因式分解的常用方法教案.docx
- 文档编号:6505599
- 上传时间:2023-01-07
- 格式:DOCX
- 页数:48
- 大小:210.60KB
因式分解的常用方法教案.docx
《因式分解的常用方法教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《因式分解的常用方法教案.docx(48页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
因式分解的常用方法教案
因式分解的常用方法
第一部分:
方法介绍
多项式的因式分解是代数式包等变形的基本形式之一,它被广泛地应用丁初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解容所必需的,而且对丁培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
一、提公因式法.:
ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)(a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)(a±b)2=a2坨ab+b2a2±2ab+b2=(a土b)2;
22333322、
(3)(a+b)(a-ab+b)=a+ba+b=(a+b)(a-ab+b);
22333322、
(4)(a-b)(a+ab+b)=a-ba-b=(a-b)(a+ab+b).
卜面再补充两个常用的公式:
⑸a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
333222
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);
例.已知a,b,c是ABC的三边,且a2b2c2abbcca,
贝UABC的形状是()
A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角
三角形
解:
a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca
(ab)2(bc)2(ca)20abc
三、分组分解法.
(1)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
amanbmbn
分析:
从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:
原式=(aman)(bmbn)
=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式!
=(mn)(ab)
例2、分解因式:
2ax10ay5bybx
解法一:
第一、二项为一组;
解:
原式=(2ax10ay)(5bybx)
=2a(x5y)b(x5y)
=(x5y)(2ab)
解法二:
第一、四项为一组;
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
原式=(2ax成)(10ay5by)
=x(2ab)5y(2ab)
=(2ab)(x5y)
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
x2y2axay
分析:
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:
原式
=(x2
=(x
=(x
y2)y)(xy)(x
(axay)y)a(xy)ya)
例4、
分解因式:
解:
原式
2a
=(a2
=(a
=(a
2abb2
.2
2abb)
.、22
b)c
bc)(ab
2c
2
c
c)
练习:
分解因式
3、x
2
x
9y2
2
3y4、x
2y
2z
2yz
综合练习:
(D
3x
2
xy
2
xy
y3
(2)ax2
bx2
bx
ax
ab
(3)
2x
6xy
9y2
16a2
2
8a1(4)a
6ab
12b
9b2
4a
(5)
4a
2a3
2a
9
,一、2
(6)4ax
4a2y
b2x
b2
y
(7)
2x
2xy
xz
yz
2y
(8)a22a
b2
2b
2ab
1
(9)
y(y
2)
(m
1)(m
1)
(10)(a
c)(a
c)
b(b
2a)
(11
)a2
(bc)b
2(a
c)
2
c(ab)2abc
333
(12)a3b3c33abc
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:
十字相乘有什么基本规律?
例.已知0 解析: 凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求b24ac>0而且是一个完全平■方数。 丁是98a为完全平■方数,a1 例5、分解因式: x25x6 分析: 将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等丁5。 由丁6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)x(-6),从中可以发现只 有2X3的分解适合,即2+3=5。 解: x25x6=x2(23)x23 =(x2)(x3) 用此方法进行分解的关键: 将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等丁一次项的系数。 例6、分解因式: x27x6 解: 原式=x2[ (1)(6)]x (1)(6)1......-1 =(x1)(x6) -6 (-1)+(-6)=-7 练习5、分解因式 (1)x214x24 (2)a215a36 ⑶x24x5 练习6、分解因式 (1)x2x2 (2)y22y15 ⑶x210x24 (2)二次项系数不为1的二次三项式——ax2bxc 条件: (1)aa1a2a1、/c1 (3)baiC2a2Ciba©a2Ci 分解结果: ax2bxc=(aixCi)(a2xC2) 例7、分解因式: 3x2iixi0 分析: i-2 3-5 (-6)+(-5)=-ii 解: 3x2iixi0=(x2)(3x5) 练习7、分解因式: (i)5x27x6 (2)3x27x2 (3)i0x2i7x3(4)6y2iiyi0 (3)二次项系数为i的齐次多项式 例8、分解因式: a28abi28b2 分析: 将b看成常数,把原多项式看成关丁a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。 i…8b i"-i6b 8b+(-i6b)=-8b 解: a28abi28b2=a2[8b(i6b)]a8b(i6b) =(a8b)(ai6b) 练习8、解因式(i)x23xy2y2 (2)m26mn8n2(3)a2ab6b2 (4)二次项系数不为i的齐次多项式 例9、2x27xy6y2例i0、x2y23xy2 1-2y把xy看作一个整体i-i 2-: -3y」 -2 (-3y)+(-4y)=-7y 解: 原式=(xy1)(xy2)7xy4y2 (2)a2x26ax8 -3 解: 原式=(x2y)(2x3y) 练习9、分解因式: (1)15x2 综合 练习10、 (1) 8x67x3 1 (2) 12x2 2 11xy15y (3)1 (xy)23(x y) 10 (4)(a b)2 4a 4b3 (5) 222 xy5xy 6x2 (6) 2m 2 4mn4n 3m 6n 2 (7) 2 x4xy4y 22x 4y3 (8 )5(ab)2 23(a2 b2 )10(a b)2 ( 9) 4x2 4xy 6x 3yy210 ( 10 ) 12(x y)211(x2 y2) 2(xy) 2 思考: 分解因式: 2abcx 22 (ab 2c )xabc (5)双十字相乘法 分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对丁某些 二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十 字相乘法分解因式. 例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式 按x降籍排歹0,并把y当作常数,丁是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可以看作是关丁x的二次三项式. 对丁常数项而言,它是关丁y的二次三项式,也可以 用十字相乘法,分解为 -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1). 再利用十字相乘法对关丁x的二次三项式分解 所以 原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)] 上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果 把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图: 它表小的是下面二个关系式: (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2; (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3; (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3. 这就是所谓的双十字相乘法. 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行 因式分解的步骤是: (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘 图(有两列); (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第 、第三歹U构成的十字交义之积的和等丁原式中的ey,第 、第三列构成的十字交义之积的和等丁原式中的dx. 例1分解因式: (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2; (2)x2-y2+5x+3y+4; 2 (3)xy+y+x-y-2; (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2. 解 (1) 原式=(x-5y+2)(x+2y-1) 原式=(x+y+1)(x-y+4). (3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解. 原式=(y+1)(x+y-2). ⑷ 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z). 说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似. 五、换元法。 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。 例7.1、因式分解(x23x4)(x2x6)24 解 24= 析 3) : 24 (x2 3x 4)(x2x6) (x1)(x4)(x2)(x (x 1)(x 2)(x3)(x4) 24 (x2x2)(x2x 12) 24 设 2 yxx2, 则 2 xx12y10 于 是,原式 y(y10)24y210y24(y4)(y6)(x2x =(x2x6)(x2x8)(x2)(x3)(x2x8) 2 例7.2、因式分解(xy2xy)(xy2)(xy1) 解析: 设xym,xyn,贝U 2 4)(x2x26) (xy2xy)(xy2)(xy1)2=(m2n)(m2)(n1)2 =m22mnn22m2n1(mn)22(mn)1 22222 =(mn1)(xyxy1)(x1)(1y)(x1)(y1) 例13、分解因式 (1)2005x2(200521)x2005 2 (2)(x1)(x2)(x3)(x6)x2 解: (1)设2005=a,则原式=ax2(a21)xa =(ax1)(xa) =(2005x1)(x2005) (2)型如abcde的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式: =(x2 7x 6)(x 2 5x6) 2x 设x2 5x 6A,则 2x 7x6 A 2x 原式= (A 2x)A 2x= : A 22Ax 2x = (A x)2= (x2 6x 6)2 练习13、分解因式| (1) (x2 xy y2)2 4xy(x 2 y2) (2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90 /c\,22.22„.22 (3)(a1)(a5)4(a3) 例14、分解因式 (1)2x4x36x2x2 观察: 此多项式的特点一一是关丁x的降籍排列,每一项的次数 依次少1,并且系数成“轴对称”这种多项式届丁“等距离多项式”方法: 提中问项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法 解: 原式 x2(2x2 x 6 1 x 2)-x : x2 21 2(x2) x (x 1 一) x 6 原式 、几1 设x— x =x22(t2 t, 2) 则 t 2x 6 1 2 x 2-x t2 2t2 2 t10 =x22t 5t 2 =x 22x 2 5x1 2 xx - (x1) 2(2x 1)(x 2) (2)x44x3 2x 4x 1 解: 原式- 22 x(x 4x 1- x M)x 2 -x 21 x2 x 1 4x-x 设x— x 原式- y, 22 x(y 则x 4y 21 2x 3)- 2y 2 x(y 2 1)(y 3) 练习14、 (1) x2(x 6x4 — x7x3 1)(x 36x2 1 -3)x 7x 2-x 6 x1x2 3x1 (2) x42x3 x21 2(x x2) =x•2x—5xx—2=2x25x2x22x1xx 六、添项、拆项、配方法。 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例6.1、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)(黄冈市中考题) 解: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b) (1)、巧拆项: 在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项 几项)适当拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。 22 例6.2.1、因式分解ab4a2b3 解析: 根据多项式的特点,把3拆成4+(-1), 1 2,2 ab 4a2b3= a2b2 4a2b41(a24a4)(b22b1) =(a 2)2(b1)2(ab1)(ab3) 例6.2.2、因式分解x36x211x6 解析: 根据多项式的特点把6x2拆成2x24x2;把11x拆成8x3x 则x3 6x211x6=(x32x2)(4x28x)(3x6) x2(x2)4x(x2)3(x2)(x2)(x24x3)(x1)(x2)(x3) (2)、巧添项: 在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、 减相同的项,再用基本方法分解,也可谓方法独特,新颖别致。 例6.3、因式分解x44y4 解析: 根据多项式的特点 ,在x 44y4中添上4x2y2,4x2y2 两项, 则x4 4/42242 4y=(x4xy4y)4x 2/22、2 y(x2y) (2xy)2 =(x2 2xy2y2)(x2 2xy 2y2) 例4、 因式分解x33x 24 解析: 根据多项式的特点, 将 一2.八 3x拆成 22..... 4xx,再添上 4x,4x 两项,则 3x 3x24=x34x2 4x x24x 4 =x(x 24x4)(x2 4x 4)(x2 4x4)(x1) =(x1)(x2)2 例15、分解因式 (1)x3 3x2 4 解法1拆项。 原式=x313x23 =(x1)(x2x1)3(x 1)(x 解法2添项。 原式=x33x24x4x4 1)=x(x23x4)(4x4) =(x1)(x2x13x 3) =x(x1)(x4)4(x1) =(x1)(x24x4) =(x1)(x2)2 (2)x9x6x33 解: 原式=(x91)(x61) =(x31)(x6x31) =(x31)(x6x31 =(x1)(x2x1)(x6 =(x1)(x24x4)=(x1)(x2)2 (x31) 333 (x1)(x1)(x1) 3,八 x11) 3_、 2x3) 练习 15、 分解 因式 (1) x3 9x 8 (2) (x 1)4 (x2 1)2 (x 1)4 (3) 4x 7x2 1 (4) 4x 2x 2ax 1 2a (5) 4x 4y (xy)4 (6)2a 2b2 2a2 c22b 2c2 a4 b4 c4 七、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方 式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例5、分解因式x+6x-40(市中考题) 解x2+6x-40=x2+6x+9-9-40 =(x+3)2-(7)2 =[(x+3)+7][(x+3)成] =(x+10)(x-4) 八、待定系数法。 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字 母系数,从而把多项式因式分解。 例11、分解因式x4-x3-5x2-6x-4 如果已知道这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 43222 解: 设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d) =x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4 所以解得 4322…2 贝Ux-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4) 例16、分解因式x2xy6y2x13y6 分析: 原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y),则原 多项式必定可分为(x3ym)(x2yn) 解: 设x2xy6y2x13y6=(x3ym)(x2yn) 22 .(x3ym)(x2yn)=xxy6y(mn)x(3n2m)ymn x2xy6y2x13y6=x2xy6y2(mn)x(3n2m)ymn 对比左右两边相同项的系数可得3n2m13,解得m2 cn3 mn6 .•原式=(x3y2)(x2y3) 例17、 (1)当m为何值时,多项式x2y2mx5y6能分解因式,并分解此多项式。 (2)如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2,求ab的 (1)分析: 前两项可以分解为(xy)(xy),故此多项式分解的形式必为(xya)(xyb)22 解: 设xymx5y6=(xya)(xyb) 2222 贝Uxymx5y6=xy(ab)x(ba)yab 比较对应的系数可得: ba5,解得: b3或b3 ab6 .••当m1时,原多项式可以分解; 当m1时,原式=(xy2)(xy3); 当m1时,原式=(xy2)(xy3) (2)分析: x3ax2bx8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。 解: 设x3ax2成8=(x1)(x2)(xc) 则x3ax2成8=x3(3c)x2(23c)x2c 练习17、 (1)分解因式x23xy10y2x9y2 (2)分解因式x23xy2y25x7y6 22 (3)已知: x2xy3y6x14yp能分解成两个一次 因式之积,求常数p并且分解因式。 (4)k为何值时,x22xyky23x5y2能分解成两个 一次因式的乘积,并分解此多项式 九、求根法 令多项式y=0,求出其根为xi,x2则多项式可因式分解为y=(x-xi)(x-x2) 我们把形如anxn+an-ixn-1+••+aix+a°(n为非负整数)的代数式称为关丁x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如 f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…, 当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x) f (1)=12-3X1+2=0; f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12. 若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根. 定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根,即 f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a. 根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对丁任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 因式分解 常用 方法 教案
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)