线性方程组的数值解法与非线性方程求解.docx
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线性方程组的数值解法与非线性方程求解
淮海工学院
实验报告书
课程名称:
数学实验
实验名称:
线性方程组的数值解法与非线性方程求解
班级数学091
姓名:
耿萍学号:
090911107
日期:
2012.4.27地点数学实验室
指导教师:
曹卫平成绩:
数理科学系
1.实验目的:
(1)掌握线性方程组的常用数值解法,包括高斯消去法、LU分解法以及校正法。
(2)体验数值计算的时间复杂度和计算规模的关系。
(3)加深对数值计算误差的理解。
(4)学习使用迭代法等算法,求解非线性方程。
(5)学习如何使用MATLAB解非线性方程组和方程组。
2.实验内容:
、
(1)输电网络:
一种大型输电网络可简化为图所示电路,其中R1,R2,…,Rn表示负载电阻,r1,r2,…,rn表示线路内阻,I1,I2,…,In表示负载上的电流,设电源电压为V。
1)列出求各负载电流I1,I2,…,In的方程;
2)设R1=R2=…=Rn=R,r1=r2=…=rn=r,在r=1,R=6,V=18,n=10的情况求I1,I2,…,In及总电流I0。
(2)种群的的繁殖与稳定收获:
种群的数量因素因繁殖而增加,因自然死亡而减少,对于人工饲养的种群(比如家畜)而言,为了保证稳定的收获,各个年龄的种群数量应维持不变。
种群因雌性个体的繁殖而改变,为方便起见一下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作bk(每个雌性个体一年繁殖的数量),自然存活率记作sk(=1-dk,dk为一年的死亡率),收获量记作hk,则来年年龄k的种群数量xk应为x1=cigmabkxk,xk+1=skxk-hk(k=1,2,3,…,n-1)。
要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使xk=xk(k=1,2,…,n).
1)若bk,sk已知,给定收获量hk,建立求各个年龄的稳定种群数量xk的模型(用矩阵、向量表示)
2)设n=5,b1=b2=b5=0,b3=5,b4=3,s1=s4=0.4,s2=s3=0.6,如要求h1~h5为500,400,200,100,100,求x1~x5.
3)要使h1~h5均为500,如何达到?
(3)1)小张夫妇以按揭的方式贷款买了1套价值为20万的房子,首付了5万元。
每月还款1000元,15年还清。
问贷款利率是多少?
2)某人欲贷款50万元购房,他咨询了两家银行,第一家银行开出的条件是每月还4500元,15年还清;第二家银行开出的条件是每年45000元,20年还清。
从利率方面看,哪家银行较优惠(简单地假设年利率=月利率*12)
(4)用迭代公式yk+1=byk(1-yk)计算序列yk(k=0,1,2,…),其中b取1.3,2.8,3.2,3.5,3.55,3.7,任意取y0(0 3.实验步骤: (1)1)记r1…rn上的电流为i…in。 设电源负极为电势为0,电阻R1上对应节点电压为V1,对于任意节点,根据KCL定律列出方程: 而 ,可得: k=2,3,……,n-1; k=1时, , 为与上式形式一致,化为 k=m( )时, k=n时, 设以上方程组的矩阵形式为: 则 k=n时, 设以上方程组的矩阵形式为: 则 2)代入参数: , ,V=18,n=10, 输入程序: >>n=10;%由题目要求设定 A11=sparse(1: n-1,1: n-1,-1,n,n);%定义A的对角元素,除(n,n) A12=sparse(n,n,-0.5,n,n);%定义(n,n) A1=A11+A12;%对角元素 A2=sparse(1: n-1,2: n,0.5,n,n);%输入A的上次对角元素 A3=sparse(2: n,1: n-1,0.5,n,n);%输入A的下次对角元素 A=A1+A2+A3; b1=0.5*ones(n,1);%b的除第一项元素 b2=sparse(1,1,18,n,1);%b的第一项元素 b=b1-b2; R=A\b 得到结果: R= 26.0000 17.0000 9.0000 2.0000 -4.0000 -9.0000 -13.0000 -16.0000 -18.0000 -19.0000 所以各阻值为 (R1,R2,…,R10)=(26,17,9,2,-4,-9,-13,-16,-18,-19) 总电阻R0(即输入等效电阻)为 ,又 得到 (2) 1)要使各年龄种群数量每年维持不变即 , 依题意得 用矩阵形式表示原方程组为: , 2)代入题中数据 , 3)要使h1~h5均为500,则h变为: 输入程序: >>formatbank; A1=[0.4,-1,0,0,0 0,0.6,-1,0,0 0,0,0.6,-1,0 0,0,0,0.4,-1 -1,0,5,3,0]; h1=[500,400,200,100,0]'; x1=A1\h1 formatbank; A2=[0.4,-1,0,0,0 0,0.6,-1,0,0 0,0,0.6,-1,0 0,0,0,0.4,-1 -1,0,5,3,0]; h2=[500,500,500,500,0]'; x2=A2\h2 formatbank; A3=[0.6,-1,0,0,0 0,0.8,-1,0,0 0,0,0.8,-1,0 0,0,0,0.6,-1 -1,0,1,2,0]; h3=[500,500,500,500,0]'; x3=A3\h3 结果: x1= 8481.01 2892.41 1335.44 601.27 140.51 x2= 10981.01 3892.41 1835.44 601.27 -259.49 x3= 13467.74 7580.65 5564.52 3951.61 1870.97 从x1可以看出,第5年龄段: x5=140.5>100=h5,说明收获量h5可以达到100。 从x2可以看出,x5为-259.49,但种群数量不可能为负数,在本题所给条件下,无法使h1~h5均为500。 从x3可以看出,x5=1870>500=h5,说明收获量h5可达到500,从而h1~h5均可达到500。 (3) 1)由题目已知条件,假设第i月月初待还贷款为 ,贷款月利率为r,则可列出: =150000 = *(1+r)-1000… =1000/r+( -1000/r) 2)记第一家银行月利率为s,第二家银行年利率为t,则: =4500/s+( -4500/r) 输入程序: 1)r=fzero(inline('1000/r+(150000-1000/r)*(1+r)^180'),1) 2)r1=fzero(inline('4500/s+(500000-4500/s)*(1+s)^180'),1) r2=fzero(inline('45000/t+(500000-45000/t)*(1+t)^20'),1) ifr1 disp('第一家月利率小'); else disp('第二家月利率小'); end 实验结果: r=0.0021 r1=0.0059r2=0.0639第二家月利率小 (4) n=20; y=1: n; y (1)=0.5 fork=1: (n-1) y(k+1)=1.3*y(k)*(1-y(k)); end; y; y= Columns1through12 0.50000.32500.28520.26500.25320.24580.24100.23780.23560.23410.23310.2324 Columns13through20 0.23190.23160.23130.23120.23100.23100.23090.2309 4.实验数据记录及分析(或程序及运行结果): (结果已在上一步中给出) 通过这次实验,是我对线性方程和非线性方程有了更进一步的认识,并且对于它们的解法也有了更深入的了解。 它们可以解决很多实际问题。 所以熟练的掌握它们对于解决现实中的问题有很大的帮助。
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- 关 键 词:
- 线性方程组 数值 解法 非线性 方程 求解