九年级数学圆中常见辅助线作法.docx
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九年级数学圆中常见辅助线作法
九年级数学圆中常见辅助线作法
例题4、如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一个动点,
那么OP的长的取值范围是_________.
1. 遇到弦时(解决有关弦的问题时)
1)、常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。
作用:
①利用垂径定理;
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
2)、常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用:
①可得等腰三角形;
②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2. 遇到有直径时
常常添加(画)直径所对的圆周角。
作用:
利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形
3. 遇到90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用:
利用圆周角的性质,可得到直径。
4. 遇到有切线时
(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点
作用:
利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形。
(2)常常添加连结圆上一点和切点
作用:
可构成弦切角,从而利用弦切角定理。
5. 遇到证明某一直线是圆的切线时
(1)若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径。
(2)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径),再证其与直线垂直。
6. 遇到两相交切线时(切线长)
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用:
据切线长及其它性质,可得到:
①角、线段的等量关系;
②垂直关系;③全等、相似三角形。
7. 遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。
作用:
利用内心的性质,可得:
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;
② 内心到三角形三条边的距离相等
8. 遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点
作用:
外心到三角形各顶点的距离相等。
例题讲解
例题1、如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A=45°,BC=2,求⊙O的面积。
例题2、如图,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在弧AMB上,
则∠C的度数是________.
例题3、如图,AB是⊙O的直径,AB=4,弦BC=2,∠B=
例题4、如图,AB、AC是⊙O的的两条弦,∠BAC=90°,
AB=6,AC=8,⊙O的半径是
例题5、如图所示,已知AB是⊙O的直径,AC⊥L于C,BD⊥L于D,且AC+BD=AB。
求证:
直线L与⊙O相切。
例题7、如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧AB上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为______________
例题8、如图,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=
例题9、如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB于D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离.
课后练习
1、已知:
P是⊙O外一点,PB,PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证:
PO平分∠BPD.
2、如图,ΔABC中,∠C=90°,圆O分别与AC、BC相切于M、N,点O在AB上,如果AO=15㎝,BO=10㎝,求圆O的半径.
3、已知:
□ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切⊙O于E点.求证:
AD也和⊙O相切.
4、如图,学校A附近有一公路MN,一拖拉机从P点出发向PN方向行驶,已知∠NPA=30°,AP=160米,假使拖拉机行使时,A周围100米以内受到噪音影响,问:
当拖拉机向PN方向行驶时,学校是否会受到噪音影响?
请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时,则受噪音影响的时间是多少秒?
5、如图,A是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB是圆O的切线,B是切点,弦BC∥OA,连结AC,求阴影部分的面积.
6、如图,已知AB是⊙
的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F.求证:
DE=CF.
7、如图,O2是⊙O1上的一点,以O2为圆心,O1O2为半径作一个圆交⊙O1于C,D.直线O1O2分别交⊙O1于延长线和⊙O1,⊙O2于点A与点B.连结AC,BC.⑴求证:
AC=BC;⑵设⊙O1的半径为r,求AC的长.⑶连AD,BD,求证:
四边形ADBC是菱形;⑷当r=2时,求菱形ADBC的面积.
8、已知:
如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连AC交⊙O于D,过D作⊙O的切线EF,交BC于E点.求证:
OE//AC.
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