学而思元调复习讲义四旋转.docx
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学而思元调复习讲义四旋转
学而思2018年元调复习讲义(四)-旋转
模块一 旋转作图与计算
元调真题回顾
(2017年武汉元调第23题)
如图,在平面直角坐标系中,点A和点B的坐标分别为A(4,0),B(0,2),将△ABO绕点P(2,2)顺时针旋转得到△OCD,点A,B和O的对应点分别为点O,C和D.
(1)画出△OCD,并写出点C和点D的坐标;
(2)连接AC,在直线AC的右侧取点M,使∠AMC=45°.
①若点M在x轴上,则点M的坐标为____;
②若△ACM为直角三角形,求点M的坐标;
(3)若点N满足∠ANC>45°,请确定点N的位置(不要求说明理由).
例1 (2016年武汉元调第20题)
如图,正方形ABCD和直角△ABE,∠AEB=90°,将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF.
(1)在图中画出点O和△CDF,并简要说明作图过程;
(2)若AE=12,AB=13,求EF的长.
练习 (2015武汉元调第20题)
如图,E是正方形ABCD的CD边上任意一点.
(1)以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形;
(2)在BC边上画一点F,使△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半,请简要说明你取该点的理由.
例2 如图,平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4).请回答下面的问题.
①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1,并写出A1的坐标.
②在①的条件下,求旋转过程中线段AC扫过的面积.
练习 如图,△ABO是正三角形,CD∥AB,把△ABO绕△OCD的内心P旋转180°得到△EFG.
(1)在图中画出点P和△EFG,保留画图痕迹,简要说明理由;
(2)若AO=3,CD=2,求A点运动到E点路径的长;
例3 (2016年青山区九上月考)
如图,P是正方形ABCD内的一点.
(1)若PA∶PB∶PC=1∶2∶3,求∠APB的度数;
(2)若∠PAD=∠PDA=15°,连接PB、PC,请问:
△PBC是等边三角形吗,为什么?
(3)若正方形边长为2,则P到A,B,C三点的距离之和的最小值是____.(直接写结果)
练习
已知△ABC,△BEF都是等腰直角三角形,∠ABC=∠BEF=90°,连AF、CF,点M为AF的中点,连EM,将△BEF绕点B旋转。
(1)如图1,猜想CF与EM的数量关系;
(2)利用你所学的知识,证明你
(1)中得到的结论;
(3)如图2,过B点作BN⊥EM,交ME的延长线于N点,若BN=4,EN=2,BC=10,请求出四边形CBEF的面积
例5(2016江夏区元调模拟)
如图,正方形ABCD中,点E在边CD上,点O在对角线AC上,OF⊥OE交BC于F
(1)求证:
OE=OF
(2)过点O作OG⊥AC交AB的延长线于G,连接FG,取FG的中点M,连接OM,猜想OM与AE的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,延长MO交AE于N,若AB=18,DE=12,AO=13,则线段MN的长为__________________________(直接写出结果)
练习(2016年华一寄宿九上月考)
正方形ABCD的边长为4,M为BC的中点,以MC为边在正方形ABCD内部作正方形CMNE(如图1),将正方形CMNE绕C点顺时针旋转α(0°≤α≤360°),连接BM、DE
(1)如图2,试判断BM、DE的关系,并证明;
(2)连接BE,在正方形CMNE绕点C点顺时针旋转过程中,若M点在直线BE上时,求BM的长;
(3)如图3,设直线BM与直线DE的交点为P,当正方形CMNE从图1的位置开始,顺时针旋转180°后,直接写出P点运动路径长为________________。
例6(2017年二中元调模拟)
如图1,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于H,点D在AH上,且DH=CH,连接BD.
(1)求证:
BD=AC;
(2)如图2,将△HDB逆时针旋转30°,得△HFE,CF交AE于G,连接EF、GH,求证:
EF=2GH;
(3)如图3,若将△HDB顺时针旋转至△HFE,使点F落在AC上,若BC=4,=3,请直接写出AE的长度,AE=______________
例6(2017年二中元调模拟)如图1,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于H,点D在AH上,且DH=CH,连接BD,
(1)求证:
BD=AC;
(2)如图2,将△HDB逆时针旋转30°,得△HFE,CF交AE于G,连接EF、GH,求证:
EF=2GH;
(3)如图3,若将△HDB顺时针旋转至△HFE,使点F落在AC上,若BC=4,=3,直接写出AE的长度,AE=.
【练习】如图,△DEF和△DAC都是等腰直角三角形,∠EDF=∠ADC=90°,点M为射线CE、AF的交点.
(1)求证:
CM⊥AF;
(2)若AD=4,DE=2,把△DEF绕点D旋转,①当∠EDC=90°时,求AM的长;②直接写出旋转过程中线段AM长度的最大值和最小值.
例7以C为直角顶点的两个等腰直角△CAB和△CDG,E为AB的中点,F为DG的中点
(1)如图1,点A、B分别在边CD、CG上,则EF与AD的数量关系是;
(2)如图2,点A、B不在边CD、CG上,
(1)中EF与AD的关系还成立吗?
请证明你的结论;
(3)如图3,若A、B、G在同一直线上,A、C、B、F在同一圆上,求△CDG与△CAB面积之比.
【练习】如图1,在△ABC与△DEF中,∠ACB=∠EDF=90°,AC=BC=4,DE=DF=2,将△ABC,△DEF,按如图位置放置,点C,D重合,点E在AC上,点F在BC延长线上.
(1)将△DEF沿直线BC向右平移,设移动距离为x(0<x≤6)△ABC与△DEF重叠图形的面积为S,若S=,请求出x取值.
(2)如图2,将△DEF绕点C逆时针旋转°(0°<<90°),BE,AF,交于点O,
①当=60°时,连接AE,BF,求四边形AEFB的面积;
②请你直接写出△AOB和△EOF的面积和的最大值是.
模块一旋转作图与计算
元调真题回顾
(2017年武汉元调T23)如图,在平面直角坐标系中,点A和点B的坐标分别为A(4,0)、B(0,2),将△ABO绕点P(2,2)顺时针旋转得到△OCD,点A、B和O的对应点分别为点O、C和D.
(1)画出△OCD,并写出点C和点D的坐标;
(2)连接AC,在直线AC的右侧取点M,使∠AMC=45°,
①若点M在x轴上,则点M的坐标为 ;
②若△ACM为直角三角形,求点M的坐标;
(3)若点N满足∠ANC>45°,请确定点N的位置(不要求说明理由).
(2016年元调T20)
如图,正方形ABCD和直角△ABE,∠AEB=90°,将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF.
(1)在图中画出点O和△CDF,并简要说明作图过程;
(2)若AE=12,AB=13,求EF的长.
(2015年元调T20)如图,E是正方形ABCD的CD边上任意一点.
(1)以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形;
(2)在BC边上画一点F,使△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半,请简要说明你取该点的理由.
例2:
如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答问题.
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)在
(1)的条件下,求旋转过程中线段AC扫过的面积.
练习:
如图,△ABO是正三角形,CD∥AB,把△ABO绕△OCD的内心P旋转180°得到△EFG.
(1)在图中画出点P和△EFG,保留画图痕迹,简要说明理由;
(2)若AO=3,CD=2,求A点运动到E点路径的长.
例3:
(2016年青山区九上月考)如图,P是正方形ABCD内一点.
(1)若PA:
PB:
PC=1:
2:
3,求∠APB的度数;
(2)若∠PAD=∠PDA=15°,连接PB、PC,请问:
△PBC是等边三角形吗,为什么?
(3)若正方形ABCD边长为2,则P到A、B、C三点的距离之和的最小值是______(直接写出结果).
(2016年硚口区元调模拟)已知正方形ABCD和正方形CGEF,且D点在CF边上,M为AE中点,连接MD、MF .
(1)如图1,请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是 ________;
(2)如图2,把正方形CGEF绕点C顺时针旋转,则
(1)中的结论是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请给出你的结论并证明;
(3)若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转30° 时,CF边恰好平分线段AE,请直接写出 的值.
练习:
已知△ABC ,△BEF 都是等腰直角三角形,∠ABC=∠BEF=90° ,连AF、CF,点M为AF的中点,连EM,将△BEF 绕点B旋转.
(1)如图1,猜想CF与EM的数量关系 ;
(2)利用你所学的知识,证明你
(1)中得到的结论;
(3)如图2,过B点作BN⊥EM ,交ME的延长线于N点,若BN=4 ,EN=2 ,BC=10 ,请求出四边形CBEF的面积.
例5(2016年江夏区元调模拟)如图,正方形ABCD中,点E在边CD上,点O在对角线AC上,OF⊥OE交BC于F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)过点O作OG⊥AC交AB的延长线于G,连接FG,取FG的中点M,连接OM,猜想OM与AE的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,延长MO交AE于N,若AB=18,DE=12,AO=13,则线段MN的长为_____(直接写出结果).
练习(2016年华一寄宿九上月考)
正方形ABCD的边长为 ,M为BC的中点,以MC为边在正方形ABCD内部作正方形CMNE (如图1),将正方形CMNE绕C点顺时针旋转(0°360°) ,连接BM、DE.
(1)如图2,试判断BM、DE的关系,并证明;
(2)连接BE,在正方形CMNE绕C点顺时针旋转过程中,若M点在直线BE上时,求BM的长;
(3)如图3,设直线BM与直线DE的交点为P,当正方形CMNE从图1的位置开始,顺时针旋转180° 后,直接写出P点运动路径长为 ___________.
例6(2017年二中元调模拟)如图1,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且
DH=CH,连接BD.
(1)求证:
BD=AC;
(2)如图2,将△BHD绕点H逆时针旋转30°,得到△EHF(点B,D分别与点E,F对应),CF交AE于G点,连接EF、GH.求证:
EF=2GH;
(3)如图3,若将△HDB顺时针旋转至△HFE,使点F落在AC上,若BC=4,=3,请直接写出
AE的长度,AE=_______.
练习:
如图,△DEF和△DAC是有公共顶点的等腰直角三角形,∠EDF=∠ADC=90°,点M为射线AF、CE的交点.
(1)求证:
CM⊥AF;
(2)若AD=4,DE=2,把△DEF绕点D旋转.
①当∠EDC=90°时,求AM的长;
②直接写出旋转过程中线段AM长的最小值与最大值.
例7:
以C为直角顶点内的两个等腰直角△CAB和△CDG,E为AB的中点,F为DG的中点.
(1)如图1,点A、B分别在边CD、CG上,则FF与AD的数量关系是______;
(2)如图2,点A、B不在边CD、CG上,
(1)中FF与AD的数量关系还成立吗?
请证
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