全国中考数学真题分类汇编 二次函数.docx
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全国中考数学真题分类汇编二次函数
分类训练十三二次函数
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40分钟满分100分得分
考点1二次函数的图像与性质(每小题4分,共36分)
1、(2015•锦州)在同一坐标系中,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
2、(2015•宁夏)函数y=
与y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
3、(2015•泰安)在同一坐标系中,一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4、(2015•沈阳)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x﹣h)2(a≠0)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
5、(2015•杭州)函数y=x2+2x+1,当y=0时,x= ;当1<x<2时,y随x的增大而 ;(填写“增大”或“减小”).
6、(2015•常州)二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是
7、(2015•漳州)已知二次函数y=(x﹣2)2+3,当x 时,y随x的增大而减小.
8、(2015•怀化)二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 ,对称轴是直线 .
9、(2015•临沂)定义:
给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<x2时,都有y1<y2,称该函数为增函数,根据以上定义,可以判断下面所给的函数中,是增函数的有 (填上所有正确答案的序号)
①y=2x;②y=﹣x+1;③y=x2(x>0);④y=﹣
.
考点2二次函数的图像与系数的关系(每小题4分,共12分)
1、(2015•南宁)如图,已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=﹣1,下列结论中:
?
①ab>0,‚②a+b+c>0,ƒ③当﹣2<x<0时,y<0.
正确的个数是( )
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
考点2第3题图
考点2第2题图
考点2第1题图
2、(2015•烟台)如图,已知顶点为(﹣3,﹣6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,﹣4),则下列结论中错误的是( )
A.
b2>4ab
B.
ax2+bx+c≥﹣6
C.
若点(﹣2,m),(﹣5,n)在抛物线上,则m>n
D.
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
3、(2015•聊城)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:
①2a+b=0;②a+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是 (填写序号).
考点3二次函数解析式的求法(1---2每小题4分,3题14分,共22分)
2、(2013•来宾)已知二次函数y=x2+bx+c经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的解析式是 .
3、((2015•黑龙江)如图,抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
考点4二次函数的应用(1--3题各10分,共30分)
1、(2015•天水)天水“伏羲文化节”商品交易会上,某商人将每件进价为8元的纪念品,按每件9元出售,每天可售出20件.他想采用提高售价的办法来增加利润,经实验,发现这种纪念品每件提价1元,每天的销售量会减少4件.
(1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式.
(2)每件售价定为多少元,才能使一天所得的利润最大?
最大利润是多少元?
2、(2015•毕节市)某商场有A,B两种商品,若买2件A商品和1件B商品,共需80元;若买3件A商品和2件B商品,共需135元.
(1)设A,B两种商品每件售价分别为a元、b元,求a、b的值;
(2)B商品每件的成本是20元,根据市场调查:
若按
(1)中求出的单价销售,该商场每天销售B商品100件;若销售单价每上涨1元,B商品每天的销售量就减少5件.
①求每天B商品的销售利润y(元)与销售单价(x)元之间的函数关系?
②求销售单价为多少元时,B商品每天的销售利润最大,最大利润是多少?
3、(2015•玉林)某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系,如图所示.
(1)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(2)应怎样确定销售价,使该品种苹果的每天销售利润最大?
最大利润是多少?
分类训练十三二次函数答案
考点1二次函数的图像
1、D.解析:
A、由抛物线的开口向下,可知a<0,函数有最小值,正确,故本选项不符合题意;B、由图象可知,对称轴为x=
,正确,故本选项不符合题意;
C、因为a>0,所以,当x<
时,y随x的增大而减小,正确,故本选项不符合题意;
D、由图象可知,当﹣1<x<2时,y<0,错误,故本选项符合题意.故选D.
2、B.
解析:
本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负,再与二次函数的图象相比较看是否一致.
解:
由解析式y=﹣kx2+k可得:
抛物线对称轴x=0;
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得k<0,则﹣k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上;本图象与k的取值相矛盾,故A错误;
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象符合题意,故B正确;
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故C错误;
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故D错误.
故选:
B.
3、D.
解析:
本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致.
解:
A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知,n2<0,错误;
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知,m>0,由直线可知,﹣m>0,错误;
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,﹣m<0,错误;
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,﹣m>0,正确,
故选D.
4、D.
解析:
根据二次函数y=a(x﹣h)2(a≠0)的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在x轴上,即可解答.
解:
二次函数y=a(x﹣h)2(a≠0)的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在x轴上,
故选:
D.
5、﹣1,增大.
解析:
将y=0代入y=x2+2x+1,求得x的值即可,根据函数开口向上,当x>﹣1时,y随x的增大而增大.
解:
把y=0代入y=x2+2x+1,
得x2+2x+1=0,
解得x=﹣1,
当x>﹣1时,y随x的增大而增大,
∴当1<x<2时,y随x的增大而增大;
故答案为﹣1,增大.
6、(1,﹣2).
解析:
此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标,也可以利用配方法求出其顶点的坐标.
解:
∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣(x2﹣2x+1)﹣2
=﹣(x﹣1)2﹣2,
故顶点的坐标是(1,﹣2).
故答案为(1,﹣2).
7、x<2.
解析:
根据二次函数的性质,找到解析式中的a为1和对称轴;由a的值可判断出开口方向,在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性.
解:
在y=(x﹣2)2+3中,a=1,
∵a>0,
∴开口向上,
由于函数的对称轴为x=2,
当x<2时,y的值随着x的值增大而减小;
当x>2时,y的值随着x的值增大而增大.
故答案为:
x<2.
8、
解析:
先把该二次函数化为顶点式的形式,再根据其顶点式进行解答即可.
解:
∵y=x2+2x=(x+1)2﹣1,
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是:
(﹣1,﹣1),对称轴是直线x=﹣1.
故答案为:
(﹣1,﹣1),x=﹣1.
9、①③.
解析:
根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行分析即可得到答案.
解:
y=2x,2>0,∴①是增函数;
y=﹣x+1,﹣1<0,∴②不是增函数;
y=x2,当x>0时,是增函数,∴③是增函数;
y=﹣
,在每个象限是增函数,因为缺少条件,∴④不是增函数.
故答案为:
①③.
考点2二次函数的图像与系数的关系
1、D.
分析:
①由抛物线的开口向上,对称轴在y轴左侧,判断a,b与0的关系,得到?
ab>0;故①错误;
②由x=1时,得到y=a+b+c>0;故②正确;
③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点,得到另一个交点,然后根据图象确定答案即可.
解:
①∵抛物线的开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴的左侧,
∴b>0
∴?
ab>0;故①正确;
②∵观察图象知;当x=1时y=a+b+c>0,
∴②正确;
③∵抛物线的对称轴为x=﹣1,与x轴交于(0,0),
∴另一个交点为(﹣2,0),
∴当﹣2<x<0时,y<0;故③正确;
故选D.
2、C.
解析:
由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断;由于抛物线开口向上,有最小值则可对B进行判断;根据抛物线上的点离对称轴的远近,则可对C进行判断;根据二次函数的对称性可对D进行判断.
解:
A、图象与x轴有两个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,b2﹣4ab>0所以b2>4ab,故A选项正确;
B、抛物线的开口向上,函数有最小值,因为抛物线的最小值为﹣6,所以ax2+bx+c≥﹣6,故B选项正确;
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3,因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离,所以m<n,故C选项错误;
D、根据抛物线的对称性可知,(﹣1,﹣4)关于对称轴的对称点为(﹣5,﹣4),所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1,故D选项正确.
故选C.
3、C.解析:
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,所以①错误;
∵顶点为D(﹣1,2),
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,
∴当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0,所以②正确;
∵抛物线的顶点为D(﹣1,2),
∴a﹣b+c=2,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1,
∴b=2a,
∴a﹣2a+c=2,即c﹣a=2,所以③正确;
∵当x=﹣1时,二次函数有最大值为2,
即只有x=1时,ax2+bx+c=2,
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根,所以④正确.
故选C.
考点3二次函数解析式的求法
1、A.解析:
将A(m,4)代入反比例解析式得:
4=﹣
,即m=﹣2,
∴A(﹣2,4),
将A(﹣2,4),B(0,﹣2)代入二次函数解析式得:
,
解得:
b=﹣1,c=﹣2,
则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2.
故选A.
2、y=x2﹣7x+12.
解析:
由于已知了二次函数与x轴的两交点坐标,则可设交点式易得其解析式.
解:
设二次函数的解析式为y=a(x﹣3)(x﹣4),
而a=1,
所以二次函数的解析式为y=(x﹣3)(x﹣4)=x2﹣7x+12.
故答案为y=x2﹣7x+12.
3、
解析:
(1)根据抛物线经过点A(1,0),对称轴是x=2列出方程组,解方程组求出b、c的值即可;
(2)因为点A与点C关于x=2对称,根据轴对称的性质,连接BC与x=2交于点P,则点P即为所求,求出直线BC与x=2的交点即可.
解:
(1)由题意得,
,
解得b=4,c=3,
∴抛物线的解析式为.y=x2﹣4x+3;
(2)∵点A与点C关于x=2对称,
∴连接BC与x=2交于点P,则点P即为所求,
根据抛物线的对称性可知,点C的坐标为(3,0),
y=x2﹣4x+3与y轴的交点为(0,3),
∴设直线BC的解析式为:
y=kx+b,
,
解得,k=﹣1,b=3,
∴直线BC的解析式为:
y=﹣x+3,
则直线BC与x=2的交点坐标为:
(2,1)
∴点P的交点坐标为:
(2,1).
考点4二次函数的应用
1、
解析:
(1)根据题中等量关系为:
利润=(售价﹣进价)×售出件数,根据等量关系列出函数关系式;
(2)将
(1)中的函数关系式配方,根据配方后的方程式即可求出y的最大值.
解:
(1)根据题中等量关系为:
利润=(售价﹣进价)×售出件数,
列出方程式为:
y=(x﹣8)[20﹣4(x﹣9)],
即y=﹣4x2+88x﹣448(9≤x≤14);
(2)将
(1)中方程式配方得:
y=﹣4(x﹣11)2+36,
∴当x=11时,y最大=36元,
答:
售价为11元时,利润最大,最大利润是36元.
2、
解析:
(1)根据题意列方程组即可得到结论;
(2)①由题意列出关于x,y的方程即可;
②把函数关系式配方即可得到结果.
解:
(1)根据题意得:
,
解得:
;
(2)①由题意得:
y=(x﹣20)【100﹣5(x﹣30)】
∴y=﹣5x2+350x﹣5000,
②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5(x﹣35)2+1125,
∴当x=35时,y最大=1125,
∴销售单价为35元时,B商品每天的销售利润最大,最大利润是1125元.
3、
解析:
(1)由图象过点(20,20)和(30,0),利用待定系数法求直线解析式;
(2)每天利润=每千克的利润×销售量.据此列出表达式,运用函数性质解答.
解:
(1)设y=kx+b,由图象可知,
,
解之,得:
,
∴y=﹣2x+60;
(2)p=(x﹣10)y
=(x﹣10)(﹣2x+60)
=﹣2x2+80x﹣600,
∵a=﹣2<0,
∴p有最大值,
当x=﹣
=20时,p最大值=200.
即当销售单价为20元/千克时,每天可获得最大利润200元.
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