所得税交纳点选址的数学模型.docx
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所得税交纳点选址的数学模型
所得税交纳点选址的数学模型
试题:
所得税交纳点选址
所得税管理部门计划对某个城市的所得税交纳点网络进行重新设计。
下图是该城市主要区和主要道路的示意图。
区旁边的黑体数字表示该区居民数目,单位为千人。
在连区之间的弧上标出了它们之间的距离,单位为千米(斜体字)。
为覆盖整个城市,所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。
请建立数学模型给出三个纳税点安排的最佳方案。
摘要
所得税管理部门计划对某个城市的所得税交纳点网络进行重新设计。
如图所示,区旁边的黑体数字表示该区居民数目,单位为千人。
在连区之间的弧上标出了它们之间的距离,单位为千米(斜体字)。
为覆整个城市,所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。
首先我们将问题参数化,建立数学模型。
然后利用穷举法计算出每个点到所指定的三个纳税点的距离,再利用弗洛依德算法得出距离矩阵,并结合mathlab等程序(C语言、Lingo),得出其与人数加权后的距离矩阵。
最后得出在1,6,和11设置纳税点为最佳。
1,2,5,7区的居民去1区的纳税点缴税,3,4,6,9区的居民去6区的纳税点缴税,8,10,11,12区的居民去11区的纳税点缴税。
我们的模型虽然简单,但合理、实用,可以被各领域针对自己的情况应用到工作计划中去,指导他们的实际工作。
模型的总体假设
1.假设纳税点集中在每个区的中心;
2.假设限定每个区的居民只能到一个纳税点缴税;
3.假设三个纳税点之间无特定联系;
4.不考虑“道路难度系数”(即实际路程、地面情况及障碍物等);
5.不考虑路程与时间的关系(即选出的是人数和距离加权后最小的纳税点,而非时间最短);
6.不考虑居民的迁入迁出,即假定该区居民数目稳定;
7.不考虑居民的主观因素(如个人偏好,或者因最近纳税点人多而临时改变纳税点等);
模型的建立与求解
◆第一步:
模型的建立
根据假设一,每个纳税点集中在每个区的中心,可能的位置有12种,则三个纳税点的组合至多有
=12*11*10/6=220个。
可将问题参数化。
参数的假定:
①i、j、k——所选纳税点的区号;(共有
=220种选择方案)
②m——区号数;(m=1、2、3…12)
③
——m区的居民数,单位为千人;
④
、
、
——分别表示m区到i、j、k区(即所选纳税点)的最小距离;
⑤
=Min[
,
,
]即m区到三个纳税点的最小距离;
则问题可以表述为:
求目标函数:
Min[Z(i,j,k)]=
◆第二步:
模型的求解(考虑用穷举法)
一、距离矩阵的建立
1、i=1,j=2,k=3(即所选的三个纳税点为1区,2区,3区);
(1)m=1,2,3时,显然,
=0;
=0;
=0(即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小,距离为0)
(2)m=4时,由题图显然:
=55(4——3——2——1);
=40(4——3——2);
=18(4——3);
=min(
,
,
)=
=18;
……
(10)m=12时,由题图显然:
=67(12——9——5——1);
=61(12——9——3——2);
=39(12——9——3);
=min(
)=
=39;
2、i=1,j=2,k=4(即所选的三个纳税点为1区,2区,4区);
(1)m=1,2,4时,显然,
=0;
=0;
=0(即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小,距离为0。
(2)m=3时,由题图显然:
=37(3——2——1);
=22(3——2);
=18(3——4);
=min(
)=
=18;
……
(10)m=12时,由题图显然(以此类推):
……
以此类推,可得距离矩阵如下:
二、距离与人数的加权
与人数加权后的距离矩阵如下:
由公式Min[Z(i,j,k)]=
结合与人数加权后的距离矩阵可得结果为:
加权后的最小距离和为2438;在1,6,和11设置纳税点为最佳。
1,2,5,7区的居民去1区的纳税点缴税,3,4,6,9区的居民去6区的纳税点缴税,8,10,11,12区的居民去11区的纳税点缴税。
三、将上述求解过程程序化(以Mathlab为主,C语言程序、Lingo的程序及运行结果见附录)
Mathlab思考过程及程序如下:
第一步,用标号法求出每一个顶点vi至其它各个顶点vj的最短路径长度dij(i,j=1,2,…,12),并将其写成如下距离矩阵:
ShortDistance=
第二步,以各顶点的载荷(人口数)加权,求每一个顶点至其它各个顶点的最短路径长度的加权和,并将其写成如下距离矩阵:
ShortPath=
第三部,用穷举法任选三点,求其他九点中的任意一点到该三点的加权距离的最短距离的加权和,MATLAB中可用矩阵依次求出所有可能的结果,并标记最短距离SDL及最优第三点i,j,k.
第四步,输出,shortpath,SDL及i,j,k.
M=inf;A=[15101218524111613221920];
a=[0,15,M,M,24,M,18,M,M,M,M,M;0,0,22,M,M,M,M,M,M,M,M,M;zeros(1,3),18,16,M,M,M,20,M,M,M;zeros(1,4),M,12,M,M,M,M,M,M;zeros(1,5),M,M,12,24,M,M,M;zeros(1,6),M,M,12,M,M,22;zeros(1,7),15,M,22,M,M;zeros(1,8),30,M,25,M;zeros(1,9),M,19,19;zeros(1,10),19,M;zeros(1,11),21;zeros(1,12)];
a=a+a';
fori=1:
length(a)
pb(1:
length(a))=0;pb(i)=1;d(1:
length(a))=M;d(i)=0;temp=i;
whilesum(pb) tb=find(pb==0); d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); temp=tb(tmpb (1)); pb(temp)=1; end; Shortdistance(i,: )=d; ShortPath(i,: )=d.*A; end; %display¼ÓȨǰ Shortdistance; ShortPath SD=[];SDL=10000; k=1;l=1;p=1;q=1;x=0;y=0;z=0; fori=1: 1: 12 forj=1: 1: 12 fork=1: 1: 12 if(k~=i&k~=j&i~=j) SD=0; forl=1: 1: 12 if(l~=i&l~=j&l~=k) SD=[SDmin([ShortPath(i,l)ShortPath(j,l)ShortPath(k,l)])]; end end SDL1=sum(SD); if(SDL1 SDL=SDL1; x=i;y=j;z=k; end end end end end TheShortestdistance=SDL displayThepointchosed; disp([xyz]) Mathlab运行结果截图如下: 模型评价 模型的优点: 思路比较简单、计算比较方便,只需用计算机软件编程辅助即可。 将问题参数化、公式化,便于理解。 (g;e! ^(v$[(\6U8R7m 模型的缺点: 本模型是在一系列的假设中进行的,并没有充分考虑实际过程中出现的问题。 比如,首先图上的任何两点之间不可能都能以直线的路径行走;其次,居民选择最佳纳税点的考虑因素不仅仅是距离长短,还可能和出行是否方便有关。 模型的改进: 更进一步,如果时间允许的话,我们可以到指定城市实地考察,调查该城市居民人数的稳定分布情况,道路的便捷程度等。 我们也可以编制个一个决策软件: 只要输入各条道路长,各个区的人口数,软件可以给决策者提供一个税收点选址的较优地址。 模型的推广: 此题归属于运筹学问题——线性规划选址问题。 本题是在有限个离散点中选取加权距离最短的优化问题。 例如工厂选址,机场的航班连接,物流中心的安排问题等。 以此题为基础,考虑参数个数的变化对此模型的影响(如道路难度系数,出行费用等等);将此题的离散点连续化,建立更完备的模型体系。 附录一: C语言程序和运行结果截图 C语言程序如下: #include voidfloyd(int(*dist)[13],intn) {inti,j,k; for(k=1;k {for(i=1;i {for(j=1;j {if(((i! =j)&&(dist[i][k]*dist[j][k]! =0))&& ((dist[i][k]+dist[j][k] { dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j]; dist[j][i]=dist[i][j]; } } } } } intmin(intx,inty,intz) {intd; if(x elsed=y; if(d elsereturnz; } voidmain() {intM=0,b[13][13]={0}, i,j,k,m,sum[1500]={0},p=1,q=1,r=1,n=0,summin, a[13][13]={{0}, {0,0,15,M,M,24,M,18,M,M,M,M,M}, {0,15,0,22,M,M,M,M,M,M,M,M,M}, {0,M,22,0,18,16,M,M,M,20,M,M,M}, {0,M,M,18,0,M,12,M,M,M,M,M,M}, {0,24,M,16,M,0,M,M,12,24,M,M,M}, {0,M,M,M,12,M,0,M,M,12,M,M,22}, {0,18,M,M,M,M,M,0,15,M,22,M,M}, {0,M,M,M,M,12,M,15,0,30,M,25,M}, {0,M,M,20,M,24,12,M,30,0,M,19,19}, {0,M,M,M,M,M,M,22,M,M,0,19,M}, {0,M,M,M,M,M,M,M,25,19,19,0,21}, {0,M,M,M,M,M,22,M,M,19,M,21,0}, }, c[13]={0,15,10,12,18,5,24,11,16,13,22,19,20}; sum[0]=10000; summin=sum[0]; floyd(a,13); printf("thedistancematrixis: \n"); for(i=1;i<13;i++) {for(j=1;j<13;j++) printf("%4d",a[i][j]); printf("\n"); } for(i=1;i<13;i++) for(j=1;j<13;j++) for(k=1;k<13;k++) if(i! =j&&j! =k&&k! =i) {n++; for(m=1;m<13;m++) sum[n]=sum[n]+c[m]*min(a[i][m],a[j][m],a[k][m]); if(sum[n] {summin=sum[n]; p=i;q=j;r=k;} } printf("theshortestdistanceis: %d\n",summin); printf("thepointchoosedis: %d%d%d\n",p,q,r); } C语言程序运行结果截图如下: 附录二: Lingo程序和运行结果截图 Lingo程序如下: model: sets: point/1..12/: p,x; way(point,point): d,c; endsets data: d= 01537452460183348405867 15022403852334842556161 37220181630432820583939 45401803412614624624334 24381634036271224494343 60523012360574212503122 18334361275701545224061 33482846124215030372546 48422024241245300381919 40555862495022373801940 58613943433140251919021 67613934432261461940210; p=15101218524111613221920; enddata min=@sum(way(i,j): d(i,j)*p(i)*c(i,j)); @for(point(i): @sum(point(j): c(i,j))=1); @sum(point: x)=3; @for(way(i,j): c(i,j)<=x(j)); @for(way: @bin(c)); @for(point: @bin(x)); end Lingo运行结果截图如下: 附录三: 参考文献表 ☆数学建模案例分析白其峥主编北京: 海洋出版社,2000 ☆数学建模案例精选朱道元等编著北京: 科学出版社,2003 ☆数学建模导论陈理荣主编北京: 北京邮电大学出版社,1999 ☆数学建模: 原理与方法蔡锁章主编北京: 海洋出版社,2000 ☆数学建模的理论与实践吴翊,吴孟达,成礼智编著长沙: 国防科技大学出版社,1999 ☆数学建模作者: 沈继红施久玉高振滨张晓威出版社: 出版日期: 1996年5月第1版页数: 351 ☆数学建模的理论与实践 作者: 吴孟达成礼智等出版社: 出版日期: 1999年8月第1版页数: 370
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