三角恒等变换教案.docx
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三角恒等变换教案.docx
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三角恒等变换教案
二角恒等变换教案
适用学科
高中数学
适用年级
高中一年级
适用区域
全国通用
课时时长(分钟)
60
知识点
两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,辅助角公式
教学目标
理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,辅助角公式,体会二角恒等变换
在数学中的应用
教学重点
1.二倍角公式的推导。
2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点•
教学难点
认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力•
教学过程
一、课堂导入
思路1.我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角函数主要有以下三个基本的恒等变换:
代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换•前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换,本
节将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换•
思路2.三角函数的化简、求值、证明,都离不开三角恒等变换•学习了和角公式,差角公式,倍角公式以后,我们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活,同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台•对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的
各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点
、复习预习
复习三角函数值的计算及诱导公式
(一)
sin(
2k
)sin
cos(2k
)cos
sin(兀+(Z)二
-sin@,
cos(E+E)二
-COS0,
sin(p)
二-sin@
cos(・0)二cos(Z
sin(
)
sin,
cos()
-cos,
■7
sin(―-
2
ff):
cos$
(公式五)
■fT
cos(--
2
劝:
:
sin&
(六)。
tan(2k)tan
(公式一)
tan(兀+0)二tan$
(公式二)
tan(・@)二・tan(?
(公式三)
tan()tan
(公式四)
sin()二cos(Z
2
(公式八)
cos()二-sin〃
2
三、知识讲解
考点1两角和的正弦、余弦、正切公式
⑴cos
cos
cos
sin
sin
:
⑵cos
coscos
sin
sin
;
⑶sin
sin
cos
cos
sin
:
⑷sin
sincos
cos
sin
;
⑸tan
tan
tan
(tantan
tan1
tan
tan
)
1tan
tan
⑹tan
tan
tan
(tantan
tan1
tan
tan
)
1tan
tan
考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式
⑴sin22sin
cos
1sin
2
⑵cos2cos
・2sin
2cos2
升幕公式1
cos
c2
2cos—
2
降幕公式cos2
cos21
2
1
cos
2
1
sin2
.22sincos
12sin2
2sin2-
2
1cos2
2sincos(sincos)2
万能公式
sina
⑶tan2上竺
1tan2
a
2tan
-;cos
2a
1tan—
2
2a
tan—
2
2a
1tan—
考点3辅助角公式
角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的yAsin(X)B形式
其中tan
四、例题精析
考点一两角和的正弦、余弦、正切公式
例1已知a(—,—),3(0,一),cos(a-—)=3,sin(3—3¥—,求sin(a+3的值.
44445413
【规范解答】
331
•a~~~4+~4+a+B+~2a€("4,才)3^(0,1sinx1)
3
334312
…a~~—€(0,—)3+—€(—,nJSin(a—)=—cos(—)=——
42丿^44,/、45、4丿13
356
…sin(+3=—cos[—+(a+3)=—COS[(a—)+(—)]=—
24'465
【总结与反思】这道题主要考察了诱导公式及两角和的余弦公式,先通过诱导公式的变形然后带入余弦公式即可
例2计算sin68°in67°-sin23°cos68°的值为).
【规范解答】
原式二sin68cos23-cos68sin23=°n(68—23)=sin45
【总结与反思】本题考察了两角差的正弦公式,带入公式即可
考点二二倍角公式的应用
小4小2
例3化简
2cosx2cosx
2
2tan(x)sin(x)
44
221
2sinxcosx-
2
【规范解答】
切化弦,合理使用倍角公式.原式=2sin(x)cos2(x)
44
cos(x)
4
2sin(x)cos(x)sin(2x)
442
【总结与反思】
三角函数式的化简要遵循三看”原则:
(1)一看角”这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
(2)二看函数名称”看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有切化弦”
例4化简:
sina+COSa—1sina—COSa+1sin2a
aaaaaa
2sin2COS2—2sin22sin2cos2+2sin2原式=aa
4sin2cos2cosa
a
cos^-
.aa.aa
-sincos2+sinqsinq
a
cos^cosa
【规范解答】
2a.2a.a.a
cos-sin2sin2cosain2
a
cos^cosa
a
cosQCOSa
=tanf
2
【总结与反思】三角函数式的化简要遵循三看”原则:
(1)一看角”这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
(2)二看函数名称”看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有切化弦”
考点三辅助角公式的应用
例5已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.
⑴求f(§)的值;
2)求f(x)的最大值和最小值.
【规范解答】先化简函数y=f(x),再利用三角函数的性质求解.
⑴.)
2nn
=2cos丁+sin23
31
=—1+4=—4.
⑵f(x)=2(2cos2x—1)+(1—cos2x)
=3cos2x—1,x€R.
'/cosx€[—1,1],
.••当cosx=±1时,f(x)取最大值2;
当cosx=0时,f(x)取最小值—1.
【总结与反思】
高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin@x+©)的形式,再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.
课程小结
1•本节课主要是三角恒等变换的应用,通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(®x+
©)的函数从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的•在教学中教师要强调:
分析、研究三角函数的性质,是三角函数的重要内容•如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的解析式变形
化简,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质•因此,三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤•但
需注意的是,在三角恒等变换过程中,由于消项、约分、合并等原因,函数的定义域往往会发生一些变化,从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价•因此,在对三角函数式进行三角恒等变换后,还要确定原三角函数的定义域,并在这个定义域内分析其性质•
2•在三角恒等变化中,首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式,以此作为基本训练•其次要搞清楚各公式之间的内在联系,自己画
出知识结构图•第三就是在三角恒等变换中,要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识,对三角知识有整体的把握•
3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主•和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考
查的地方,应该引起足够重视,特别是对角的范围的讨论,从而确定符号•另外,在三角形中的三角变换问题,以及平面
向量为模型的三角变换问题将是高考的热点•
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- 三角 恒等 变换 教案