全国二卷数学理.docx
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全国二卷数学理
全国二卷数学理2017
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
课标II理科数学
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.()
A.B.C.D.
2.设集合,。
若,则()
A.B.C.D.
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
5.设,满足约束条件,则的最小值是()
A.B.C.D.
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()
A.12种B.18种C.24种D.36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。
老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。
看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩。
根据以上信息,则()
A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的()
A.2B.3C.4D.5
9.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为()
A.2B.C.D.
10.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
11.若是函数的极值点,则的极小值为()
A.B.C.D.1
12.已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小是()
A.B.C.D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则。
14.函数()的最大值是。
15.等差数列的前项和为,,,则。
16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点。
若为的中点,则。
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
的内角所对的边分别为,已知,
(1)求;
(2)若,的面积为,求。
18.(12分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:
kg)某频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:
“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
附:
19.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,E是PD的中点。
(1)证明:
直线平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为,求二面角的余弦值。
20.(12分)
设O为坐标原点,动点M在椭圆C:
上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足。
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线上,且。
证明:
过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
21.(12分)
已知函数,且。
(1)求;
(2)证明:
存在唯一的极大值点,且。
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,按所做的第一题计分。
22。
[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为。
(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值。
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知。
证明:
(1);
(2)。
答案与解析
1.D
【解析】,故选D。
2.C
【解析】由得,所以,,故选C。
3.B
【解析】塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由可得,故选B。
4.B
【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为,故选B.
5.A
【解析】绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值,故选A.
6.D
【解析】,故选D。
7.D
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果,故选D。
8.B
【解析】,故选B.
9.A
【解析】圆心到渐近线距离为,所以,故选A.
10.C
【解析】补成四棱柱,
则所求角为
因此,故选C.
11.A
【解析】由题可得
因为,所以,,故
令,解得或,所以在单调递增,在单调递减
所以极小值,故选A。
12.B
【解析】以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原点建立坐标,则,,,设,所以,,
所以,
当时,所求的最小值为,故选B。
13.1.96
【解析】,所以.
14.1
【解析】
,,那么,当时,函数取得最大值1.
15.
【解析】设等差数列的首项为,公差为,所以,解得,所以,那么,那么.
16.6
【解析】设,,那么,点在抛物线上,所以,所以,那么.
17.
(1)
(2)
【解析】试题分析:
利用三角形内角和定理可知,再利用诱导公式化简,利用降幂公式化简,结合求出;利用
(1)中结论,利用勾股定理和面积公式求出,从而求出.
试题解析:
(1)由题设及,故
上式两边平方,整理得
解得
(2)由,故
又
由余弦定理及得
所以b=2
【点睛】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意三者的关系,这样的题目小而活,备受老师和学生的欢迎.
18.
(1);
(2)详见解析;(3)
【解析】
(1)记事件“旧养殖法的箱产量低于”为事件
记事件“新养殖法的箱产量不低于”为事件
则
(2)
旧养殖法
新养殖法
有的把握认为箱产量与养殖方法有关。
(3)第50个网箱落入“”这组;
取平均值即为中位数的估计值。
19.
(1)详见解析
(2)
【解析】
(1)取中点,连接、、
∵、分别为、中点
∴,又∵
∴,∴四边形为平行四边形
∴平面
(2)取中点,连,由于为正三角形
∴
又∵平面平面,平面平面
∴平面,连,四边形为正方形。
∵平面,∴平面平面
而平面平面
过作,垂足为,∴平面
∴为与平面所成角,
∴
在中,,∴,
设,,,
∴,∴
在中,,∴
∴,,
以为坐标原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,,,,
,
设平面的法向量为,,∴
∴,而平面的法向量为
设二面角的大角为(为锐角)
∴。
20.
⑴点的轨迹方程。
⑵详见解析
【解析】
(1)设,,
即
代入椭圆方程,得到
∴点的轨迹方程。
(2)设,,椭圆的左焦点为
,
,即①
:
∴过与直线垂直的直线为:
当时,
①代入得
∴过且垂直于的直线过的左焦点。
21.⑴a=1
⑵详见解析
【解析】
(1)的定义域为
设,则等价于
因为
若a=1,则.当0<x<1时,单调递减;当x>1时,>0,单调递增.所以x=1是的极小值点,故
综上,a=1
(2)由
(1)知
设
当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增
又,所以在有唯一零点x0,在有唯一零点1,且当时,;当时,,当时,.
因为,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由得
所以
22.⑴的直角坐标方程为
⑵△OAB面积的最大值为
【解析】
(1)设P的极坐标为,M的极坐标为,由题设知
由得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为
(2)设点B的极坐标为,由题设知
于是△OAB面积
当时,S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23.⑴详见解析
⑵详见解析
【解析】
(1)
(2)因为
所以,因此a+b≤2.
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