重庆市普通高中数学新课程模块教学要求.docx

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重庆市普通高中数学新课程模块教学要求

重庆市普通高中数学新课程模块教学要求

重庆市教育科学研究院　张晓斌

为启动我市普通高中新一轮数学课程改革，根据《普通高中课程方案（实验）》、《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）的内容和要求，结合我市现阶段高中数学教学的实际情况，特提出以下普通高中数学新课程模块教学要求。

一、必修课程

（一）数学1

本模块包括集合、函数的概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）。

1．集合

（1）集合的含义与表示

①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合间的“属于”关系。

②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

（2）集合间的基本关系

①理解集合间的包含与相等关系的含义，能识别给定集合的子集。

②在具体情境中，了解全集与空集的含义。

（3）集合的基本运算

①理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集。

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

③能使用韦恩（Venn）图表达集合间的关系及运算，初步体会直观图示对理解抽象概念的作用。

本模块对集合知识的定位是将其作为一种语言来学习，使学生感受用集合语言表述数学内容的简洁性与准确性。

在本部分知识的教学中，应尽量结合学生的生活经验与数学知识，通过列举丰富的实例，使学生逐步理解集合的含义。

本部分知识的重点和难点是集合的关系与运算。

在例题、习题中应围绕两种重要的集合——数集与点集展开，注意不要过分强调细枝末节的讲解和训练，避免人为地编制一些繁难的偏题，如对集合的“三性”（确定性、无序性、互异性）的讲解和训练。

在集合间的关系和运算的教学中，适当使用韦恩（Venn）图的方法是重要的，让学生初步体会自然语言、集合语言、图形语言的特点，为以后学习和发展学生运用数学语言进行表达和交流的能力打下一定的基础。

2．函数的概念与基本性质

（1）函数的概念

①通过丰富实例，进一步体会函数是描绘变量相互依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

②了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）函数的表示方法

①在实际情境中，能根据不同需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

②通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

（3）函数的基本性质

①通过已学习过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性与最大（小）值及其几何意义。

②结合具体函数，了解奇偶性的含义。

③会运用函数图象理解和研究函数的性质。

在本部分知识的教学中，函数的概念是核心内容。

教学中应通过回顾初中函数的定义，结合具体实例，逐步探索高中函数的概念，感受与初中所学函数内容之间的衔接和再次学习函数的必要性，体会初、高中函数概念的区别与联系。

通过具体实例的剖析，使学生逐步体会函数是两个数集之间一种特殊的对应关系。

通过从学生已掌握的具体函数入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。

再通过后期对指数函数、对数函数、幂函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。

像函数这样的核心概念，需要多次接触、反复体会，逐步加深理解，才能真正掌握，并加以灵活运用。

在教学中要重视图形在数学学习中的作用，从几何（函数图形）的角度帮助学生理解函数概念和性质，体会数形结合思想的初步应用。

在本部分知识中，函数的单调性、最大（小）值、奇偶性是教学难点，教学中应把握它们的几何特征，通过对图形的直观观察，初步得到代数形式的描述性定义，结合数、形的特征分析，进一步得到上述性质的严格定义。

逐步加深学生对函数性质的理解，体会数形结合思想的初步应用。

在教学中应强调对函数概念本质的理解，削弱对定义域、值域和判断是否为同一函数等问题的技巧训练，避免人为地编制一些偏难题目，目的是为了使学生更好地理解函数的基本思想和实质。

3．基本初等函数Ⅰ

（1）指数函数

①通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景。

②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质。

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算机或计算器画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性和特殊点。

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

（2）对数函数

①理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发展历史及在简化运算中的作用。

②通过具体实例，了解对数函数模型的实际背景。

体会对数函数是一类重要的函数模型。

③能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性和特殊点。

④知道指数函数

与对数函数

互为反函数（

，

）。

（3）幂函数

①通过具体实例，了解幂函数的概念。

②结合函数

的图象，了解幂函数的变化情况。

本部分知识是在建立一般函数概念、性质的基础上给出的几种具体函数模型。

在指数幂的教学中，要注意控制分数指数幂运算的难度。

要在回顾初中学习的整数指数幂的概念及运算性质的基础上，结合实例逐步引入有理指数幂及运算性质，以及实数指数幂的意义及运算性质，体会“用有理数逼近无理数”的思想。

有条件的学校可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”的过程。

在指数函数、对数函数的教学中，通过使学生经历由具体的实例抽象出指数函数、对数函数概念的过程，逐步体会指数函数和对数函数是一类与现实生活紧密相联的重要函数模型，强调它们的实际背景和应用价值。

教学中可以让学生使用计算器或计算机画出函数的图象，探索并理解指数函数、对数函数的单调性和特殊点，逐步加深数形结合思想、分类与整合思想的理解。

《课程标准》降低了对反函数的要求，只要求知道指数函数

与对数函数

（

，

）互为反函数，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。

此外，对于对数函数内容的要求也有所降低，教学中应注意减少人为的过于技巧化的训练（如对数运算等）。

4．函数的应用

（1）结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

（2）根据具体的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

（3）收集社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

（4）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（5）根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。

在本部分知识的教学中，教师应结合学生熟悉的一次函数、二次函数的图象，探索一元一次方程、一元二次方程根的存在条件及根的个数，使学生了解函数的零点与方程根的联系。

通过借助计算器用二分法求方程的近似解，初步体会函数与方程的内在联系。

在函数应用的教学中，教师应引导学生不断体验函数是描绘现实世界变化规律的基本数学模型。

应鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题，体现数学的应用价值，发展学生的应用意识和能力。

让学生采取小组合作的方式撰写文章并在班级集中进行交流是为了培养学生的探究意识与建模意识，使学生在探究与建模的过程中学会查询资料、收集信息、阅读文献。

初步养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也学会与他人交流合作，获得良好的情感体验。

（二）数学2

本模块包括立体几何初步和平面解析几何初步。

1．立体几何初步

（1）空间几何体的结构

①利用实物模型，计算机模拟软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单几何体的结构。

②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型。

会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

④完成实习作业，如画出某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式（不要求记忆公式）。

（2）点、直线、平面之间的位置关系

①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、直线、平面之间的位置关系的基础上，抽象出空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

公理l：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内。

公理2：

过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：

空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。

如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行。

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。

垂直于同一个平面的两条直线平行。

如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

三视图的有关内容，对于进一步培养学生的空间想象能力和几何直观能力具有重要的促进作用。

教学中要求学生能够画出简单的空间几何体的三视图和直观图，能够从简单的空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图。

使得学生能通过“实物模型—三视图—直观图”这样一个相互转化的过程认识空间几何体。

这些数学活动是培养学生空间想象能力的有效途径。

在“点、直线、平面的位置关系”的教学中，应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。

教师可以将具体的长方体的点、线、面的位置关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、直线、平面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确的使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。

立体几何初步的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；而对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修系列2中将用向量方法加以严格证明。

角度是“立体几何”中的一种几何量。

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角等内容应穿插在“点、直线、平面之间的位置关系”的相关内容中介绍。

距离是“立体几何”中的另一种几何量。

点到直线的距离、点到平面的距离、平行直线之间的距离、异面直线之间的距离、直线与平面之间的距离、平面与平面之间的距离等应穿插在“点、直线、平面之间的位置关系”的相关内容中介绍。

在介绍的过程中要控制计算的难度。

对角、距离的计算应重点放在选修系列2中用向量方法加以解决。

立体几何初步教学内容的设计将合情推理与演绎推理有机的结合在一起，体现了直观几何与论证几何的融合。

教学中要注意避免以论证几何为主线展开的形式化教学，让学生在自主探索的过程中，理解有关的数学概念，体会数学思想方法。

有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力。

2．平面解析几何初步

（1）直线的斜率

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角与斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

③能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直。

（2）直线的方程

①根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程、两点式方程、一般式方程。

②体会斜截式方程与一次函数的关系。

（3）直线的交点坐标与距离公式

①能用解方程组的方法求出两条直线的交点坐标。

②掌握平面上两点间的距离公式。

③掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

（4）圆与方程

①回顾确定一个圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程和圆的一般方程。

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系。

③能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。

④体会用代数方法处理几何问题的思想。

（5）空间直角坐标系

①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。

②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

在本部分知识的教学中应注重知识的发生与发展的过程：

首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生体会“数形结合”的思想方法。

如：

在直线和圆的方程的建立过程中，我们都是由确定直线和圆的几何要素出发，点和直线的倾斜角确定一条直线，定点和定长确定一个圆，把这些几何要素代数化，最后用方程的形式表示出来，体会用代数方法处理几何问题的思想。

（三）数学3

本模块包括算法初步、统计、概率。

1．算法初步

（1）算法的含义、程序框图

①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），了解算法的含义，体会算法的思想。

②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在解决具体问题的过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：

顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句

经历将具体问题的程序框图转化为程序语言的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义，进一步体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

在本部分知识的教学中，教师应通过实例来说明由数学的算法到计算机使用的算法的过渡过程，从而说明学习算法的必要性。

如果条件允许，尽可能的让学生上机实现，或模拟上机实现，这是检验学生学习算法的一种方式，也是学生比较感兴趣的学习方式，在操作中理解和初步掌握算法的基本思想和操作过程。

在本部分知识的教学中，教师的教学要体现数学与算法的有机结合，从而使学生理解数学在利用算法解决问题中的作用。

计算机使用的算法的精细和严格有助于培养学生的逻辑思维能力。

在教学中，教师要有意识地让学生体会算法的思想，提高他们的逻辑思维能力。

注意不要把算法讲成程序设计课。

2．统计

（1）随机抽样

①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

（2）用样本估计总体

①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。

②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。

③能根据实际问题的需求合理的选择样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。

④在解决具体统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。

初步体会统计思维与确定性思维的差异。

（3）变量的相关性

①学会收集现实生活问题中两个有关联变量的数据，并作出散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。

②经历用不同估算方法描绘两个变量线性相关的过程。

知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

在本部分知识的教学中，教师应引导学生体会统计的作用和基本思想。

统计的一个重要思想就是利用样本的信息来推测总体的有关信息，主要表现在：

会用样本的频率分布估计总体分布；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，比如数学期望、平均值、方差等。

另外，通过教学使学生明确样本的信息与总体的信息还存在着一定的差异，体会统计思维与确定性思维的差异。

样本所提供的信息只是总体的部分信息，在一定程度上反映了总体的有关特征，但不完全确定。

也就是说，按照同一规则进行抽样，每次抽样所获得的信息都不能保证是完全一样的，是一个变化的量，这是抽样的随机性所决定的。

3．概率

（1）事件与概率

①通过具体情境，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

②通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

（2）古典概型

①通过实例，理解古典概型及其概率计算公式。

②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（3）随机数与几何概型

①了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义。

②通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

本部分知识教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。

在教学中教师要借助于具体的、可操作的实例，让学生在实际的情境中来了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

教师可以组织学生利用计算机进行随机数的模拟试验，从直观上认识频率的稳定性。

古典概型是最简单的概率模型。

在教学时，教师要引导学生通过具体的实例理解古典概型的特征——试验的所有可能结果只有有限个，每个结果出现的可能性相同。

教学时，教师要结合具体的情境，让学生学会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。

在运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率的教学中，教师应引导学生体会模拟是利用模型来研究某些现象性质的一种方法，可以节约大量的人力和物力。

目前，计算机模拟已在生产管理、工程技术、科学实验、财政经济以及社会科学中得到广泛应用。

教学时，教师可以让学生通过计算机模拟来体会频率稳定于概率的客观规律，进一步可利用模拟方法来进行几何概型的学习。

（四）数学4

本模块包括基本初等函数Ⅱ（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

1．三角函数

（1）任意角、弧度

①了解任意角的概念。

②了解弧度制，能正确进行弧度与角度的换算。

（2）三角函数

①借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②理解三角函数的几何表示——三角函数线。

③借助单位圆中的三角函数线推导出

，

的正弦、余弦、正切的诱导公式。

④理解同角三角函数的基本关系式：

，

。

（3）三角函数的图象与性质

①能画出

，

，

的图象，了解三角函数的周期性。

②借助图象理解正弦函数、余弦函数在

上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与

轴的交点等），理解正切函数在

内的单调性。

（4）函数

的图象

①结合具体实例，了解

的实际意义。

②借助计算机或计算器画出函数

的图象，观察参数

，

，

对函数图象变化的影响。

（5）会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描绘周期现象的重要数学模型。

在本部分知识的教学中，教师应引导学生从大量的具体实例中抽象概括出三角函数的概念（数学模型），然后利用数学的方法研究三角函数的性质，再运用这些模型去解决实际问题。

教师还应结合学生的生活实际，创设丰富的教学情境。

如，通过单摆、弹簧振子以及音乐、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认知周期现象变化的规律。

《课程标准》删减了三角函数的部分内容：

任意角的余切、正割、余割，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性，已知三角函数值求角以及符号

，解三角形（《课程标准》将解三角形放置在数学5中）等内容。

《课程标准》对一些内容降低了教学要求：

如任意角、弧度制概念；同角三角函数的基本关系式只保留

，

，并且由原《大纲》的理解、掌握减弱为了解、理解。

这样处理的目的主要是为突出三角函数的主干内容，特别是突出三角函数是描绘周期现象的重要数学模型这一本质。

2．平面向量

（1）平面向量的实际背景及基本概念

①通过相关学科的实例，了解平面向量的实际背景。

②理解平面向量和相等向量的含义，理解向量的几何表示。

（2）平面向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加法运算及其几何意义。

②通过实例，掌握向量减法运算及其几何意义。

③通过实例，掌握向量数乘运算及其几何意义；理解两个向量共线的含义。

④了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

（3）平面向量的基本定理及坐标表示

①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

③会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算。

④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

（4）平面向量的数量积

①通过实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

（5）向量的应用

①体会平面向量在平面几何中的作用，初步学会用向量的方法解决简单的平面几何问题。

②体会平面向量在物理及其它实际问题中作用，发展运算能力和解决实际问题的能力。

在向量概念的教学中，教师应关注以下两点：

第一，根据学生的生活经验，创设丰富的教学情境。

例如，物理中的力、速度、加速度以及几何中有向线段的概念是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量加法运算与向量分解的原型。

通过这些实例，可使学生了解向量的物理和几何背景，认识到向量是描述和刻画现实问题，解决物理和几何等学科问题的工具。

第二，注重向量模型的运用，引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。

例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等。

对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。

3．三角恒等变换

（1）两角和与差的正弦、余弦和正切公式

①经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

②能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，了解其内在联系。

③会从两角和与差的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、余弦和正切公式，了解其内在联系。

（2）能运用上述公式进行简单的三角恒等变换（包括导出半角公式、积化和差、和差化积公式