广义积分的收敛判别法.docx
- 文档编号:648068
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:267.76KB
广义积分的收敛判别法.docx
《广义积分的收敛判别法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《广义积分的收敛判别法.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
广义积分的收敛判别法
FinalrevisionbystandardizationteamonDecember10,2020.
广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中,我们将发现大量的积分是不能直接计算的,有的积分虽然可以直接计算,但因为过程太复杂,也不为计算工作者采用,对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言,求其近似值有一个先决条件—积分收敛,否则其结果毫无意义。
因此,判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的.
定理(Cauchy收敛原理)f(x)在[a,+∞)上的广义积分收敛的充分必要条件是:
存在A>0,使得b,>A时,恒有
证明:
对使用柯西收敛原理立即得此结论.
同样对瑕积分(为瑕点),我们有
定理(瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在[a,b)上有定义,在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积,则瑕积分收敛的充要条件是:
,只要0<,就有
定义如果广义积分收敛,我们称广义积分绝对收敛(也称f(x)在[a,+上绝对可积];如收敛而非绝对收敛,则称条件收敛,也称f(x)在[a,+上条件可积.
由于,均有
因此,由Cauchy收敛原理,我们得到下列定理.
定理如果广义积分绝对收敛,则广义积分必收敛.
它的逆命题不一定成立,后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分,类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质.
下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法.
比较判别法:
定理(无限区间上的广义积分)设在[a,+)上恒有(k为正常数)
则当收敛时,也收敛;
当发散时,也发散.
证明:
由Cauchy收敛原理马上得结论成立.
对瑕积分有类似的结论判别法
定理设f(x),g(x)均为[a,b)上的非负函数,b为两个函数的奇点,如存在一个正常数k,使
[a,b),则
1)如收敛,则也收敛。
2)如发散,则也发散.
比较判别法在实际应用时,我们常常用下列极限形式.
定理如果f(x),g(x)是[a,+上的非负函数,且则
(1)如果,且收敛,则积分也收敛.
(2)如果,且发散,则积分也发散.
证明:
如果则对于,存在A,
当时,
即成立.显然与同时收敛或同时发散,在l=0或l=时,可类似地讨论.
使用同样的方法,我们有
定理对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与如果f(x),g(x)是非负函数,且则
(1)当,且收敛时,则也收敛.
(2)当,且发散时,则也发散.
对无限区间上的广义积分中,取作比较标准,则得到下列Cauchy判别法:
设f(x)是[a,+的函数,在其任意闭区间上可积,那么:
定理 若0f(x),p>1,那么积分收敛,如f(x),p1,则积分发散.
其极限形式为
定理如(,p>1),则积分收敛.
如,而,1,则 发散.
例判断下列广义积分的收敛性。
(1)
(2)(m>0,n>0)
解:
(1)因为0
由收敛推出收敛.
(2)因为所以当n-m>1时,积分收敛.当n-m1时,积分发散.
对于瑕积分,使用作为比较标准,我们有下列柯西判别法.
定理 设x=a是f(x)在[a,b上的唯一奇点,在其任意闭区间上可积,那么
(1)如0f(x)(c>0),p<1,则收敛.
(2)如f(x)(c>0),p1,则发散.
瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为
定理设
如0k<,p<1,则收敛
如0 例判别下列瑕积分的敛散性。 (1)(k2<1) (2)(p,q>0) 解: (1)1是被积函数的唯一瑕点 因为= 由知瑕积分收敛. (2)0与都是被积函数的瑕点. 先讨论由 知: 当p<1时,瑕积分收敛;当p1时,瑕积分发散. 再讨论 因 所以当q<1时,瑕积分收敛, 当q1时,瑕积分发散. 综上所述,当p<1且q<1时,瑕积分收敛;其他情况发散. 例求证: 若瑕积分收敛,且当时函数f(x)单调趋向于+,则xf(x)=0. 证明: 不妨设,f(x)0,且f(x)在(0,1)上单调减少。 已知收敛,由柯西收敛准则,有 (<1),有 从而 0< 或 0 即xf(x)=0. 例求证瑕积分(>0),当<时收敛 当时发散. 证明: ∵= = 所以当3<1时,即<时,瑕积分收敛.当31,即时,瑕积分发散. 前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性,为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论,我们先给出下面的重要结果. 定理(积分第二中值定理)设g(x)在[a,b]上可积,f(x)在[a,b]上单调,则存在ξ[a,b] 使 = 为了证明定理,我们先讨论下列特殊情况. 引理设f(x)在[a,b]上单调下降并且非负,函数g(x)在[a,b]上可积,则存在c[a,b],使 =f(a) 证明: 作辅助函数=f(a)对[a,b]的任一分法 P: a=x0 我们有 = 由此得到 |-| =|| △xi 这里L是|g(x)|在[a,b]的上界,是在上的振幅,从这个估计式可知,当时,应当有 我们来证明 为此,引入记号 G(x)= 并作如下变换 = = = = () = 因为,, 所以 = {} = 同样可证 我们证明了不等式 即 现令|p|,取极限,就得到 因此,存在c[a,b],使得 = (因为在[]上是连续函数) 也就是=证毕 下面我们证明定理 证明: 如f(x)是单调下降的,则f(x)-f(b[a,b,使 = 即 = 对f(x)单调上升的情形,可作类似讨论. 使用积分第二中值定理,我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法 定理 若下列两个条件之一满足,则收敛 (1)(Abel判别法)收敛,g(x)在[a,]上单调有界; (2)(Dirichlet判别法)设F(A)=在[a,]上有界,g(x)在[a,上单调,且g(x)=0. 证明: (1),设|g(x)|M,[a,),因收敛,由Cauchy收敛原理,,使时,有 由积分第二中值定理,我们得到 += 再由Cauchy收敛原理知收敛 (2)设M为F(A)在[a,+上的一个上界,则,显然有 同时,因为g(x)=0,所以存在,当x>A0时,有 g(x)|< 于是,对有 += 由Cauchy收敛原理知收敛 例讨论广义积分的敛散性, 解: 令f(x)=,g(x)=cosx 则当x时,f(x)单调下降且趋于零, F(A)==在[a,上有界. 由Dirichlet判别法知收敛, 另一方面 因发散,收敛 从而非负函数的广义积分发散 由比较判别法知发散, 所以条件收敛 例讨论广义积分的敛散性. 解: 由上一题知,广义积分收敛,而arctanx在[a,+上单调有界,所以由Abel判别法知收敛。 另一方面,当时,有 前面已证发散 由比较判别法知发散,所以条件收敛. 对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法 定理若下列两个条件之一满足,则收敛: (b为唯一瑕点) (1)(Abel判别法)收敛,g(x)在[a,上单调有界 (2)(Dirichlet判别法)=在[a,上有界,g(x)在(上单调,且. 证明: (1)只须用第二中值定理估计 2)的证明. 例讨论积分(0 解: 对于0 由收敛知 绝对收敛敛 对于0p<2,因为函数f(x)=,当时单调趋于0,而函数 g(x)= 满足 所以积分 收敛. 但在这种情况下, 是发散的, 事实上 由 因发散,收敛,知发散 从而当0p<2时,积分条件收敛.最后我们讨论p=2的情形, 因为 当时,上式无极限,所以积分发散. 值得注意的是,两种广义积分之间存在着密切的联系,设中x=a为f(x)的瑕点,作变换y=,则有=而后者是无限区间上的广义积分. 习题 1、论下列积分的敛散性(包括绝对收敛,条件收敛,发散) (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12). 2.证明: 若瑕积分收敛,且当时,函数f(x)单调趋于+,则xf(x)=0. 3.若函数f(x)在有连续导数f/(x),且无穷积分与都收敛,则f(x)=0. 4.设f(x)在上可导,且单调减少,f(x)=0,求证: 收敛收敛. 5.证明: 若函数f(x)在上一致连续,且无穷积分收敛,则f(x)=0. 6.求证: 若无穷积分收敛,函数f(x)在内单调,则f(x)=o(). 7.计算下列广义二重积分的值. (1)其中D=; (2); (3),并由此证明. 8、讨论下列广义重积分的敛散性. (1),; (2).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 广义 积分 收敛 判别
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)