江苏省南京市六校联合体学年高三上学期联考数学试题.docx
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江苏省南京市六校联合体学年高三上学期联考数学试题
2021-2021学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学
一、单项选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在毎小题绐出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
1.
U
记全集U=R,集合A={x∣x2≥16},集合B={x∣lnx≥0},则(C
A)⋂B=()
A.[4,+∞)
B.(1,4]C.[1,4)D.(1,4)
a1
2
2.设i为虚数单位,a∈R,“a=1”是“复数z=-
21-i
是纯虚数”的()条件
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知圆C的圆心在直线y=x上,且与y轴相切于点(0,5),则圆C的标准方程是()
A.(x+5)2+(y-5)2=25B.(x-5)2+(y-5)2=25
C.(x-5)2+(y-5)2=5D.(x+5)2+(y-5)2=5
4.标准对数远视力表(如图)采用的是“五分记录法”是我国独创的视力记录方式,标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标,且从视力5.2的视标所在行开始往上,每一行"E”的边长都是下方一行“E”
边长的1010倍,若视力4.1的视标边长为a,则视力4.8的视标边长为()
A.100.8aB.100.7aC.10-0.8aD.10-0.7a
5.
2
已知双曲线C:
x
a2
2
-
y
=1(a>0,b>0)的右顶点为A,直线y=
b2
(x+a)与C的一条渐近线在第一
3
2
象限相交于点P,若PA与x轴垂直,则C的离心率为()
A.
2
3
B.C.2D.3
6.已知函数y=
f(x)的图象如下图所示,则此函数可能是()
A.f(x)=
C.f(x)=
sin6x2-x-2xcos6x2-x-2x
B.f(x)=
D.f(x)=
sin6x2x-2-xcos6x2x-2-x
7.“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游),春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿。
某商家在舂节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满50元,则可以从“福”字、春联和灯
笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有4名顾客都领取一件礼品,则他们中有且仅有2人领取的礼品
种类相同的概率是()
5479
A.B.
99
C.D.
1616
8.
5
在三棱锥P-ABC中,底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,且AB=2,PA=PC=,PB
与底面ABC所成的角的余弦值为
,则三棱锥P-ABC的外接球的体积为()
22
3
8989π
9π
A.B.
26
C.9πD.
27π
2
二、多项选择题:
本题共4小题,每小題5分,共20分。
在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分。
9.下列说法正确的是()
A.若X~B⎛n,1⎫,且EX=2,则n=6
ç3⎪
⎝⎭
B.设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位
C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),则P(ξ>1)=0.5
10.若函数(fx)=sin2x的图象向右平移π个单位得到的图象对应的函数为g(x),则下列说法中正确的
6
是()
A.g(x)图象关于x=5π对称
12
B.当x∈⎡0,π⎤时,g(x)的值域为⎡-
3,3⎤
⎣⎢2⎥⎦
⎢22⎥
⎣⎦
⎡5π11π⎤
C.g(x)在区间⎢,⎥上单调递减
⎣1212⎦
D.当x∈[0,π]时,方程g(x)=0有3个根
11.如图,直角梯形ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=1,AB=1,E为AB中点,以DE为
2
3
折痕把ADE折起,使点A到达点P的位置,且PC=,则()
2
A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥ED
2
π
C.二面角P-DC-B的大小为
4
D.PC与平面PED所成角的正切值为
2
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点,设线段AB的中点为P,则()
A.OA⋅OB=-
3p24
B.
3
若|AF|⋅|BF|=4p2,则直线AB的斜率为
C.若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3,则抛物线的方程为y2=8x
1
D.若点F到抛物线准线的距离为2,则sin∠PMN的最小值为
2
三、填空题:
本大题共4小題,毎小题5分,共20分。
把答案填在答题卡的相应位置。
13,在Rt∆ABC中,∠C=90,AC=4,D为AB边上的中点,则CD⋅AC等于。
14.(x-2y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为。
(用数字填写答案)
15.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上递减,若不等式f(-ax+lnx+1)+f(ax-ln-1)≥2f
(1)
对x∈⎡⎣1,e2⎤⎦恒成立,则实数a的取值范围为。
6.已知函数f(x)=3cos⎛2x+π⎫,当x∈[0,9π]时,把函数F(x)=f(x)-1的所有零点依次记为x,
ç3⎪1
⎝⎭
x2,x3,,xn,且x1 四、解答题: 本大题共6小題,共70分。 解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。 3 ( 17.(本小题满分10分) 1 2 222 在①AC⋅AB=b - ab,②atanC=2csinA,③S= 2 a+b 4 - c)这三个条件中任选一个, 补充在下面的问题中,并解决该问题。 锐角ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,ABC的面积为S,已知。 (1)求角C的大小; (2)求sinA+sinB的取值范围。 18.(本小题满分12分) 已知数列{a},{b}的前n项和分别为S,T,且a>0,6S=a2+3a。 nnnnnnnn (1)求数列{an}的通项公式; =S 1 (2)记bn n ,若k>Tn恒成立,求k的最小值。 19.(本小题满分12分) 2 7 如图,点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A,B),已知AB=2,AC=,AE=,四边形BEDC为矩形,平面ABC⊥平面BEDC.设平面EAD与平面ABC的交线为l。 (1)证明: l∥BC; (2)求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。 20.(本小题满分12分) ∑ -x)=80,∑(y 垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,所以需要无害化、减量化处理。 某市为调査产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析,得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,,20),其中xi和yi分别表示第i个县城的人口(单位: 万人)和该县年 ∑ 20 垃圾产生总量(单位: 吨),并计算得xi i=1 20 =80,yi i=1 =4000,∑(xi 20 i=1 20 2 i i=1 -y)2=8000, 20 ∑(xi-x)(yi-y)=700。 j=1 (1)请用相关系数说明该组数据中y与ⅹ之间的关系可用线性回归模型进行拟合; (2)求y关于x的线性回归方程; (3)某科硏机构硏发了两款垃圾处理机器,下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表: 使用年限台数 款式 1年 2年 3年 4年 5年 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 n 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器,以使用年限的频率估计概率。 根据以往经验估计,该机构选择购买哪一款垃圾处理机器,才能使用更长久? ∑(xi-x)(yi-y) n ∑(xi-x i=1 n )∑ i=1 (yi-y) 2 参考公式: 相关系数r=i=1 n 对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,,n),其回归直线yˆ=bˆx+aˆ的斜率和截距 ∑(xi-x)(yi-y) n 的最小二乘估计分别为: bˆ=i=1,aˆ=y-bˆx 2 ∑(xi-x) i=1 21.(本小题满分12分) x2y2 32⎛31⎫ 已知椭圆C: + a2b2 =1(a>b>0)的一条准线方程为x= 2,点ç,⎪在椭圆C上。 ⎝22⎭ (1)求椭圆C的方程; 2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求AOB面积(O为原点)的最大值。 22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=tetx(t>0),g(x)=lnx. (1)若f(x)在x=0处的切线与g(x)在x=1处的切线平行,求实数t的值; (2)设函数ϕ(x)=f(x)-g(x). ①当t=1时,求证: ϕ(x)在定义域内有唯一极小值x,且ϕ(x)∈⎛2,5⎫; 00ç2⎪ ⎝⎭ ②若ϕ(x)恰有两个零点,求实数t的取值范围。 2020-2021学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学 一、单项选择题: 本大题共8小题,每小题5分,共40分。 在毎小题给岀的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】B 5.【答案】C6.【答案】D 7.【答案】B 解: 4名顾客都领取一件礼品,基本事件总数34=81 43 他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数C2A3=36 ∴P=36=4,选B. 819 8.【答案】A 解: 取AC中点D,连BD,PD BC=AB,PA=AC, ∴AC⊥BD,AC⊥PD,PD⋂BD=D,PD,BD⊂平面PBD, ∴AC⊥平面PBD 又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面PBD ∴∠PBD为PB与底面ABC所成锤子数学的角, 22 即cos∠PBD=, 3 2 ∵AC=2AB=2, 2 PA2-AD2 ∴BD=,PD= 令PB=x,则3=2+x2-2⋅ 解得x=3 取PB中点O,连接OD = 3 22 3 2⋅x⋅ 2 OD2=9+2-2⋅⋅3⋅22=1 4234 ∴OD2+DB2=OB2,∴OD⊥DB, ∴O为ABC外接球锤子数学的球心 r=3,∴V=4π⋅27=9π, 2 选A. 382 二、多项选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 在毎个小题给出的四个选项中,有多项符合题目 要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分。 9.【答案】ABD 10.【答案】AC 11.【答案】AC AE2+DE2 22+22 2 解: A中,PD=AD===2, 在三角形PDC中,PD2+CD2=PC2,所以PD⊥CD,又CD⊥DE, 可得CD⊥平面PED,CD⊂平面EBCD,所以平面PED⊥平面EBCD,A选项正确; B中,若PC⊥ED,又ED⊥CD,可得ED⊥平面PDC, 则ED⊥PD,而∠EDP=∠EDA,显然矛盾,故B选项错误; C中,二面角P-DC-B的锤子数学平面角为∠PDE, 根据折前着后不变知∠PDE=∠ADE=45,故C选项正确; D中,由上面分析可知,∠CPD为直线PC与平面PED所成角, 2 CD 在RtPCD中,tan∠CPD==,故D选项错误。 PD2 故选: AC. 12.【答案】AD p 解: 设AB: x=my+,A(x,y),B(x,y) 21122 ⎧y2=2px, ⎪ ⎨x=my+p, 消x可得y2-2pmy-p2=0 ⎩⎪ y+y 2 =2pm,yy =-p2 1212 y2y2p4p2 x1x2=1-2== 2p2p4p2 4 2p232 ∴OA⋅OB=x1x2+y1y2=-p+ =-p 44 ,A正确 ⎝⎭⎝⎭ ⎛p⎫⎛p⎫ pp2 |AF‖BF|=çx1+2⎪çx2+2⎪=x1x2+2(x1+x2)+4 p+p 2 =⎡m(y+y )+p⎤=p2+pm⋅2pm 22⎣12⎦2 =p2+p2m2=4p2 3 ∴m2=3,∴m=± 3 AB的斜率为±,B错误 3 抛物线上一点E(2,t)到焦点的距离为3,则E到锤子数学准线距离为3 ∴3=2+p,∴p=2 2 抛物线方程: y2=4x,C 错误此时答案已知AD再判断D F到锤子数学抛物线准线距离为2,∴p=2 x+x=4m2+2,y+y =4m, 12 2r=AB=x+x 12 +2=4m2+4 12 ∴r=2m2+2, d2m2+12m2+2-11 ∴sin∠PMN====1- r2m2+22m2+22m2+2 ∵2m2+2≥2, ∴1∈⎛0,1⎤,∴sin∠PMN∈⎡1,1⎫ 2m2+2 即sin∠PMN ç ⎭ ⎝ min 2⎥⎦ =1,D正确。 2 ⎢⎣2⎪ 三、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分。 把答案填在答题卡的相应位置。 13.【答案】-8 14.【答案】-48 15.【答案】1≤a≤4 ee2 解: f(x)为偶函数, ∴f(-ax+lnx+1)=f(ax-lnx-1) ∴f(-ax+lnx+1)+f(ax-lnx-1)≥2f (1)⇔f(ax-lnx-1)≥ f (1), f(x)在[0,+∞) ⎣⎦ ∴|ax-lnx-1|≤1在x∈⎡1,e2⎤恒成立,lnx≤a≤lnx+2 xx 令g(x)=lnx,g'(x)=1-lnx=0,x=e xx2 g(x)在[1,e),(e,2],∴g(x) max =g(e)=1 e 令h(x)=lnx+2,h'(x)=-1-lnx<0,∴h(x)在⎡1,e2⎤ xx2⎣⎦ h(x) =h(e2)=4,∴1≤a≤4。 min 16.【答案】 e2 221π 3 ee2 解: F(x)=0,则f(x)=1,即cos⎛2x+π⎫=1 ç3⎪3 ⎝⎭ 令g(x)=cos⎛2x+π⎫,g(x)的周期为π ç3⎪ ⎝⎭ 在一个周期[0,π]内g(x)=1有两个根x,x 312 则在[0,9π]内共有18个根,即n=18 相邻的两个根都关于锺子数学对称轴对称, 而g(x)的对称轴 πkπ x =-+ 62 即x,x关于x=π对称,x,x关于x=5π对称 123236 x,x关于x=25π对称 17183 2Sn-(x1+xn)=(x1+x2)+(x2+x3)++(x17+x18) 17⎛π+25π⎫ ç33⎪ 221π =⎝⎭=。 23 四、解答题: 本大题共6小题,共70分。 解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。 。 17.解: 选① (1)∵AC⋅AB=b 2-1 2 ab, ∴bc⋅cosA=b2-1ab, 2 b2+c2-a221 222 即bc⋅=b 2bc - ab⇒a 2 + b-c =ab a2+b2-c21 =, 2ab2 ∴cosC=1,C=π。 23 ⎧0 ⎪ (2)∵ABC为锐角三角形且⎨ 2⇒π ππ62 ⎪0<π-A-<, ⎩⎪32 ∴sinA+sinB=sinA+sin⎛A+π⎫=sinA+1sinA+3cosA ç3⎪22 ⎝⎭ =3sinA+3cosA=3sin⎛A+π⎫ 22ç6⎪ ⎝⎭
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