2/[c(1-c)]<=1/[a(1-b)]+1/[b(1-a)]
22,,,用二次函数单调性容易得到,ccbb
(1)
(1),,211,,,,,22ccbbaa
(1)
(1)
(1),,,,,,ccaa
(1)
(1),,,
2211aabb,,,11aabbab,,,又因为,,,,,bbaaabab
(1)
(1)
(1)
(1),,,,abbaabab
(1)
(1)
(1)
(1),,,,
21111(),,ab()()0,,,,,bbaaabbaabab
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1),,,,,,
21111所以,,,,,得证。
ccbbaaabba
(1)
(1)
(1)
(1)
(1),,,,,
10
11
哎,这题除了数型结合就没什么好办法了。
画图
22228xy,,(既椭圆的上半部)和直线yx,,83
。
不等式解就是椭圆在直线上部分所对的x的yxa,,
范围。
这图象中的两段颜色是几个讨论的分解处,23是通过
直线和椭圆想切得到的。
下面讨论,
时,解集是[2,2],a,,2
2)当时,由,,,22a1)当222,28xy,,,,,aa242,,x,3xya,,,0,
但是很明显在这段图象中解集应该是-2到大的一个根既
2,,,aa242[2,],3
22,,,,,,aaaa2422423)当[,],,,223a时,解集就是;两根之间既33
4)当23,a时,不等式无解
12
我看到有平方和就想用用三角带换,只是这不是在条件去带,而是要求的东西。
我把它称为“反起带”
令22222,令xtayta,,sin,cosxyttxyt,,,,,,(0)
带如到远条件中有
12222222sincos2sincos1sinsin21tatataaaa,,,,,,,,2t
1311sin()a,,,,,,很明显了242t
,,,21sin()[,][,],,,,,,,at,,再开方。
最大最2422222t
小都有,呵呵。
13
14
脱掉导数的外衣这题的本质是二次函数,2xxxxxt,1,且,,,gxxbxc()
(1)0,,,,,的两根是12211也就是说
2比较x与的大小。
tbtc,,1
22这里注意到gxxbxc()
(1)0,,,,,hxxbxcx(),,,,的根就是的根,所以2xhx()hx()就是ht(),就是。
所以要比较的就是ht()与。
下面就要用到二次tbtc,,111
2函数xt,hxxbxc(),,,x的单调性了。
因为,现在只要知道两自变量t和与11
b2hxxbxc(),,,的对称轴的关系就可以了。
2
2因为由gxxbxc()
(1)0,,,,,xx,的两根是,所以12
bxxbxxbxx,,,,,?
,,,,,11121又1221112
b所以有hx()ht()tx,,,则<112
15
请教大家一个问题
f(x)=x^2+2x+alnx
x>=1时,不等式f(2x-1)>=2f(t)-3恒成立
问a的取值范围
呵呵,我来做做看。
我都没想到楼上几位那些简便的高等的办法。
我就想到个笨办法。
问题肯定已经变为222(21)[lnln(21)]xxaxx,,,,,[1,),,在恒成立了。
222(21)[lnln(21)]0xxaxx,,,,,,在恒成立。
[1,),,
22令gxxxaxx()2(21)[lnln(21)],,,,,,,因为=0,g
(1)下面我的想法是原问题既是
22242xxa,,x,1,gxxax()2(22)()2
(1),,,,,,,0,因为,又由二次xxxx21(21),,xx(21),
22函数yxxa,,,42yxxa,,,42的单调性可知,在只可能先负后正或者恒非[1,),,负。
若是先负后正则在先减后增,由=0,则不满足gx()[1,),,g
(1)
222gxxxaxx()2(21)[lnln(21)],,,,,,yxxa,,,42在恒成立,所以在[1,),,,0
恒成立,既[1,),,,0a,2
16
17
已知二次函数f(x)=2x的平方—(a—2)x—2a的平方—a,,若在区间[0,1]内至少存在一个实数b,使f(b)>0,则实数a的取值范围是___________
此题也可以考虑反面
18,
正,算一个。
犯得多的就是定和等上。
楼主犯的是定。
我这里把等也说说。
1举个例子。
,求的最小值。
x,02,,x2x
111错误一,也就是你的错误。
x,,22,当x=1时等号成立,再代入到有最小值2xxx为2。
你的错误是没有注意到积的定植你先把等号取了后得到的x代进去的,两
正数一积起来既然就是个定植。
这种错误算的最小值比真实结果要大。
1111错误二,x,,2222,,,又因为,所以02,,x2xxx2
11所以x,,2,22。
所以最小值为。
错误原因,中间的两个等号不能同时取。
所2xx
以跟2是取不到的。
这种答案比真实结果要小。
111这里还要说明一下。
其实上面那两个式子x,,2,2x,,2还有从不等式角22xxx
度来说都没错。
因为52是正确的。
但是你要说上式的最小值是2或者就不对了,最,3
小值是一定能取得到的。
1111xxxxxx13正解:
33x,,,,,,33x,2,当,,既时取。
你可以检2222xxx2222422x验下。
我这最小值一定比上两错法解出来的一小一大。
18
19
我来个待定系数法如何。
1()()()()mxpyqzyz,,mpq原式=
11mxpyqzyz,,,,4()()()()[]mxpyqzyz,,mpqmpq4
最后我们要看到的是mpq,,,,11,因为这样才能保证最后那分子上是定植。
所以pq,
我们还要看到的是取等条件mxpypzyz,,,,()yzp,,,2,所以,由
3mpq,,,,11,则m=3,再结合x+y+z=6得到x=2
113()xyz,,4所以综上,原式=322()[]xyzyz,,3*2*2124
(此题另法:
xyz(y+z)=<1/4x(y+z)^3=1/12[3x(y+z)^3]=<1/12[(3x+3y+3z)/4]^4
就出来了。
等号成立时3x=y+z即3x=6-x。
x=3/2,y=z=9/4)20
已知数列{an}满足Sn=n/2*an(n?
N*),Sn是{an}的前n项的和,a2=1证明:
3/2?
(1+1/2an+1)的an+1次方<2(中间n+1为下标)请大家做一下我想了好久没想出来谢了!
!
(其实题目还有第一问的是数列an的通项我求出了是an=n-1)
左边,当n=1时显然成立,当n》1时。
111n01
(1)....1,,,,,,CCnn222nn
112nx右边本来有一个放缩的方法,但是我觉得太难想了,还是说下一个常规又好用的办法,导数,只需证,两边取自然对数有。
(1)4,,
(1)4,2,,,x2nx证明不等式。
1要证1111xln
(1)ln4,,,既证,令xln
(1)ln4,,,,,,tt,0xxx2
1tt则只需证ftt()41,,,,构造函数,14,0,,,,tt2
tt0,ftete()ln44104loglog(log),,,,,,,,f(0)4010,,,,,又444
1t因为(0,]log(log)0e,0log1,,eftt()41,,,,所以,所以函数在单增且连续,4442
所以。
证毕。
ftf()(0)0,,
另法放缩
21
求函数y=a^(2x)+2a^x-1(a为非1的正数),在区间[-1,1]内函数的最大值为14,
求a值。
我觉得这题换元法是应该先想到的。
2xytt,,,21,函数为,二次函数。
at,
令
112当ytt,,,21时,,就是说在的最大值为14。
ta,[,]ta,[,]01,,aaa
11因为二次函数对称轴为-1,ya,,,,或舍)14(1t,35a
1当ya,,,,1435或(舍)时,,ta,[,]a>1ta,a
1所以a,或33
22
23
正实数x1,x2及函数f(x)满足:
x4=[1+f(x)]/[1-f(x)],且f(x1)+f(x2)=1,则f(x1+x2)
的最小值为()
要做答案直接令相等就是。
法一:
111先整理出,,xx1241412,,
2xx,12所求的是41,的最小值,我们只需要求出的最小值既可。
xx,1241,
111相当于是,,,,(,0)abab求的最小值。
ab,,112
a,3a,34ba,,?
0,1,所以abaa,,,,,,159,当a=3取。
此时b=3a,1aa,,11
再带回去算就是了。
法2:
111由2309ababab,,,,,,,,,,,,abab30,则当且仅当a=b=3ab,,112
取等。
24
22,总想三角带换ab,
看到222令abp,,,则apubpu,,||cos,||sin
22,t2则有,正负可以由下面的三tptupup,,,,,,,||cos||sin20||02tu,,1sin(),
角函数调整,所以不妨就假设
2221,t21325,t2|||||||1|pt,,,,,||||||p,222sin()u,sin()5u,,,t,1tt,,11当||2,sincos1tutu,,,,既可。
另法:
25
x=[1+f(x)]/[1-f(x)],且f(x1)+f(x2)=1,则f(x1+x2)4
正实数x1,x2及函数f(x)满足:
的最小值为()
26
26
27+1
28
左边既
pppp5739,,,,
pp构造函数gxxxx()(6)(6),16,,,,,,
11,gxp()[]0,,,,所以减,所以证得。
gx()11,,pp,,xx(6)(6)
pppppppp右边既证(直接化出来的)533,,,,,,,
pphxxxx()(10)(10),110,,,,,,构造函数ppsxxxx()(30)(30),130,,,,,,
同理可得两函数减。
pppppppp那么就有515911,25352733,,,,,,
29
ann,已知且不为,求证:
aaan,,,01().2a,1
令
gng()
(1)1,,
30已知数列{an}满足a(n+1)=(2an+1)/an+2,且a1=5/3,设bn=1/(an-1),
(1)证明:
数列{bn+1/2}为等比数列,并求其通项公式.(已解决)
(2)证明:
a1+a2+a3++an11115,所以要证的式子即为a,,1,,,,...n1111n4,1n,12322323,,,,,,,2222
127n,1下由分析法易证(*),,()1315n,123,,2
11122727n,1,,,,,,,,,...()...()1113315315n,122323,,,,,222
,证毕。
27n,1(1()),5575n,1315,,,,()7则441541,15
(*)是我留的记号,这是这题的关键,楼主先想想。
然后再问。
1115思路:
,左边是和式,但是我们求不了他的和,肯定,,,,...1114n,122323,,,,,222
要将左边放大成一个能求和的等比数列。
也就是我那(*),怎么想到是他的。
左边的首项为首项,构造一个无穷递缩等比数列使其各项和为5/4。
这样就可以找到那个等比数列,并且这个等比数列的和与5/4是可以无限接近的。
31
题目意思是说函数gx()的图
象上存在点在函数fx()的图
象上方
-a应该在-1和3之间
所以-332
f(x)=ax^2+bx+c若?
f
(1)?
?
1,?
f(-1)?
?
1,?
f(0)?
?
1求证:
对-1?
x?
1,有?
f(x)?
?
5/4令2axbxcpabcpabcpc,,,,,,,,,()()123
22xxxx,,2通过比较有pppx,,,,,,1。
则有12322
22xxxx,,2|()||||||||||1|||fxabcabcxc,,,,,,,,22
22xxxx,,2,,,,|||||1|x22
下面将区间分成[1,0][0,1],与分别证明就可以了。
52,fxxx()1,,,,时,[1,0],4
52,fxxx()1,,,,时,,综上,命题得证。
[0,1]4
解析:
这题类型来自于这一常见题,方法就是配好已知几个量前面的系数用来表示所求量。
若二次函数y=f(x)的图象经过原点,且1?
f(-1)?
2,3?
f
(1)?
4,求f(-2)的范围.
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f
(1),而
1?
f(-1)?
2,3?
f
(1)?
4,?
所以3?
3f(-1)?
6.?
?
+?
得4?
3f(-1)+f
(1)?
10,即6?
f(-2)?
10.
33
为什么第二问会单单给你减个2而不减其他的。
其实这是题目的提示。
常规思想,带入递推
关系即可。
此题数据好求出通项还可以算,如果该题特征根是个无理数,那基本上用解出来
算的方法就不现实了。
第一问,典型的数归法。
只写关键步骤
假设当n=k时,
23,,a,k
a2x2k则当n=k+1时,a23,,a,,,由及函数fx(),,的图象知kk,12a2xk
322
(2)(3)3,,,,,,faf,故成立k,123
2aa
(2),2nn,,2aaaa,,222211111,nnnn1第二问。
,,,,,,,aaaaa,,,22222234nnnnn
34
若函数,且y>4对定义域内的x恒成立,则a的取值范围是________________。
(,)(0,)xx,,,,要求在这范围12
12若a>0,则定义域为内真数(,)xx是不会恒大于16的,因为这3xa,,12x
一段是(0,a-12),要恒大于16,那么这一段就不能要,
所以,且a,,120a,,1216
若a<0,那就没话说了,因为此时在定义域范围内最小
值一定小于12了,所以不可能恒大于16。
35均值不等式求最值,需要配系数。
36设f(x)=ksinx+1(k为正实数),判断是否存在最小正数a,使不等式
x>f(x)在a(0,+无穷)上恒成立,请证明你的结论。
k解:
由图象观察可得,在0那点有公切线时就是极限位置。
此时ae,
k下证,只有当ae,时才满足条件,
xx设,gxakx()sin1,,,gxaakx()lncos,,g(0)0,,则,,
xkxkxk
(1)当,gxaakxkekxkex()lncoscos(cos),,,,,,ae,时,,0
x故gxakx()sin1,,,(0,),,gxg()(0)0,,在增,则
,xk2,,,gaa()ln0,,gxaakx()lncos,,时,由,,gak(0)ln0,,,ae,2
(2)当且,,x是连续函数,所以在内有解,取当中最小解为gx()gx()0,(0,)02
则因为,,(0,)x(0,)x,故在内,故在内,gak(0)ln0,,,gx()0,gxg()(0)0,,00
不成立,
k综上,ae,
注:
(此类不等式恒成立,在参数不能分离或分离后无法求最值的情况下,往往要多注意一
下区间的端点值,此值一般都使得不等式两边相等,如该题,那么要恒大于0,
(1)g(0)0,中讨论出的严格增时得到的a的范围肯定满足,再讨论如果a不在该范围内就会推出矛盾,这个解法在高考题中也出现过多次了)
37已知动点P(x,y)满足|x-1|+|y-a|=1,O为坐标原点,若|向量PO|的最大值的取值
范围为[(17^1/2)/2,17^(1/2)],则实数a的取值范围是: