平面向量及其应用单元测试题含答案.docx
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平面向量及其应用单元测试题含答案
一、多选题
1.在中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知,,且,则()
A.B.C.D.
2.已知的面积为3,在所在的平面内有两点P,Q,满足,,记的面积为S,则下列说法正确的是()
A.B.
C.D.
3.在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,已知A=,a=7,则以下判断正确的是()
A.△ABC的外接圆面积是;B.bcosC+ccosB=7;
C.b+c可能等于16;D.作A关于BC的对称点A′,则|AA′|的最大值是7.
4.在中,内角的对边分别为若,则角的大小是()
A.B.C.D.
5.设,,是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列选项,其中正确的有()
A.
B.与不垂直
C.
D.
6.在△ABC中,点E,F分别是边BC和AC上的中点,P是AE与BF的交点,则有()
A.B.
C.D.
7.如图,在平行四边形中,分别为线段的中点,,则()
A.B.
C.D.
8.已知为的重心,为的中点,则下列等式成立的是()
A.B.
C.D.
9.下列命题中,结论正确的有()
A.
B.若,则
C.若,则A、B、C、D四点共线;
D.在四边形中,若,,则四边形为菱形.
10.已知、是任意两个向量,下列条件能判定向量与平行的是()
A.B.
C.与的方向相反D.与都是单位向量
11.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是.则第四个顶点的坐标为()
A.B.C.D.
12.如图所示,梯形为等腰梯形,则下列关系正确的是()
A.B.C.D.
13.已知中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,则()
A.2B.3C.D.
14.如果是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是()
A.可以表示平面内的所有向量
B.对于平面内任一向量,使的实数对有无穷多个
C.若向量与共线,则有且只有一个实数,使得
D.若存在实数使得,则
15.下列命题中正确的是()
A.对于实数m和向量,恒有
B.对于实数和向量,恒有
C.若,则有
D.若,则
二、平面向量及其应用选择题
16.中华人民共和国国歌有个字,小节,奏唱需要秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和,第一排和最后一排的距离为米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为(米/秒)
A.B.C.D.
17.已知所在平面内的一点满足,则()
A.1∶2∶3B.1∶2∶1C.2∶1∶1D.1∶1∶2
18.在中,,,分别是角,,所对的边,若,且,则的形状是()
A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形
19.中,内角A,B,C所对的边分别为.①若,则;②若,则一定为等腰三角形;③若,则一定为直角三角形;④若,,且该三角形有两解,则的范围是.以上结论中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
20.下列说法中说法正确的有()
①零向量与任一向量平行;②若,则;③④;⑤若,则,,为一个三角形的三个顶点;⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
A.①④B.①②④C.①②⑤D.③⑥
21.在中,、、分别是角、、的对边,若,则的面积为()
A.B.C.D.
22.,为单位向量,且,则向量,夹角为()
A.B.C.D.
23.已知点O是内部一点,并且满足,的面积为,的面积为,则
A.B.
C.D.
24.下列命题中正确的是()
A.若,则在上的投影为
B.若,则
C.若是不共线的四点,则是四边形是平行四边形的充要条件
D.若,则与的夹角为锐角;若,则与的夹角为钝角
25.在中,,,且,,则点P的轨迹一定通过的()
A.重心B.内心C.外心D.垂心
26.中,,,分别为,,的对边,如果,,成等差数列,,的面积为,那么等于()
A.B.C.D.
27.在中,内角的对边分别是,若,,,则()
A.B.C.D.
28.在锐角三角形中,角,,的对边分别为,,,若,则的取值范围为
A.B.
C.D.
29.如图所示,矩形的对角线相交于点,为的中点,若,则等于()
A.B.
C.D.
30.已知点O是内一点,满足,,则实数m为()
A.2B.-2C.4D.-4
31.在中,下列命题正确的个数是()
①;②;③点为的内心,且,则为等腰三角形;④,则为锐角三角形.
A.1B.2C.3D.4
32.在中,,则的形状为().
A.钝角三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.不确定
33.如图,在直角梯形中,,为边上一点,,为的中点,则=()
A.B.
C.D.
34.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且,点在线段上(与点,不重合),若,则的取值范围是()
A.B.
C.D.
35.如图,在中,,点在边上,且,则等于()
A.B.C.D.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、多选题
1.AD
【分析】
利用正弦定理,两角和的正弦函数公式化简,结合,可求,结合范围,可求,进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】
∵,
整理可得:
,
可得,
∵A为三角形内角,,
∴,故A正确
解析:
AD
【分析】
利用正弦定理,两角和的正弦函数公式化简,结合,可求,结合范围,可求,进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】
∵,
整理可得:
,
可得,
∵A为三角形内角,,
∴,故A正确,B错误,
∵,
∴,
∵,且,
∴,
解得,
由余弦定理得,
解得,故C错误,D正确.
故选:
AD.
【点睛】
本题主要考查正弦定理,余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
2.BCD
【分析】
本题先确定B是的中点,P是的一个三等分点,判断选项A错误,选项C正确;
再通过向量的线性运算判断选项B正确;最后求出,故选项D正确.
【详解】
解:
因为,,
所以B是的中点,P是的
解析:
BCD
【分析】
本题先确定B是的中点,P是的一个三等分点,判断选项A错误,选项C正确;
再通过向量的线性运算判断选项B正确;最后求出,故选项D正确.
【详解】
解:
因为,,
所以B是的中点,P是的一个三等分点,如图:
故选项A错误,选项C正确;
因为,故选项B正确;
因为,所以,,故选项D正确.
故选:
BCD
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式,是基础题.
3.ABD
【分析】
根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误.
【详解】
对于A,设的外接圆半径为,根据正弦定理,可得,所以的外接圆面积是,故A正确;
对于B,根据正弦定
解析:
ABD
【分析】
根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误.
【详解】
对于A,设的外接圆半径为,根据正弦定理,可得,所以的外接圆面积是,故A正确;
对于B,根据正弦定理,利用边化角的方法,结合,可将原式化为,故B正确.
对于C,
,故C错误.
对于D,设到直线的距离为,根据面积公式可得,即,再根据①中的结论,可得,故D正确.
故选:
ABD.
【点睛】
本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题,解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等.
4.BD
【分析】
由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.
【详解】
由正弦定理可得,
而,
故或.
故选:
BD.
【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握
解析:
BD
【分析】
由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.
【详解】
由正弦定理可得,
而,
故或.
故选:
BD.
【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
5.ACD
【分析】
A,由平面向量数量积的运算律可判断;B,由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断;C,由与不共线,可分两类考虑:
①若,则显然成立;②若,由、、构成三角形的三边可进行判断;D,由平
解析:
ACD
【分析】
A,由平面向量数量积的运算律可判断;B,由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断;C,由与不共线,可分两类考虑:
①若,则显然成立;②若,由、、构成三角形的三边可进行判断;D,由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
【详解】
选项A,由平面向量数量积的运算律,可知A正确;
选项B,,
∴与垂直,即B错误;
选项C,∵与不共线,
∴若,则显然成立;
若,由平面向量的减法法则可作出如下图形:
由三角形两边之差小于第三边,可得.故C正确;
选项D,,即D正确.
故选:
ACD
【点睛】
本小题主要考查向量运算,属于中档题.
6.AC
【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.
【详解】
如图:
根据三角形中线性质和平行四边形法则知,
A是正确的;
因为EF是中位线,所以B是正确的;
根据三角形重心
解析:
AC
【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.
【详解】
如图:
根据三角形中线性质和平行四边形法则知,
A是正确的;
因为EF是中位线,所以B是正确的;
根据三角形重心性质知,CP=2PG,所以,所以C是正确的,D错误.
故选:
AC
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用,熟记一些基本结论是求解问题的关键,属于中档题.
7.AB
【分析】
由向量的线性运算,结合其几何应用求得、、、,即可判断选项的正误
【详解】
,即A正确
,即B正确
连接AC,知G是△ADC的中线交点,如下图示
由其性质有
∴,即C错误
同理
,
解析:
AB
【分析】
由向量的线性运算,结合其几何应用求得、、、,即可判断选项的正误
【详解】
,即A正确
,即B正确
连接AC,知G是△ADC的中线交点,如下图示
由其性质有
∴,即C错误
同理
,即
∴,即D错误
故选:
AB
【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用,其中结合了中线的性质:
三角形中线的交点分中线为1:
2,以及利用三点共线时,线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
8.ABD
【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.
【详解】
解:
如图,根据题意得为三等分点靠近点的点.
对于A选项,根据向量加法的平行四边形法则易得,故A正确;
对于B选项,,由于为三
解析:
ABD
【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.
【详解】
解:
如图,根据题意得为三等分点靠近点的点.
对于A选项,根据向量加法的平行四边形法则易得,故A正确;
对于B选项,,由于为三等分点靠近点的点,,所以,故正确;
对于C选项,,故C错误;
对于D选项,,故D正确.
故选:
ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则,是基础题.
9.BD
【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得;
【详解】
解:
对于A,,故A错误;
对于B,若,则,所
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