底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
(3)对数函数的性质:
①定义域:
(0,+∞).
②值域:
R.
③过点(1,0),即当x=1时,y=0.
④当a>1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a<1时,在(0,+∞)上是减函数.
基础例题
题型1(对数的计算)
1.求下列各式的值.
1
1×log3
1
1.
(1)log535+2log1
2-log550-log145;
(2)log2
×log5
2
25
8
9
练习题
1.计算:
lg1-lg5+lg12.5-log89·log278;
28
2.log535+2log1
2-log5
1-log514;
3.log2
1×log3
1
×log5
1.
2
50
25
8
9
4.
log3
1
log94log93.
5.lg
2
5
lg
2
2lg4
2
(6).log2
24lg1
log327lg2log23
7.
2lg2
lg3
2
1
1
1
lg0.36lg8
2
3
例2.已知实数x、y、z满足3x=4y=6z>1.
(1)求证:
2+1=2;
xyz
(2)试比较3x、4y、6z的大小.
练习题.已知log189=a,18b=5,用a、b表示log3645.
题型二:
(对数函数定义域值域问题)
例1.已知函数fxlog2
2
x的定义域为集合
A,关于x的不等式2a
2ax的解集为B,若A
B,求
x
1
实数a的取值范围.
2.设函数y
log2(ax2
2x
2)定义域为A.
(1
)若A
R,求实数
a的取值范围;
(2
)若log2(ax2
2x
2)
2在x[1,2]上恒成立,求实数
a的取值范围.
练习题1.已知函数fxlgax2
2x1
(1)若f
x的定义域是R,求实数a的取值范围及
f
x的值域;
(2)若f
x的值域是R,求实数a的取值范围及
f
x的定义域
2求函数y=2lg(x-2)-lg(x-3)的最小值.
题型三(奇偶性及其单调性)
例题1.已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.
(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;
(2)求f(log124)的值.
2
2.已知
f(x)=log
1[3-(x-1)2],求
f(x)的值域及单调区间
.
3
3.已知y=loga(3-ax)在[0,2]上是x的减函数,求a的取值范围.
4.已知函数f(x)
lg(2x)lg(2x).
(Ⅰ)求函数y
f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数y
f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)若f(m2)
f(m),求m的取值范围.
练习题1.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,a≠1)
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并给出证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围
2.函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)
0,当x
0时,f(x)log1x.
2
(1
)求函数f(x)的解析式;
(2
)解不等式f(x21)
2;
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x0时,f(x)log1(x1).
2
(Ⅰ)求f(0),f
(1);
(Ⅱ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅲ)若f(a1)1,求a的取值范围.
题型4(函数图像问题)
例题1.函数f(x)=|log2x|的图象是
y
y
1
1
O
1
x
-1O
1
x
A
B
y
y
1
1
O
1
x
O
1
x
C
D
2.求函数y=log2|x|的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间.
3.设f(x)=|lgx|,a,b为实数,且0<a<b.
(1)求方程f(x)=1的解;
(2)若a,b
满足
f(a)=f(b)=2f
ab
,
2
求证:
a·b=1,a
b>1.
2
练习题:
1.已知
a
0
且
a
1
,函数
f(x)
loga(x
1)
,
1
,记
F(x)
2f(x)g(x)
g(x)loga1x
(1
)求函数F(x)的定义域及其零点;
(2
)若关于x的方程F(x)2m2
3m5
0在区间[0,1)内仅有一解,求实数
m的取值范围.
2.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)设g(x)=log4a?
2x-4a,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
3
3.函数y=log2|ax-1|(a≠0)的对称轴方程是x=-2,那么a等于
题型五:
函数方程
1方程lgx+lg(x+3)=1的解x=___________________.
(
1
)x,x4,
则f(2+log23)的值为
2.已知函数f(x)=
2
f(x1),x
4,
4.已知函数
f(x)loga(ax
x)(a0,a1
为常数).
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若a
2,x
1,9,求函数f(x)的值域;
(Ⅲ)若函数
yaf(x)的图像恒在直线y2x
1的上方,求实数
a的取值范围.
y
1
x
x
5.已知函数
2
log24
log22(2x8).
(Ⅰ)令
x,求y关于t的函数关系式及
t的取值范围;
tlog2
(Ⅱ)求函数的值域,并求函数取得最小值时的
x的值.
6.设函数f(x)=lg(1-x),g(x)=lg(1+x),在f(x)和
g(x)的公共定义域内比较|f(x)|与|g(x)|的大小.
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