六年级.docx
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六年级
一比例
单元目标:
1、学生理解比例的意义和比例的基本性质,会解比例。
2、使学生理解正反比例的意义,能够正确判断成正反比例的量,会用比知识解答比较容易的应用题。
3、使学生能够应用比例的知识,求出平面图的比例尺以及根据比例尺求出图上距离或实际距离。
4、通过比例的教学,使学生进一步受到辨证唯物主义的观点启蒙教育。
1、比例的意义和基本性质
教学内容:
教科书第1-2页比例的意义和基本性质,练习一的第l~3题。
教学目的:
使学生理解比例的意义和基本性质。
教学重点;比例的意义和基本性质
教学难点:
应用比的基本性质判段两个数能否成比例,并正确的组成比例。
教学过程:
一、教学比例的意义
1.复习。
(1)教师:
请同学们回忆一下上学期我们学过的比的知识,谁能说说什么叫做比?
并举例说明什么是比的前项、后项和比值。
教师把学生举的例子板书出来,并注明比的各部分的名称。
(2)教师:
我们知道了比的前后项相除所得的商叫做比值,你们会求比值吗?
教师板书出下面几组比,让学生求出它们的比值。
12:
16
4.5:
2.7
10:
6
学生求出各比的比值后,再提问:
“请同学们观察一下,哪两个比的比值相等?
”(4.5:
2.7的比值和10:
6的比值相等。
)
教师说明:
因为这两个比的比值相等,所以这两个比也是相等的,我们把它们用等号连起来。
(板书:
4.5:
2.7=10:
6)像这样表示两个比相等的式子叫做什么呢?
这就是这节课我们要学习的内容。
(板书课题:
比例的意义)
2.教学比例的意义。
(l)出示例1:
指名学生读题。
教师:
这道题涉及到时间和路程两个量的关系,我们用表格把它们表示出来。
表格的第一栏表示时间,单位“时”,第二栏表示路程,单位“千米”。
这辆汽车第一次2小时行驶多少千米?
第二次5小时行驶多少千米?
(边问边填写表格。
)
时间(时)
2
5
路程(千米)
80
200
“你能根据这个表,分别写出第一、二次所行驶的路程和时间的比吗?
”教师根据学生的回答,板书:
第一次所行驶的路程和时间的比是80:
2
第二次所行驶的路程和时间的比是200:
5
然后让学生算出这两个比的比值。
指名学生回答,教师板书:
80:
2=40,200:
5=40。
让学生观察这两个比的比值。
再提问:
你们发现了什么?
”(这两个比的比值都是40。
)
“所以这两个比怎么样?
(这两个比相等。
)
教师说明:
因为这两个比相等,所以可以把它们用等号连起来。
(板书:
80:
2=200:
5)像这样(指着这个式子和复习题的式子4.5:
2.7=10:
6)表示两个比相等的式子叫做比例。
指着比例式80:
2=200:
5,提问:
“谁能说说什么叫做比例?
”引导学生观察是表示两个比相等。
然后板书:
表示两个比相等的式子叫做比例。
并让学生齐读一遍。
“从比例的意义我们可以知道,比例是由几个比组成的?
这两个比必须具备什么条件?
因此判断两个比能不能组成比例,关键是看什么?
如果不能一眼看出两个比是不是相等的,怎么办?
”
根据学生的回答,教师小结:
通过上面的学习,我们知道了比例是由两个相等的比组成的。
在判断两个比能不能组成比例时,关键是看这两个比是不是相等。
如果不能一眼看出两个比是不是相等,可以先分别把两个比化简以后再看。
例如判断10:
12和35:
42这两个比能不能组成比例,先要算出10:
12=
,35:
42=
,所以10:
12=35:
42。
(以上举例边说边板书。
)
(2)比较“比”和“比例”两个概念。
教师:
上学期我们学习了“比”,现在又知道了“比例”的意义,那么“比”和“比例”有什么区别呢?
引导学生从意义上、项数上进行对比,最后教师归纳:
比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
(3)巩固练习。
①用手势判断下面卡片上的两个比能不能组成比例。
(能,就用张开拇指和食指表示;不能就用两手的食指交叉表示。
)
6:
3和12:
6
35:
7和45:
9
20:
5和16:
8
0.8:
0.4和0.3:
0.6
学生判断后,指名说出判断的根据。
②做第2页的“做一做”。
让学生看书,不抄题,直接把能组成比例的两个比写在练习本上,教师边巡视边批改,对做得不对的,让他们说说是怎样做的,看看自己做得对不对。
③给出2、3、4、6四个数,让学生组成不同的比例(不要求举全)。
④做练习一的第3题。
对于能组成比例的四个数,把能组成的比例写出来。
组成的比例只要能成立就可以。
第4小题,给出的四个数都是分数,在写比例式时,也要让学生写成分数形式。
二、教学比例的基本性质
1.教学比例各部分的名称。
教师:
同学们能正确地判断两个比能不能组成比例了,那么比例各部分的名称是什么?
请同学们翻开教科书第10页看第6行到9行。
看看什么叫比例的项、外项、内项。
(学生看书时,教师板书:
80:
2=200:
5)
指名让学生指出板书出的比例的外项、内项。
随着学生的回答教师接着板书如下:
2.教学比例的基本性质。
教师:
我们知道了比例各部分的名称,那么比例有什么性质呢?
现在我们就来研究。
(在比例的意义后面板书:
比例的基本性质)请同学们分别计算出这个比例中两个内项的积和两个外项的积。
教师板书:
两个外项的积是80×5=400
两个内项的积是2×200=400
“你发现了什么?
”(两个外项的积等于两个内项的积。
)板书:
80×5=2×200“是不是所有的比例都成立都是这样的呢?
”让学生分组计算前面判断过的比例式。
通过计算,大家发现所有的比例式都有这个共同的规律,谁能用一句话把这个规律说出来?
”可多让一些学生说,说得不完整也没关系,让后说的同学在先说的同学的基础上说得更完整。
最后教师归纳并板书出:
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
并说明这叫做比例的基本性质。
“如果把比例写成分数形式,比例的基本性质又是怎样的呢?
”(指着80:
2=200:
5)教师边问边改写成:
“这个比例的外项是哪两个数呢?
内项呢?
”
“因为两个内项的积等于两个外项的积,所以,当比例写成分数的形式,等号两端的分子和分母分别交叉相乘的积怎么样?
”边问边画出交叉线,如:
学生回答后,教师强调:
如果把比例写成分数形式,比例的基本性质就是等号两端分子和分母分别交叉相乘,积相等。
板书:
80×5=2×200
3.巩固练习。
教师:
前面要判断两个比是不是成比例,我们是通过计算它们的比值来判断的。
学过比例的基本性质以后,也可以应用比例的基本性质来判断两个比能不能成比例。
(1)应用比例的基本性质判断3:
4和6:
8能不能组成比例。
教师:
我们可以这样想:
先假设3:
4和6:
8可以组成比例。
再算出两个外项的积(板书:
两个外项的积:
3×8=24)和两个内项的积(板书:
两个内项的积:
4×6=24)。
因为3×8=4×6(板书出来),也就是说两个外项的积等于两个内项的积,所以3:
4和6:
8可以组成比例。
(边说边板书:
3:
4=6:
8)
(2)做第3页“做一做”的第1、题。
三、小结
教师:
通过这节课,我们学到了什么知识?
什么是比例?
比例的基本性质是什么?
应用比例的基本性质可以做什么?
四、练习:
说说比和比例有什么区别
2、填空
3、先应用比的意义,再应用比的基本性质,判断下面那组中的两个比可以组成比例。
(1)6:
9和9:
12
(2)1.4:
2和7:
10(3)0.5:
0.2和5/8:
1/4
4、下面的四个数可以组成比例吗?
把组成的比例写出来。
(能写成几组就组几组)
2、3、4和6
五、作业
练习一的第3题。
2、解比例
教学内容:
教科书第3页解比例的内容,练习一的第4~9题。
教学目的:
使学生学会解比例的方法,进一步理解和掌握比例的基本性质。
教学重点:
使学生掌握解比例的方法,学会解比例。
教学难点:
引导学生根据比例的基本性质,将比例改写成两个内项的积等于两个外项积的形式,即已学过的含有未知数的等式。
教学过程:
一、导人新课
教师:
上节课我们学习了一些比例的知识,谁能说一说什么叫做比例?
比例的基本性质是什么?
应用比例的基本性质可以做什么?
这节课我们还要继续学习有关比例的知识,这节课我们要学习解比例。
(板书课题)
二、新课
教师:
什么叫做解比例呢?
我们知道比例共有四项,如果知道其中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
解比例要根据比例的基本性质来解。
1.教学例2。
出示例2:
让学生指出这个比例的外项、内项,并说明知道哪三项,求哪一项。
再回答:
“根据比例的基本性质可以把它变成什么形式?
”教师板书:
3x=8×15。
“这变成了什么?
”(方程。
)
教师说明:
这样解比例就变成解方程了,利用以前学过的解方程的方法就可以求出未知数X的值。
因为解方程要写“解:
”,所以解比例也应写“解:
”。
(在3x前加上:
解:
)
“怎样解这个方程?
”(根据乘法各部分间的关系,把x看作一个因数,因为一个因=积÷另一个因数,可以求出x。
)教师板书:
教师:
从刚才解比例的过程,可以看出,解比例可以根据比例的基本性质把比例变成方程,然后用解方程的方法来求未知数x。
2.教学例3。
出示例3:
解比例
9/X=4.5/0.8
提问:
“这个比例与例2有什么不同?
”(这个比例是分数形式。
)
“这种分数形式的比例也能根据比例的基本性质,变成方程来求解吗?
”(能,根据比例的基本性质,把等号两端的分子和分母分别交叉相乘,就得出方程。
)
学生回答后,教师说明在写方程时,含有未知数的积通常写在等号的左边,然后板书:
4.5x=9×0.8
“这个方程你们会解吗?
”
让学生在课本上填出求解过程。
解答后,让他们说一说是怎样解的。
3.总结解比例的过程。
提问:
“刚才我们学习了解比例,大家回忆一下,解比例首先要做什么?
”(根据比例的基本性质把比例变成方程。
)
“变成方程以后,再怎么做?
”(根据以前学过的解方程的方法求解。
)
“从上面的过程可以看出,在解比例的过程中哪一步是新知识?
”(根据比例的基本性质把比例变成方程。
)
4.做第3页“做一做”的第2题。
学生独立解答,订正时,让学生说说是怎么做的。
三、巩固练习
做练习一的第4~9题。
1.做第4题的第(6)题时,要提醒学生先把带分数化成假分数再做。
做完后,选一、二题让学生说说是怎样求解的。
2.第5题,可指名学生读题,题目告诉了什么,要求什么,然后同桌同学讨论一下,这道题可以用什么知识解答。
再选几名代表出答。
之后,让学生独立解答。
3.独立完成第6、7题。
四、学有余力的学生做第8*、9*题和思考题
做第8“题的第
(1)题,教师可以这样引导学生:
这道题需要逆用比例的基本性质,比例的基本性质是:
在一个比例里,两个内项的积等于两个外项的积。
现在这道题是知道两个积相等,如果我们把左边的两个数当作比例的外项,那么右边的两个数就应作为比例的内项,这样就能推出比例式了。
如果把左边的两个数当作比例的内项,那么右边的两个数就应作为比例的外项,也可以推出比例式。
然后让学生自己写出比例式。
写完后,教师板书出来。
如果把3、40作为外项,有下面这些比例式:
3:
8=15:
40
40:
15=8:
3
3:
15=8:
40
40:
8=15:
3
如果把3、40作为内项,有下面这些比例式:
15:
3=40:
8
8:
40=3:
15
15:
40=3:
8
8:
3=40:
15
可能有的学生写比例式时是按照数的排列规律来写的,有些可能没什么规律性。
学生做完后,可以通过讨论,使学生明确要按一定的顺序来写才能写全所有的比例式。
3.比例尺
教学内容:
教科书第6~8页的例4~例6,练习二的第1题。
教学目的:
使学生理解比例尺的含义,会应用比例的知识求平面图的比例尺,以及根据比例尺求图上距离或实际距离。
教学重点:
理解比例尺的意义;能根据比例尺正确求图上距离和实际距离。
教学难点:
设未知数时长度单位的使用。
教具准备:
教师准备一些比例尺不同的地图或本校、本地的平面图。
教学过程:
一、复习
二、新课
教师:
前面我们学习了比例的知识,比例的知识在实际生活中有什么用途呢?
请同学们看一看我们教室有多大,它的长和宽大约是多少米。
(长大约8米,宽大约6米。
)如果我们要绘制教室的平面图,若是按实际尺寸来绘制,需要多大的图纸?
可能吗?
如果要画中国地图呢?
于是,人们就想出了一个聪明的办法:
在绘制地图和其他平面图的时候,把实际距离按一定的比例缩小,再画在图纸上,有时也把一些尺寸比例小的物体(如机器零件等)的实际距离扩大一定的倍数,再画在图纸上。
不管是哪种情况,都需要确定图上距离和实际距离的比。
这就是比例的知识在实际生活中的一种应用。
今天我们就来学习这方面的知识。
1.教学比例尺的意义。
(1)教学例4。
出示例4:
让学生读题。
指名回答:
“这道题告诉我们什么?
”(在平面图上用10厘米的距离表示地面上10米的距离。
)
“要我们做什么?
”(求图上距离和实际距离的比。
)板书:
图上距离:
实际距离
“图上距离知道吗?
实际距离也知道吗?
各是多少?
”继续板书如下:
图上距离:
实际距离
10厘米 :
10米
“10厘米和10米的单位相同吗?
能直接化简吗?
”
教师说明:
这两个数量的单位不同,所以先要把它们化成相同单位,再化简。
“是把厘米化作米,还是把米化作厘米?
为什么?
”(因为把米化作厘米后实际距离仍是整数,计算起来比较方便,所以要把米化作厘米。
)
“10米等于多少厘米?
”学生回答后,教师把10米改写成1000厘米。
“现在单位统一了,是多少比多少,怎样化简?
”教师边说边擦掉10和1000后面的单位“厘米”,并加上“:
”,板书成如下形式:
图上距离:
实际距离
10 :
1000
请一名同学到黑板前化简这个比,别的同学在练习本上做。
集体订正后,教师写出这道题的“答:
…”。
然后说明:
因为在绘制地图和其他平面图时,经常要用到“图上距离和实际距离的比”,我们就给它起一个名字叫做“比例尺”。
(板书:
图上距离:
实际距离=比例尺)有时图上距离和实际距离的比也可似写成分数形式。
(板书:
或
图上距离
=比例尺
实际距离
图上距离是比的前项,实际距离是比的后项。
为了计算简便,通常把比例尺写成前项是1的最简单整数比。
教师出示比例尺不同的地图和本地、本校的平面图给学生看,让学生说出它们的比例尺各是多少,表示什么意思。
最后教师指出:
①比例尺与一般的尺不同,这是一个比,不应带计量单位。
②求比例尺时,前、后项的长度单位一定要化成同级单位。
如1O厘米:
1O米,要把后项的米化成厘米后再算出比例尺。
③为了计算简便,通常把比例尺的前项化简成“1”,如果写成分数形式,分子也应化简成“1”。
比如,例4中的比例尺通常写成:
1:
100=
(2)巩固练习。
让学生完成第6页的“做一做”。
教师可提醒学生注意把图上距离和实际距离的单位化成同级单位。
集体订正时,要注意检查学生求出的比例尺的前项是不是“l”。
2.教学根据比例尺求图上距离或实际距离。
教师:
知道了一幅图的比例尺,我们可以根据图上距离求出实际距离,或者根据实际距离求出图上距离。
(1)教学例5。
出示例5:
指名读题,并说出题目告诉了什么,要求什么。
(告诉了比例尺,又告诉了南京到北京的图上距离,求南京到北京的实际距离。
)
教师启发:
因为
图上距离
=比例尺
实际距离
要求实际距离可以用解比例的方法来求。
“这道题的图上距离是多少?
”板书:
15
“实际距离不知道,怎么办?
”(用x表示。
)在15的下面板书出x,并在它们中间画上分数线。
“因为图上距离和实际距离的单位要相同,所设的x应用什么单位?
”(应用厘米。
)板书:
解:
设南京到北京的实际距离为x厘米。
“比例尺是多少?
写成什么形式?
”(写成分数形式。
)最后板书成下面的形式:
15
=
1
x
6000000
指定一名学生到前面求X的值,其他学生在练习本上做。
订正后,回答:
“现在求出的实际距离是多少厘米,题目要求的实际距离是多少千米。
应该怎么办?
”板书:
90000000厘米=900千米,并写出这道题的答。
之后,再回忆一下解答过程。
(2)巩固练习。
做第7页上的“做一做”。
先让学生说出图中的比例尺是多少,表示什么意思,再用直尺量出图中河西村与汽车站间的距离,然后计算出实际距离。
集体订正时,要注意检查学生是否把实际距离化成了千米。
(3)教学例6。
出示例6:
一个长方形操场,长110米,宽90米,把它画在比例尺是
的图纸上,长和宽各应画多少厘米?
指名读题并说出题目告诉了什么,求什么。
(告诉了操场的长和宽的实际距离和比例尺,求长和宽的图上距离。
)
教师:
我们先来求长的图上距离。
长的图上距离不知道,应设为x。
(板书:
解:
设长应画x厘米。
)长的实际距离是多少?
它和图上距离的单位相同吗?
怎么办?
比例尺是多少?
然后让学生求x的值,并说出求解过程,教师板书出来。
“这道题做完了吗?
还要求宽的图上距离。
宽的图上距离不知道,应用什么未知数来表示呢?
因为前面求长的图上距离时,已经用了x,这里就不能再用它来表示宽的图上距离了,要用其它的字母来表示。
我们就用y来表示、”板书:
设宽应画y厘米。
让学生把这道题做完。
最后教师写出这道题的答。
三、练习
判断下面这段话中,哪些是比例尺,哪些不是比例尺?
为什么?
独立完成练习二第1题,并订正。
完成练习二的第2题、3题。
第3题,让学生先想想比例尺子
表示的意思。
1厘米的图上距离相当于100厘米的实际距离。
)然后再量出图中所示的宽和高,并计算出实际的宽和高各是多少。
集体订正时,要让学生说说计算出的实际的宽和高的单位是什么。
4成正比例的量
教学要求:
1、使学生理解正比例的意义,能根据正比例的意义判断是不是成正比例。
2、培养学生用发展变化的观点来分析问题的能力。
培养学生概括能力和分析判断能力。
教学重点:
使学生理解正比例的意义
教学难点:
引导学生通过观察、发现思考两种相关联的量的变化规律.
教学过程:
复习:
已知路程和时间,求速度?
已知总价和数量,求单价?
已知工作总量和工作时间,求工作效率?
2新知:
(1)教学例1
投影出示:
一列火车1小时行驶90千米,2小时行驶180千米3小时行驶270千米,4小时行驶360千米,5小时行驶450千米,6小时行驶540千米,7小时行驶630千米,8小时行驶720千米6……
出示下表,填表
一列火车行驶的时间和路程
时间
路程
填表思考:
再填表中你发现了什么?
点拨:
时间变化,路程也随着变化,我们就说时间和路程是两个相关联的量.(板书:
两种相关联的量)
根据计算,你发现了什么?
指出:
相对应的两个数的比的比值一样或固定不变,在数学上叫做一定
用式子表示他们的关系是:
路程/时间=速度(一定)(板书)
教师小结:
同学们通过填表交流,知道时间和路程是.两种相关联的量,路程随着时间的变化而变化.时间扩大,路程随着扩大;时间缩小,路程也随着缩小。
即:
路程/时间=速度(一定)
2、教学例2
花布的米数和总价表
数量
1
2
3
4
5
6
7
……
总价
8.2
16.4
24.6
32.8
41.0
49.2
57.4
……
(2)观察图表,发现什么规律?
用式子表示它们的关系:
总价/米数=单价(一定)、抽象概括正比例的意义.
比较例1、例2,思考并讨论:
这两个例题有什么共同点?
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两个量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
看书,进一步理解正比例的意义。
如果用x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系怎样用字母表示出来?
X/y=k(一定)
根据正比例的意义以及表示正比例的式子想一想:
构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件?
教学例3
出示例3:
每袋面粉的重量一定,面粉的总重量和袋数,是不是成正比例?
学生讨论解答
反馈练习:
第13页做一做,并订正.
五、课堂练习
1、基本练习 第17页第1题订正时,必须让学生说明为什么?
2、综合练习
(1)判断第17页2题说明理由
(2)举例说明正比例关系
六板书设计
成正比例的量
例1 例2
90/1=908.2/1=8.2
180/2=9016.4/2=8.2
270/3=90 24.6/3=8.2
…………
路程/时间=速度(一定)
5、成反比例的量
教学内容:
教科书第14-16页例4例6及做一做,练习三4到7题.
教学目的:
理解反比例的意义;能根据反比例的意义,正确的判断两种量是否成反比例.
教学重点:
引导学生总结出成反比例的量,是相关的两种量中相对应的两个数积一定,进而抽象概括出成反比例的关系式.
教学难点:
利用反比例的意义,正确判断两个量是否成反比例.
教学过程:
铺垫孕伏
下面两种量是不是成正比例?
为什么?
购买练习本的价钱0.80元,1本;1.60元,2本;3.20元,4本;4.80元6本.
2、成正比例的量有什么特征?
探究新知
导入新课:
这节课我们继续学习常见的数量关系中的另一种特征——成反比例的量。
教学例4
(1)出示例4,提出观查思考要求:
从中你发现了什么?
这与复习题相比有什么不同?
(2)学生讨论交流
(3)引导学生回答:
1)表中的两个量是每小时加工的数量和所须时间。
2)每小时加工的数量扩大,所须的时间反而缩小;每小时加工的数量缩小,所须的时间反而扩大。
3)每两个相对应的数的乘积都是600
教师适时点拨:
想一想:
每小时加工的数量和所须的时间是两种相关系的量吗?
为什么?
议一议:
两种量的变换有什么规律?
(随着学生回答,教师板书:
积一定)
教师提问:
这个600实际上就是什么?
(板书:
零件总数一定)
教师指着板书提问:
每小时加工数、加工时间和零件总是,怎样用式子表示它们的关系?
(教师板书:
每小时加工数×加工时间=零件总数)
3、教学例5
出示例5,根据题意学生口述填表。
观察上表你发现了什么?
引导学生回答下列问题:
1)表中有哪两种量?
(板书:
每本张数装订本数)是相关量吗?
2)装订的本数是怎样随着每本的张数变化的?
3)表中的两种量有什么变化规律?
(3)订正是板书:
在原板书“每小时加工数变化,加工时间下”板书“装订本数”。
(4)教师提问:
这个积600实际是什么?
(板书:
纸的总张数一定)4、比较例4例5,概括反比例的意义。
请你比较例4例5,它们有什么相同点?
(学生相互讨论)
学生回答
教师引导学生明确:
在例4中,所需的加工时间随着每小时加工数量的变化而变化,并且每小时加工的数量和加工的时间的积,也就是零件的总数是一定的。
我们就说每小时加工的数量和所需的加工时间是成反比例的。
议议:
在例5中,有那两种相关联的量?
它们是不是相关的量?
为什么?
1,教师:
如果用字母x和y表示两种相关的量,用k表示它们的积一定,反比例可以用一个什么样的式子表示?
(板书:
x:
y=k)
教学例6
出示例6
学生交流
学生汇报,教师点拨
1)每天播种的公顷数和要用的天数是不是相关的量?
2)每天播种的公顷数和要用的天数有什么关系?
它们的积是什么?
这个积一定吗?
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