传感器计算题详解.docx
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传感器计算题详解.docx
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传感器计算题详解
《传感器与传感器技术》计算题
解题指导(供参考)
第1章传感器的一般特性
1-5某传感器给定精度为2%F-S,满度值为50mV,零位值为lOmV,求可能出现的最大误差6(以mV计)。
当传感器使用在满量程的1/2和1/8时,计算可能产生的测量百分误差。
由你的计算结果能得出什么结论?
解:
满量程(F・S)为50〜10=40(mV)
可能出现的最大误差为:
Am=40x2%=0.8(mV)
当使用在1/2和1/8满量程时,其测量相对误差分别为:
1-6有两个传感器测量系统,其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述,试求这两个系统的时间常数t和静态灵敏度K。
(1)3O^+3y=1.5xlO_5T
式中,y为输出电压,V:
T为输入温度,°C。
dt丿
式中,V——输出电压,gV;x——输入压力,Pao
解:
根据题给传感器微分方程,得
(1)t=30/3=10(s),
K=1・5x10—5/3=0・5x10—5(V/°C);
(2)T=l.4/4.2=1/3(s),
K=9・6/4.2=2・29(pV/Fa)。
1-7设用一个时间常数=0.1s的一阶传感器检测系统测量输入为X0=sm4r+0.2sm40r的信号,试求其输出)心)的表达式。
设静态灵敏度K=l。
解根据叠加性,输出y⑴为xi(0=sin4f和x2(t)=0.2siii40r单独作用时响应儿(/)和)映)的叠加,即y(f)=yi(0+j2(0<>
由频率响应特性:
K
))(/)=/・sin[4f+arctan^^r)]
=/1、•sin[4/-arctan(4x0.1)
71+(4x0.1)2
=0.93sin(4/—21.8°)
)»(/)=—f!
x0.2sni[40r一arctan(40x0.1)]
•〜J1+(40x0・1)2
=0.049sm(40r-75.96°)
所以
A(/)=)'i(f)+y2(f)=0.93sm(4f21.8)0.049sin(40Z75.96)
1-8试分析人晋+By(f)=Cx(f)传感器系统的频率响应特性。
解传感器系统的时间常数=A/B,灵敏度K=C/B°所以,其频率响应为
A(co)=,
J1+(曲/3),
C/B
相频特性为
(p{co)=-arctan(ai4/B)
1-9已知一热电偶的时间常数仁10s,如果用它来测量一台炉子的温度,炉内温度在540°C至500°C之间接近正弦曲线波动,周期为80s,静态灵敏度K=l。
试求该热电偶输出的最大值和最小值。
以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
解:
依题意,炉内温度变化规律可表示为
x(t)=520+20sin(cot)°C
由周期T=80s,则温度变化频率f=l/T,其相应的圆频率co=2沪2知80=兀/40;
温度传感器(热电偶)对炉内温度的响应)0)为
y(/)=520十Bsin(曲十°)°C
热电偶为一阶传感器,其响应的幅频特性为
=0.786
因此,热电偶输出信号波动幅值为
B=20x4(3)=20x0.786=15.7°C
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y(0|max=520+B=520+15.7=535.7°Cy(/)|min=520-B=520-15・7=504・3°C
输出信号的相位差0为
詆co)=-arctan(cot)=-arctan(27t/80x10)=-38.2°
相应的时间滞后为
80
Af=——X3&2=8・4(S)
360
1-10一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程來描述,即写+3.0x10’卑+2.25x10%=11.0x10"。
xdrdt
式中,y为输出电荷量,pC;x为输入加速度,ni/s2o
试求其固有振荡频率s和阻尼比G
解:
由题给微分方程可得
(Dn=7(2.25xlOlo)/l=1.5xlO5(rad/s),3.0xl03
e=—f==o.oi
'2xV2.25xlOloxl
1-11
某压力传感器的校准数据如表1・5所示,试分别用端点连线法和最小二乘法
求非线性误差,并计算迟滞和重复性误差;写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。
(最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录)
表1・5校准数据表
压力
(MPa)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
-2.73
-2.71
-2.71
-2.68
-2.68
-2.69
0.02
0.56
0.66
0.61
0.68
0.64
0.69
0.04
3.96
4.06
3.99
4.09
4.03
4.11
0.06
7.40
7.49
7.43
7.53
7.45
7.52
0.08
10.88
10.95
10.89
10.93
10.94
10.99
0.10
14.42
14.42
14.47
14.47
14.46
14.46
解校验数据处理(求校验平均值):
压力(MPa)(设为x)
输出值(mV)
笫一次循环
第二次循环
第三次循环
校验平均值
(设为y)
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
-2.73
-2.71
-2.71
-2.68
268
-2.69
-2.70
0.02
0.56
0.66
0.61
0.68
0.64
0.69
0.64
0.04
3.96
4.06
3.99
4.09
4.03
4.11
4.04
0.06
7.40
7.49
7.43
7.53
7.45
7.52
7.47
0.08
10.88
10.95
10.89
10.93
10.94
10.99
10.93
0.10
14.42
14.42
14.47
14.47
14.46
14.46
14.45
(1)端点连线法设直线方程为
y=ao+kx,
取端点(X1,yi)=(0,-2.70)和(龙,y6)=(0.10,14.45)o则的由尸0时的yo值确定,即
ao=yo—上v=yi=・2.70(mV)
R由直线的斜率确定,即
儿_)1=14.45_(-2.70)“71.5(mV/MPa)兀_X]0.10—0
拟合直线方程为
v=_2.70+171.5x
♦求非线性误差:
压力(MPa)
校验平均值(mV)
直线拟合值(mV)
非线性误差
(mV)
最大非线性误差(mV)
0
-2.70
-2.70
0
0.02
0.64
0.73
-009
0.04
4.04
4.16
-0.12
0.06
7.47
7.59
-0.12
-v.iZ
0.08
10.93
11.02
-0.09
0.10
14.45
14.45
0
所以,压力传感器的非线性误差为
0.12
14.45-(-2.70)
x100%=±0.7%
♦求重复性误差:
压力
(MPa)
输出值(mV)
正行程
反行程
1
2
3
不重复误差
1
2
3
不重复误差
0
-2.73
-2.71
-2.68
0.05
-2.71
-2.68
-2.69
0.03
0.02
0.56
0.61
0.64
0.08
0.66
0.68
0.69
0.03
0.04
3.96
3.99
4.03
0.07
4.06
4.09
4.11
0.05
0.06
7.40
7.43
7.45
0.05
7.49
7.53
7.52
0.04
0.08
10.88
10.89
10.94
0.06
10.95
10.93
10.99
0.04
0.10
14.42
14.47
14.46
0.05
14.42
14.47
14.46
0.05
最大不重复误差为0.08mV,则重复性误差为
心=±x100%=±0.47%
尺14.45-(-2.70)
♦求迟滞误差:
压力
(MPa)
输出值(mV)
笫一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
0
-2.73
-2.71
0.02
-2.71
-2.68
0.03
-2.68
-2.69
0.01
0.02
0.56
0.66
0.10
0.61
0.68
0.07
0.64
0.69
0.05
0.04
3.96
4.06
0.10
3.99
4.09
0.10
4.03
4.11
0.08
0.06
7.40
7.49
0.09
7.43
7.53
0.10
7.45
7.52
0.07
0.08
10.88
10.95
0.07
10.89
10.93
0.04
10.94
10.99
0.05
0.10
14.42
14.42
0
14.47
14.47
0.0
14.46
14.46
0.0
最大迟滞为O.lOmV,所以迟滞误差为
"土010
(2)最小二乘法
设直线方程为
y=ao+kx
14.45-(-2.70)X100/)-±0'58%
数据处理如下表所示。
序号
1
2
3
4
5
6
Z
X
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.3
y
-2.70
0.64
4.04
7.47
10.93
14.45
34.83
X2
0
0.0004
0.0016
0.0036
0.0064
0.01
0.022
AV
0
0.0128
0.1616
0.4482
0.8744
1.445
2.942
根据以上处理数据,可得直线方程系数分别为:
一Y卩=0022x34.83—0.3x2.942
对-6x0.022-0.32
0.76626-0.8826
0.042
=-2.77(mV)
=171.5(niV/MPa)
吃厂-&艺》_6x2.942-0.3x34.83
所以,最小二乘法线性回归方程为
)=_2.77十171.5X
求非线性误差:
压力(MPa)
校验平均值(mV)
直线拟合值(mV)
非线性误差
(mV)
最大非线性误差(mV)
0
-2.70
-2.77
0.07
0.02
0.64
0.66
-0.02
0.04
4.04
4.09
-0.05
.nA7
0.06
7.47
7.52
-0.05
-u.u/
0.08
10.93
10.95
-0.02
0.10
14.45
14.38
0.07
所以,压力传感器的非线性误差为
&=±X100%=±0.41%
•14.38-(-2.77)
可见,最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小,所以最小二乘法拟合更合理。
重复性误差BR和迟滞误差6H是一致的。
1・12用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时,如幅值误差限制在
5%以内,则其时间常数应取多少?
若用该系统测试50Hz的正弦信号,问此时的幅值误差和相位差为多?
解:
根据题意
y=,1-1>-5%(取等号计算)
J1+(妙)2=——-——=—=1.0526
v71-5%0.95
解出
cot=0.3287
所以
n32X7
T-0.3287/0—■-0.523xl0_3G)-0.523nis
2^x1007
当用该系统测试50Hz的正弦信号时,其幅值误差为
Y=、-1=円_1=_1・32%
J1+(砂)2Ji+(2/rx50x0.523x10节
相位差为
cp=-aictan(cor)=-aictan(27ix50x0.523xio_3)=-9.3°
1-13-只二阶力传感器系统,己知其固有频率/o=8OOHz,阻尼比匚=0.14,现用它作工作频率戶400Hz的正弦变化的外力测试时,其幅值比A(co)和相位角cp(3)各为多少;若该传感器的阻尼比匚=0.7时,其A(co)和
解:
皀=丝=厶空=0.5
©2矶九800
所以,当C=0.14时
A{co)=
=1.31
1
7(1-0.52)2+4x0.142x0.52
=Pctan2x°Mx°・5一0.1845(说)=-10.&。
1-0.5-
当g=0・7时
4@)=二=0.975
V(1-0.52)2+4x0.72x0.52
跑)=
-arctan
2x0.7x0.5
1-0.52
=-0.75(raJ)=-43°
1-14用一只时间常数t=0.318s的一阶传感器去测量周期分别为Is、2s和3s的正弦信号,问幅值相对误差为多少?
解:
由一阶传感器的动态误差公式
J1+伽)-
t=0.318s
(1)7=1j=>/=1Hzn少=2^(raJ)n人=/】-1=-55.2%
Jl+(2/rx0.318)2
(2)T=2s=>f=0.5Hz=>co=7r(rad)=>/2=—29.3%
12
(3)T=3snf=co=—K^rad)=^>/3=-16.8%
1-15己知某二阶传感器系统的固有频率/o=lOkHz,阻尼比匚=0.1,若要求传感器的输出幅值误差小于3%,试确定该传感器的工作频率范围。
解:
由炉10kH乙根据二阶传感器误差公式,有
-1<3%
T<1.032=1.069
[1-(cd/coh)2]+4£2(cd/cd„)2
将匚=0.1代入,整理得
1.927
0.0335
/
co
3
⑷3$-1.96(创©)2+0.0645=0
_fl.388(舍去)
0.183
皀=M=Z=o.183
©2尬Az\
=>/=0.183无=0.183x10=1・83(RH0
1-16设有两只力传感器均可作为二阶系统來处理,其固有振荡频率分别为
800Hz和1.2kHz,阻尼比均为0.4。
今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力,应
选用哪一只?
并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。
解:
由题意知
则其动态误差点=0.4)
CO
{400/800=0.5
[400/1200=1/3
J[l-S/®)汗+4弘/©)2
相位差
1
1-0.52
+4x0.42x0.52
=17.6%
-1
“=_1=7.76%
■J[l-(1/3)2『+4x042x(1/3)2
2x0.4x0.5
1—0.52
=-0.49(md)=-27.9°
^2=-tan'1缪=-0.29(iad)=-16.6°
电阻应变式传感器
2-5一应变片的电阻Ro=12OQ,K=2.05,用作应变为800|inVm的传感元件。
(1)求
HR与
(2)若电源电压U=3V,求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压"。
。
解:
由
AR/R
K=
竺二K*2.05x^J1.64xl(r
R10伽
则
△R=1.64xlO」xR=l.64x10」xl20G=0.197Q其输出电压为
^/o=£l.^=|x1.64x10-3=1.23xl0_3(V)=1.23(mV)
2-6一试件的轴向应变乐=0.0015,表示多大的微应变(v)?
该试件的轴向相对伸长率为百分之儿?
解:
sx=0.0015=1500x10-6=1500(^8)
由于
8x=△/〃
所以
A///=£x=0.0015=0.15%
2-7假设惠斯通直流电桥的桥臂1是一个120的金属电阻应变片(K=2.00,检测
用),桥臂1的相邻桥臂3是用于补偿的同型号批次的应变片,桥臂2和桥臂4是120
的固定电阻。
流过应变片的最大电流为30niAo
(1)画出该电桥电路,并计算最大直流供桥电压。
(2)若检测应变片粘贴在钢梁(弹性模量E=2.1lO^N/m2)上,而电桥由5V
电源供电,试问当外加负荷=70kg/cm2时,电桥的输出电压是多少?
(3)假定校准电阻与桥臂1上未加负荷的应变片并联,试计算为了产生与钢梁加载相同输出电压所需的校准电阻值。
解
(1)电桥电路如图所示;最大供桥电压
〃迪=301皿(120十120)=7200mV=7.2V
8
(2)=70kg/cm2=686N/cm2=6.86106N/m2,贝ij
=ZE=6.86106/2.110T27105=32.7(
电桥输出为
/丄Kw=?
x2x3.27xIO"=8.18x10*)44
=8.18xlO"2wV
(3)为了使输出电压相同,只要应变对应的电阻变化相同即可(这里取负应变对应电阻减少输出相同负电压)。
解题2-7图
应变对应的电阻变化为
AD
-—=焦=2x3.27x10-5=6.54x10-5
R=6.54105/?
i=6.54105120=7.85103
并联电阻心
/?
P///?
i=1207.85103=119.99215()
/?
p=1834.275k1834k
2-8如果将120Q的应变片贴在柱形弹性试件上,该试件的截面积S=0.5xl0-4m2,材料弹性模量£=2x1017/1*。
若由5x104N的拉力引起应变片电阻变化为1.2Q,求该应变片的灵敏系数K。
解:
应变片电阻的相对变化为
wo=001
柱形弹性试件的应变为
=0.005;
CT_F_5xl04
E_0.5x10-4x2x10h
应变片的灵敏系数为
^_AR/R_0.01_9
———Z
£0.005
2-10以阻值/?
=1200,灵敏系数K=2.0的电阻应变片与阻值120G的固定电阻组成电桥,供桥电压为3V,并假定负载电阻为无穷大,当应变片的应变为2圧和2000圧时,分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压,并比较两种情况下的灵敏度。
解:
依题意
单臂:
差动:
U3
_严〒2.0心
3xlO"(V)ne=2M
3xlO_3(V)=>^=2OOO|.i£
3xW6(V)=>^=2ps
3xIO"3(V)=>g=2000|»ls
灵敏度:
KUJ4(单臂)
KUJ2(差动)可见,差动工作时,传感器及其测量的灵敏度加借。
2-11在材料为钢的实心圆柱试件上,沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为120Q的金属应变片Ri和R?
,把这两应变片接人差动电桥(参看习题图2-ll)o若钢的泊松比|1=0.285,应变片的灵敏系数K=2,电桥的电源电压U=2V,当试件受轴向拉伸时,测得应变片Ri的电阻变化值△R=0.48Q,试求电桥的输出电压"。
;若柱体直径d=10mm,材料的弹性模量E=2xlO】iN/mS求其所受拉力大小。
解:
由厶R1/R1=K81,贝IJ
叱=0.48/120=0.0021K2
£2=-psi=-0.285x0.002=-0.00057
所以电桥输出电压为
/=牛K(勺_即
2
=-x2x(0.002+0.00057)
=0.00257(V)=2.57mV当柱体直径d=lOnun时,由£:
.=—=——,得
ESE
H^x(10x10"3Y
F=^ES=0.002x2xl0ux——J-
14
=3.14x104(N)
2-12若用一/?
=350的应变片(K=2・l)粘贴在铝支柱(支柱的外径D=50mm,
内径d=47.5mm,弹性模量E=7.3lO^N/m2)上。
为了获得较大的输出信号,应变片
应如何粘贴?
并计算当支柱承受1000kg负荷时应变片阻值的相应变化。
解应变片应沿支柱的轴向粘贴。
应变片阻值的相应变化为
R=KR=KR/E=KR(F/S)IE
由于
S=(D1/)/4=(50247.52)/4=191(nun2)=1.91104m2
F=1000kg=9800N
所以
R=2A350[9800/(1.91104)]/7.310"=0.52()
2-13一台釆用等强度梁的电子称,在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片,做成称重传感器,如习题图2-12所示。
已知/=10mm,bo=llmm,〃=3mm,E^.lxlO-N/mnF,K=2,接入直流四臂差动电桥,供桥电压6V,求其电压灵敏度(Ku=Uo/F)。
当称重0.5kg时,电桥的输出电压&为多大?
习题图2-12悬骨粱式力传感器
解:
等强度梁受力尸时的应变为
6FI
当上下各贴两片应变片,并接入四臂差动电桥中时,其输出电压:
Uo=^KAs=KUl-^—
°41h\E
则其电压灵敏度为
K旦_k㈣6x100x6
"Fh2bQE32xllx2.1xl04
=3.463x10-3(V/N)=3.463(mV/N)
当称重F=0.5kg=0.5x9.8N=4.9N时,输出电压为
Uo=KuF=3.463x4.9=16.97(mV)
2-14现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片,欲测钢构件频率为1OkHz的
动态应力,若要求应变波幅测量的相对误差小于0.5%,试问应选用哪一种。
为什么?
解:
入=啥5000./(lOxlO3)=0.5(m)
/o=10mm时
S=-sm^--l=矶九
_299_sinfJ2_xl8Oa|-1=-0.066%7TX10<500J
/o=20mm时
500・(20
sin
/rx20(500
x!
80
-l=-0.26%
由此可见,应选用基长/o=lOnuii的应变片.
2-15有四个性能完全相同的应变片(K=2・0),将其贴在习题图2・14所示的压力传感
器圆板形感压膜片上。
己知膜片的半径/?
=20mm,厚度/7=O.3nmi,材料的泊松比g=0.285,弹性模量E=2.0xl0HN/m2。
现将四个应变片组成全桥测量电路,供桥电压U=6V。
求:
(1
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