括号内填上理由)
2.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边BC、AB、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形,小聪的说法正确(填“正确”或“不正确”).
知识点2 菱形的性质
3.(泸州中考)菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D)
A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
4.(长沙中考)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对角线BD的长是(C)
A.1B.
C.2D.2
5.(黔西南中考)如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,则菱形的边长AB等于(D)
A.10B.
C.6D.5
6.如图,在菱形ABCD中,EF∥AB,对角线AC交EF于点G,那么与∠BAC相等的角的个数有(C)
A.3个B.4个
C.5个D.6个
7.(毕节中考)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于(A)
A.3.5B.4C.7D.14
8.(广州中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AO=4,求BD的长.
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD且BO=DO.
在Rt△AOB中,AB=5,AO=4,
由勾股定理,得BO=3.
∴BD=6.
9.(济南中考)如图,在菱形ABCD中,CE=CF.求证:
AE=AF.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠D=∠B,DC=BC.
∵CE=CF,
∴DC-CF=BC-CE.
∴DF=BE.
∴△ADF≌△ABE.
∴AE=AF.
02 中档题
10.(衢州中考)如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于(A)
A.6
米B.6米C.3
米D.3米
11.(昆明中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列结论:
①AC⊥BD;②OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④△ABC是等边三角形.其中一定成立的是(D)
A.①②B.③④C.②③D.①③
12.(烟台中考)如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO,若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为(C)
A.28°B.52°C.62°D.72°
13.(乌鲁木齐中考)若菱形的周长为8,相邻两内角之比为3∶1,则菱形的高是
.
14.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:
BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵BE=AB,
∴BE=CD,BE∥CD.
∴四边形BECD是平行四边形.
∴BD=EC.
(2)∵四边形BECD是平行四边形,
∴BD∥EC.
∴∠ABO=∠E=50°.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
∴∠BAO=90°-∠ABO=40°.
15.(贵阳中考)已知:
如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:
AE=EC;
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?
说明理由.
解:
(1)证明:
连接AC.
∵BD是菱形ABCD的对角线,
∴BD垂直平分AC.
∴AE=EC.
(2)点F是线段BC的中点.
理由:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB.
又∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC=60°.
∵AE=EC,∴∠EAC=∠ACE.
∵∠CEF=60°,∴∠EAC=30°.
∴AF是△ABC的角平分线.
又∵△ABC是等边三角形,∴BF=CF.
∴点F是线段BC的中点.
03 综合题
16.(河南中考)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为(B)
A.(1,-1)
B.(-1,-1)
C.(
,0)
D.(0,-
)
第2课时 菱形的判定
01 基础题
知识点1 有一组邻边相等的四边形是菱形
1.(钦州中考)如图,要使▱ABCD成为菱形,下列添加的条件正确的是(B)
A.AC=ADB.BA=BC
C.∠ABC=90°D.AC=BD
2.(海南中考)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(B)
A.AB=BCB.AC=BC
C.∠B=60°D.∠ACB=60°
3.(长春中考)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证:
四边形ACGF是菱形.
证明:
∵AF∥CD,FG∥AC,
∴四边形ACGF是平行四边形,∠FCG=∠AFC.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACF=∠FCG.
∴∠ACF=∠AFC.∴AC=AF.
∴四边形ACGF是菱形.
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.(潍坊中考)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件OA=OC或AD=BC或AD∥BC或AB=BC,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
5.已知▱ABCD两对角线AC、BD相交于点O,AC=12cm,BD=16cm,AD=10cm,则▱ABCD为菱形.
6.如图,在▱ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F,当AC与EF满足什么条件时,四边形AECF是菱形?
请给出证明.
解:
当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形.
证明:
∵在▱ABCD中,AO=CO,BO=DO,AB∥CD,
∴∠AEO=∠CFO.
在△EBO与△FDO中,
∴△EBO≌△FDO(AAS).
∴EO=FO.
又∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
∴当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形.
知识点3 四边相等的四边形是菱形
7.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形,作图痕迹如图所示,能得到四边形ABCD是菱形的依据是(B)
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
02 中档题
8.如图是一张平行四边形纸片ABCD,要求利用所学知识将它变成一个菱形,甲、乙两位同学的作法分别如下:
甲:
连接AC,作AC的中垂线交AD、BC于E、F,则四边形AFCE是菱形.
乙:
分别作∠A与∠B的平分线AE、BF,分别交BC于点E,交AD于点F,则四边形ABEF是菱形.
对于甲、乙两人的作法,可判断(C)
A.甲正确,乙错误B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误
9.(十堰中考)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是③(只填写序号).
10.(荆门中考)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:
四边形ABCD是菱形.
证明:
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF.
∵DF∥BE,
∴∠BEC=∠DFA.
∴∠AEB=∠CFD.
在△AEB和△CFD中,
∴△AEB≌△CFD.∴AB=CD.
∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAF.
∵∠BAE=∠DCF,∴∠DAF=∠DCF.
∴DA=DC.
∴四边形ABCD是菱形.
11.(黔南中考改编)如图,已知△ABC,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于E,连接CE,过点C作CF平行于BA交PQ于点F,连接AF.求证:
(1)△AED≌△CFD;
(2)四边形AECF是菱形.
证明:
(1)∵PQ为线段AC的垂直平分线,
∴AD=CD.
∵CF∥AB,
∴∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD.
在△AED和△CFD中,
∴△AED≌△CFD(AAS).
(2)∵△AED≌△CFD,∴DE=DF,AD=CD.
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵EF为线段AC的垂直平分线,∴EF⊥AC.
∴四边形AECF是菱形.
03 综合题
12.(泰安中考改编)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于点F,连接DF.
(1)求证:
∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
证明:
(1)∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC.
∴∠BAC=∠DAC.
∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,
∴△ABF≌△ADF.
∴∠AFB=∠AFD.
又∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFD=∠CFE.
(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD.
又∵AB=AD,CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
第3课时 菱形的性质与判定的运用
01 基础题
知识点1 与菱形有关的计算
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD的长分别是8和6,则菱形的周长等于(C)
A.12B.16C.20D.24
2.如图,在▱ABCD中,AC平分∠DAB,AB=2,则▱ABCD的周长为(C)
A.4B.6C.8D.12
3.如图,菱形ABCD的周长为16,∠ABC=120°,则AC的长为(A)
A.4
B.4C.2
D.2
4.(枣庄中考)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于(A)
A.
B.
C.5D.4
5.如图,在△ABC中,AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点.
(1)求证:
四边形BDEF是菱形;
(2)若AB=10cm,求菱形BDEF的周长.
解:
(1)证明:
∵E、F分别是AC、AB的中点,
∴EF=
BC,EF∥CB.
又∵D、E分别是BC、AC的中点,
∴DE=
AB,DE∥AB.
∴四边形BDEF是平行四边形.
又∵AB=BC,∴EF=DE.
∴四边形BDEF是菱形.
(2)∵F是AB的中点,∴BF=
AB.
又∵AB=10cm,∴BF=5cm.
∵四边形BDEF是菱形,
∴BD=DE=EF=BF.
∴四边形BDEF的周长为4×5=20(cm).
知识点2 菱形的判定
6.如图,添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是(C)
A.AB=BCB.AC⊥BD
C.∠ABC=90°D.∠1=∠2
7.如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为菱形,应添加的条件是(D)
A.AB∥DCB.AB=DC
C.AC⊥BDD.AC=BD
8.如图,在△ABC中,AB<BC<AC,小华依下列方法作图:
①作∠C的平分线交AB于点D;②作CD的中垂线,分别交AC,BC于点E,F;③连接DE,DF.根据小华所作的图,下列说法中一定正确的是(A)
A.四边形CEDF为菱形
B.DE=DA
C.DF⊥CB
D.CD=BD
9.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为边AB,AD的中点,连接EF,OE,OF,求证:
四边形AEOF是菱形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD.
∴∠AOB=∠AOD=90°.
∵点E,F分别为边AB,AD的中点,
∴OE=
AB=AE,OF=
AD=AF,AE=AF.
∴AE=OE=OF=AF.
∴四边形AEOF是菱形.
02 中档题
10.(兰州中考)如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E、F,连接EF,则△AEF的面积是(B)
A.4
B.3
C.2
D.
11.如图,在菱形ABCD中,过对角线BD上任一点P,作EF∥BC,GH∥AB,下列结论正确的是①②④.(填序号)
①图中共有3个菱形;②△BEP≌△BGP;③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半;④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长.
12.如图,在▱ABCD中,EF垂直平分AC交BC于E,交AD于F.
(1)求证:
四边形AECF为菱形;
(2)若AC⊥CD,AB=6,BC=10,求四边形AECF的面积.
解:
(1)证明:
∵EF垂直平分AC,
∴FA=FC,EA=EC.
∴∠AFE=∠CFE,∠AEF=∠CEF.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠AFE=∠CEF=∠AEF.
∴AF=AE.
∴AE=EC=CF=FA.
∴四边形AECF是菱形.
(2)∵AC⊥CD,AC⊥EF,
∴EF∥CD.
又∵AB∥CD,∴AB∥EF.
∴四边形ABEF为平行四边形.
∴EF=AB=6.
∵AC⊥CD,
∴AB⊥AC.
在Rt△ABC中,
由勾股定理,得AC=8.
∴四边形AECF的面积为
AC·EF=
×6×8=24.
03 综合题
13.(临沂中考)对一张长方形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
第一步:
先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:
再一次折叠,使点A落在MN上的点A′处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA′,EA′,展开,如图1;
第三步:
再沿EA′所在的直线折叠,点B落在AD上的点B′处,得到折痕EF,同时得到线段B′F,展开,如图2.
求证:
(1)∠ABE=30°;
(2)四边形BFB′E为菱形.
证明:
(1)∵第二步折叠,使点A落在MN上的点A′处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,
∴∠AEB=∠A′EB.
∵第三步折叠,点B落在AD上的点B′处,得到折痕EF,同时得到线段B′F,
∴∠A′EB=∠FEB′.
∵∠AEB+∠A′EB+∠FEB′=180°,
∴∠AEB=∠A′EB=∠FEB′=60°.
∴∠ABE=90°-∠AEB=30°.
(2)∵∠A′EB=∠FEB′=60°,EB′∥BF,
∴∠A′EB=∠FEB′=∠BFE=∠EFB′=60°.
∴△BEF和△EFB′是等边三角形.
∴BE=BF=EF=EB′=FB′.
∴四边形BFB′E为菱形.
第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形
1.下列命题中正确的是(C)
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,OA=2,若要使▱ABCD为矩形,则OB的长应该为(C)
A.4B.3C.2D.1
3.(娄底中考)如图,要使▱ABCD是矩形,则应添加的条件是答案不唯一,如:
∠ABC=90°或AC=BD(添加一个条件即可).
4.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠OBC=∠OCB.求证:
四边形ABCD是矩形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
又∵∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC.
∴AO=BO=CO=DO.
∴AO+CO=BO+DO,即AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形
5.在数学活动课上,同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组4位同学拟定的方案,其中正确的是(C)
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
6.(来宾中考)顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是矩形.
7.如图,已知MN∥PQ,EF与MN、PQ分别交于A、C两点,过A、C两点作两组内错角的平分线,交于B、D,则四边形ABCD是矩形.
8.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=5,BC=12,AC=13.求证:
四边形ABCD是矩形.
证明:
∵AB∥CD,∠BAD=90°,
∴∠ADC=180°-∠BAD=90°.
又∵在△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,
∴AB2+BC2=AC2,
即△ABC是直角三角形,且∠B=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
9.已知:
如图,在▱ABCD中,AF,BH,CH,DF分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC的平分线.求证:
四边形EFGH是矩形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB+∠ADC=180°.
∵AF,DF平分∠DAB,∠ADC,
∴∠FAD=∠BAE=
∠DAB,
∠ADF=∠CDF=
∠ADC.
∴∠FAD+∠ADF=90°.
∴∠AFD=90°.
同理:
∠BHC=∠HEF=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
02 中档题
10.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE、BF.当∠ACB为60度时,四边形ABFE为矩形.
11.(河南平顶山宝丰县期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形,AC、DE相交于点O.
(1)求证:
四边形ADCE是矩形;
(2)若∠AOE=60°,AE=4,求矩形ADCE对角线的长.
解:
(1)证明:
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AB=DE,BD=AE,BD∥AE.
又∵AB=AC,
∴DE=AC.
又∵D为BC中点,
∴CD=BD.
∴CD∥AE,CD=AE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵DE=AC,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)∵四边形ADCE是矩形,
∴AO=EO.
∵∠AOE=60°,
∴△AOE为等边三角形.
∴AO=AE=4.
∴AC=8,即矩形ADCE对角线的长为8.
12.(巴中中考)如图,在四边形ABCD中,点H是BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.
(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是EH=FH,并证明;
(2)在问题
(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形,请说明理由.
解:
(1)证明:
∵点H是BC的中点,
∴BH=CH.
在△BEH和△CFH中,
∴△BEH≌△CFH(SAS).
(2)连接BF,CE.
当BH=EH时,四边形BFCE是矩形.
理由:
∵BH=CH,EH=FH,
∴四边形BFCE是平行四边形.
又∵BH=EH,
∴BC=EF.
∴平行四边形BFCE为矩形.
03 综合题
13.(张家界中考)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
解:
(1)证明:
∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.
∴OF=OC.
同理:
OC=OE.∴OE=OF.
(2)由
(1)知:
OF=OC,OC=OE,
∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC.
∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC.
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,
∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°.
∴EF=
=
=13.
∴OC=
EF=
.
(3)连接AE、AF.当点O移动到AC中点时,四边形AECF为矩形.
理由:
由
(1)知OE=OF,
当点O移动到AC中点时,OA=OC,
∴四边形AECF为平行四边形.
又∵∠ECF=90°,
∴四边形AECF为矩形.
第3课时 矩形的性质与判定的运用
01 基础题
知识点 矩形的性质与判定的运用
1.如图,矩形ABCD的两条对角线交于点O,若∠AOD=120°,AB=6,则AC=(C)
A.8B.10C.12D.18
2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是(D)
A.AB=CDB.AD=BC
C.AB=BCD.AC=BD
3.下列说法正确的是(A)
A.矩形的对角线互相平分
B.矩形的四条边相等
C.有一个角是直角的四边形是矩形
D.对角线相等的四边形是矩形
4.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,则下列结论不正确的是(A)
A.AC⊥BDB.AC=BD
C.BO=DOD.AO=CO
5.如图,矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上),AB=5,BC=12,点A表示的数是-1,则对角线AC、BD的交点表示的数是(A)
A.5.5B.5C.6D.6.5
6.如图,矩形ABCD中,AC交BD于点O,∠AOD=60°,OE⊥AC.若AD=
,则OE=(A)
A.1B.2C.3D.4
7.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OB,∠OAD=65°.则∠ODC=25°.
8.木工做一个矩形桌面,量得桌面的两组对边长分别为15cm,8cm,对角线为17cm,则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”).
9.如图,矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,且∠ADE∶∠EDC=2∶1,求∠BDE的度数.
解:
在矩形ABCD中,∠ADC=90°.
∵∠ADE∶∠EDC=2∶1,
∴∠ADE=60°,∠EDC=30°.
又∵DE⊥AC,
∴∠DCE=90°-30°=60°.
根据矩形的性质可得OC=OD,
∴∠DOC=180°-2∠DCE=180°-2×60°=60°.
∴∠BDE=90°-∠DOC=30°.
10.(聊城中考)如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC,四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:
四边形BECD是矩形.
证明:
∵AB=BC,BD平分∠ABC,
∴BD⊥AC,AD=DC.
∵四边形ABED是平行四边形,
∴BE∥AC,BE=AD.
又∵AD=DC,∴DC=BE.
∴四边形BECD是平行四边形.
又∵BD⊥AC,
∴四边形BECD是
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 北师大版九年级数学上册习题 11 菱形的性质与判定 北师大 九年级 数学 上册 习题 菱形 性质 判定