中考数学与圆的切线相关的证明与计算.docx
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中考数学与圆的切线相关的证明与计算
中考数学与圆的切线相关的证明与计算
圆的切线:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
一、圆的切线的判定及相关计算
1.如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O,与BC交于点D,点E是弧BD的中点,
连接AE交BC于点F,∠ACB=2∠BAE.
求证:
AC是⊙O的切线.
例题1图
【分析】连接AD,利用等弧所对圆周角相等及∠ACB=2∠BAE可得到∠BAD=∠BCA,
再结合直径所对圆周角为直角即可得证.
证明:
如解图,连接AD.
例题1解图
∵点E是弧BD的中点,
∴弧BE=弧DE,
∴∠1=∠2.
∵∠BAD=2∠1,∠ACB=2∠1,
∴∠ACB=∠BAD.
∵AB为⊙O直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴∠DAC+∠C=90°.
∵∠C=∠BAD,
∴∠DAC+∠BAD=90°.
∴∠BAC=90°,即AB⊥AC.
又∵AB是⊙O的直径,
∴AC是⊙O的切线.
证明切线的常用方法:
1.直线与圆有交点,“ 连半径,证垂直 ”.
(1)图中有90°角时,证垂直的方法如下:
①利用等角代换:
通过互余的两个角之间的等量代换得证;
②利用平行线性质证明垂直:
如果有与要证的切线垂直的直线,则证明半径与这条直线平行即可;
③利用三角形全等或相似:
通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证.
(2) 图中无90°角时:
利用等腰三角形的性质,通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线,
再根据“三线合一”的性质得证.
2.直线与圆无交点,“ 作垂线,证相等 ”.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O是△ABC的外接圆,点D在⊙O上,且弧AD=弧CD,
过点D作CB的垂线,与CB的延长线相交于点E,并与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径R=5,AC=8,求DF的长.
例题2图
【解析】
(1)证明:
如解图,连接DO并延长,与AC相交于点P.
例题2解图
∵弧AD=弧CD,
∴DP⊥AC.
∴∠DPC=90°.
∵DE⊥BC,
∴∠CED=90°.
∵∠C=90°.
∴∠ODF=90°,而点D在⊙O上,
∴DF是⊙O的切线;
(2)解:
例题2解图
∵∠C=90°,R=5,
∴AB=2R=10.
在Rt△ABC中,根据勾股定理可得,BC=6.
∵∠DPC+∠C=180°,
∴PD∥CE.
∴∠CBA=∠DOF.
∵∠C=∠ODF,
∴△ABC∽△FOD.
∴CA/DF=BC/OD,即8/DF=6/5,
∴DF=20/3.
类型二、切线性质的相关证明与计算
3.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点B作⊙O的切线DE,
与AC的延长线交于点D,作AE⊥AC交DE于点E.
(1)求证:
∠BAD=∠E;
(2)若⊙O的半径为5,AC=8,求BE的长.
例题3图
【解析】
(1)证明:
∵⊙O与DE相切于点B,AB为⊙O的直径,
∴∠ABE=90°.
∴∠BAE+∠E=90°.
又∵∠DAE=90°,
∴∠BAD+∠BAE=90°.
∴∠BAD=∠E;
(2)解:
如解图,连接BC.
例题3解图
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=8,AB=2×5=10.
∴在Rt△ACB中,根据勾股定理可得BC=6.
又∵∠BCA=∠ABE=90°,∠BAD=∠E,
∴△ABC∽△EAB.
∴AC/EB=BC/AB,即8/EB=6/10,
∴BE=40/3.
4.如图,⊙O的半径OA=6,过点A作⊙O的切线AP,且AP=8,连接PO并延长,
与⊙O交于点B、D,过点B作BC∥OA,并与⊙O交于点C,连接AC、CD.
(1)求证:
DC∥AP;
(2)求AC的长.
例题4图
【解析】
(1)证明:
∵AP是⊙O的切线,
∴∠OAP=90°.
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BCD=90°.
∵OA∥CB,
∴∠AOP=∠DBC,
∴∠BDC=∠APO.
∴DC∥AP;
(2)解:
∵AO∥BC,OD=OB,
例题4解图
∴如解图,延长AO交DC于点E,则AE⊥DC,OE=1/2BC,CE=1/2CD.
在Rt△AOP中,根据勾股定理可得:
OP=10.
由
(1)知,△AOP∽△CBD,
∴BD/OP=BC/OA=CD/AP,即12/10=BC/6=DC/8,
∴BC=36/5,DC=48/5.
∴OE=18/5,CE=24/5,AE=OA+DE=6+18/5=48/5,
在Rt△AEC中,根据勾股定理可得:
AC=24√5/5.
5.如图,AC是⊙O的直径,AB是⊙O的一条弦,AP是⊙O的切线.
作BM=AB,并与AP交于点M,延长MB交AC于点E,交⊙O于点D,连接AD.
(1)求证:
AB=BE;
(2)若⊙O的半径R=5,AB=6,求AD的长.
例题5图
【解析】
(1)证明:
∵AP是⊙O的切线,
∴∠EAM=90°,
∴∠BAE+∠MAB=90°,∠AEM+∠AME=90°.
又∵AB=BM,
∴∠MAB=∠AMB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE;
(2)解:
如解图,连接BC.
例题5解图
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=∠EAM=90°,
在Rt△ABC中,AC=10,AB=6,根据勾股定理可得:
BC=8.
由
(1)知,∠BAE=∠AEB,
∴△ABC∽△EAM,
∴∠C=∠AME,AC/EM=BC/AM,即10/2=8/AM,
∴AM=48/5.
又∵∠D=∠C,
∴∠D=∠AMD.
∴AD=AM=48/5.
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