三视图的还原方法总结.docx
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三视图的还原方法总结
高考数学专题突破:
三视图的还原方法总结
一、观察法:
可将组合图形分解成左右结构或上下结构
几何体
直观图形
正视图
侧视图
俯视图
J
柱体
正方体
0
□1
□1
□
—
长方体
///-y
—
:
1
三棱柱
1
△
圆柱
0
□
□
OI
锥体
圆锥
△
△
△
O
三棱锥
4
△
△
△
四棱锥
△
△
□
台体
圆台
O
◎
三棱台
*
*
n
n
1
△
球
球
O
1
O
O
1有两个长方形的是柱体,另一个图像是什么就是几棱柱;
2有两个三角形的是锥体,另一个图像是什么就是几棱锥;
3有两个梯形的是台体,另一个图像是什么就是几棱台;
4锥体采用直角可以升,锐角不可以升的方法还原;其他图像还原可采用割补法,分离法,组合法等还原。
【2017山东理】
1
由一个长方体和两个4圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积
【答案】
为
【解析】由已知中的三视图可得:
该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱,
棱柱的底面面积S」X(1+2)Xl^棱柱的高为1,故棱柱的体积V=-5
2__
【答案】A【解析】由三视图可知,几何体是组合体,左侧是三棱锥,底面是等腰三角形,腰长为为1,一个侧面与底面垂直,并且垂直底面三角形的斜边,右侧是半圆柱,底面半径为
1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,
【2014新课标2】如图,网格纸上正方形小格的边长为
该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()
【答案】C【解析】几何体是由两个圆柱组成,一个是底面半径为3高为2,一个是底面半径为2,高为
22
组合体体积是:
3n?
+2n?
=34n
底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯的体积为:
32冗6=54n
【答案】16n-16
【解析】由三视图可知该几何体是一个底面半径为柱,故体积为n?
2—2X2X4=16n-16.
2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为
2的正四棱
【2013新课标1理8】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().
A.16+8nB.8+8nC.16+16nD.8+16n
r=2,长为
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径
1
4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为n2X4X_+4X2X2=8n+16•故选A.
2
【2013陕西理12)某几何体的三视图如图所示,则其体积为.
【2013四川理3)—个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是
【解析】由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,故选D.
【2013重庆理5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().
俯视图
【解析】由几何体的三视图可得,该几何体是一个横放的直棱柱,棱柱底面为梯形,梯形两底长分别
1
为2和8,高为4,棱柱的高为10,故该几何体体积V=X(2+8)X4X10=200,故选C.
2
【2012广东理6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为()
咼为5,底面半径是3的圆柱
【2012辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
柱,几何体的表面积为:
长方体的表面积+圆柱的侧面积-圆柱的两个底面面积.
2
即S=2X(3M+1X3+1XI)+2nX-2Xn=38.
【2012江西(文)】若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为
A.72nB.48nC.30nD.24n
【答案】C【解析】由图知,该几何体是圆锥和半球体的组合体,球的半径是3,圆锥底面圆的半径是3,
圆锥母线长为5,由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4,
则它的体积V=V圆锥+V半球体=丄「■:
■"二•丄「•「=30n
【2012湖北(文)】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.
【答案】12n
【解析】由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为2,高为1)与中间一个圆柱(底
面圆半径为1,高为4)组合而成,故该几何体的体积是V=n2212n124=12n.
【2012辽宁(文)】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.
其中长方体的长、宽、高分别
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体
为4、3、1,圆柱的底面直径为2,高为1,所以该几何体的体积为34Vn111=12,n.
【2012天津(文)】一个几何体的三视图如图所示(单位:
m),则该几何体的体积
3Zip
F
1IP
■
侧山图
【答案】30
【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。
长方体的体积
为342=24,五棱柱的体积是(1―2)14=6,所以几何体的总体积为30。
2
【解析】由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体
其中上部的圆锥的底面直径为2,高为3,下部的长方体长、宽高分别为:
2,3,1
3
【2011天津理】一个几何体的三视图如右图所示(单位:
m),则该几何体的体积为m.
【答案】6•二.
【解析】
几何体是由一个长方体与一个圆锥组合的.体积为
12V=321亠’’13=6二.
3
【2011?
湖南理3】设如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(
【答案】D
F面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱,上面是一个球,球的直径是3,该几何体的体积是两个体积之和,
四棱柱的体积33=18,球的体积是号“尙冷口•••几何体的体积是18+5
【2010安徽理8】一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是(
【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的
4个侧面积之和.S=2(10^8+10>2+8>2)+2(6>8+8>2)=360.
【2010?
天津12】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.
【解析】由三视图可知,该几何体为一个底面边长为1高为2的正四棱柱与
3
2,高为1的正四棱锥组成的组合体,因为正四棱柱的体积为
个底面边长为
正四棱锥的体积为gxqXi二」,所以该几何体的体积7=2+
4=
10
3
3
2,
一、直角往上升,锐角,钝角不升,不存在的点去掉
三视图的画图规则:
(1)高平齐:
主视图和左视图的高保持平齐;
(2)长对正:
主视图和俯视图的长相对应;
3)宽相等:
俯视图和左视图的宽度相等.
某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(
A.3二B.2-C.2■:
D.2
【答案】B【解析】由三视图可得直观图,在四棱锥P-ABCD中,最长的棱为PA即pa=-「二.-厂上一:
-二=2「;,
【2017年北京文6】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A.60B.30C.20D.10
由图中数据可得该几何体的体积是
【答案】D【解析】该几何体是如下图所示的三棱锥P-ABC.
11
V=3x2X5X3X4=10.故选D.
【2017新课标1(理)】某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.
该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(
A.10B.12C.14D.16
如
X
【答案】B
【解析】多面体如右图所示,
由直三棱柱ABC—A1B1C1与三棱锥D—ABC构成.其中面AA1C1D、BB1C1D是梯形.
其面积和为(2+4)X2=12,故选B.
【2017浙江文理3】某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm3)是()
俯视国
【答案】
3
S专*趴阳况1^3,棱锥的高为
【解析】由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积
h=1,•••棱锥的体积V=:
Sh=丄!
--i
【2016北京(理)】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(
C.
D.1
侧(庁)视图
【答案】A
【解析】由已知中的三视图可得:
该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,棱锥的底面面积s」Xx=
2
,高为1,故棱锥的体积V==二,
26
【2016天津(理)】已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:
3
m
m),则
【解析】由已知中的三视图可得:
该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,棱锥的底面是底为
棱锥的高h=3m,
2
2,高为1的平行四边形,故底面面积S=2X=2m,故体积V):
h=2m3。
某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(
【2015?
北京理】
OA丄面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EC=EB=1,OA=1,二可得AE丄BC,BC丄OA,_运用直线平面的垂直得出:
BC丄面AEO,AC=一",OE=一二
=*X2X2=2,S
SBCO=*X2
故该三棱锥的表面积是2^■,
…SABC=
x.□=;
11.
=—
2 2 OAC=SOAB C.1+2.LD.2: ■: 创佐)观圏 【解析】根据几何体的三视图,得;该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥,如图所示;近)+X2X=2+V^. •••该几何体的表面积为S表面积=SPAC+2S PAB+SABC >2X1+2 【2014? 浙江理】某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则此几何体的表面积是( 俯视图 22 A.90cmB.129cm 【答案】D【解析】由三视图知: 几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,其中直三棱柱的侧棱长为3,底面是直角边长分别为3、4的直角三角形,四棱柱的高为6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为3和4, C. 2 132cmD. 2 138cm •••几何体的表面积S=2>4>6+3>6+3>3+2>3用+2WX3用+(4+5)X3=48+18+9+24+12+27=138(cm2). 【2016新课标川理】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面 体的表面积为( A.18+36.! ・B.54+18.,C.90D.81 【答案】B 【解析】由已知中的三视图可得: 该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱, 其底面面积为: 3>6=18, 前后侧面的面积为: 3>6>2=36, 左右侧面的面积为: 3>: ].,「>=18二 故棱柱的表面积为: 18+36+9H=54+18; 【解析】由三视图可得,原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的, 22则其表面积为2x(24-6)=72cm,其体积为4>23=32, 【2014? 重庆理】某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为() 正祀图 ■4_j■ 侧视国俯視图 A.54B.60C.66D.72 【答案】B【解析】由三视图知: 几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图 三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3, 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的等腰直角三角形, •/AB丄平面BEFC,•••AB丄BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5 •••几何体的表面积S=_X3>4+_>3>5+_: 用+——: 0+3X5=60. 2222 【2012安徽理】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 -=92. ) (2+5+4+{梓+(5-刃◎X4- 几何体的表面积为S=2x4x(2+5)X4+(2+5+4+J护+(5-I C-J 【2012北京文理7】某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( 正(主)视图侧(左)视图 A.28+6.5B.30+65 C.56+12.5D.60+12.5 【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为直接从题目所 给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题所求表面积应为三棱锥四个 面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得: S^=10,S后=10,S^=10,S左二6.5,因 11 AO丄底面BCD,因此此几何体的体积为V(—63)3=9,故选择B。 32 【2012浙江理11】已知某三棱锥的三视图(单位: cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于cm3. 【答案】1 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于-3121=1. 23 【2012浙江(文)】已知某三棱锥的三视图(单位: cm如图所示,则该三棱锥的体积是 A.1cm3B.2cm3C.3cmBD.6cm3 【答案】A 【解析】由三视图可知,该棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为1和2,三棱锥的高为3,贝U V13112=1,故选Ao 32 【2011广东文9】如图1~3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为 A.4、3B.4C.23D.2 图3 侧视图 图2 【答案】C【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱锥,菱形的面积 11 高为3,则该几何体的体积VSh2、33=2、、333 【2011北京文5】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 B.16+16.2 C.48 S」22.3=2、3,2 (). D.16+32血 四棱锥的 A.32 【答案】B. 【解析】由三视图可知几何体为底面边长为 4,高为2的正四 棱锥,则四棱锥的斜高为22,表面积142.2442 2 =1616-2故选B. 【2011天津文10】一个几何体的三视图如右图所示(单位: m),则该几何体的体积为 V=121T12=4• 【答案】4. 【解析】几何体是由两个长方体组合的•体积为 【答案】3【解析】解: 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形, 则正视图和俯视图可知该几何体的高为1, 结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱, 所以该几何题的体积为丄(1+2)X2^: l=3; £—ji 【2010? 辽宁文】如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多 面体最长的一条棱的长为• 且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥,所以最长棱长为 【答案】B 【解析】由三视图知该几何体是一个上面是正方体,下面为正四棱台的组合体,对应的长方体的长、宽、 高分别为4、4、2,正四棱台上底边长为4,下底边长为8,高为2,那么相应的体积为 12: 2320 442—2(4、.488).故选B. 33 20cm3的几何体的三视图,贝Uh=cm. 、切割法——外围规则,内部有虚线或实线的 【2014? 安徽理】一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为() 【2010? 湖南理】图中的三个直角三角形是一个体积为 18+「;C.21D.18 【答案】A【解析】由三视图可知,几何体是正方体的棱长为2,截去两个正三棱锥,侧棱互相垂直,侧 棱长为1, 【2015新课标2】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余 •••剩余部分体积为1-2—, •截去部分体积与剩余部分体积的比值为 【2016新课标I文理】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径•若该几何体的体积是,则它的表面积是() 8—nC.8— 【答案】B【解析】由三视图知: 几何体是正方体切去两个 俯视图 【答案】24 解析】由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱 111 锥.VA1EC1虫BC=Vrbc」BC一Ve~X3X4X5—3X3X4X3=30一6=24. 2的正方体,除去一个倒放的圆锥,圆锥的高为: 8-专xX2=8- 【2013江苏8】如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F—ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1: *=. 【答案】 【解析】 1: 24 由题意可知点 F到面ABC的距离与点Ai到面ABC的距离之比为 1: 2,Saade: &abc=1: 4. 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,) D.36二 1 AF,s^ed 因此Vi: V2=3=1: 24. 2AFS出bc 四、其他题型 【2017•新课标全国n卷理4】.如图,网格纸上小正方形的边长为该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( A.90二B.63二C.42二 【答案】B【解析】解法一: 常规解法 从三视图可知: 一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分,具体图 从上图可以清晰的可出剩余几何体形状,该几何体的体积分成两部分,部分图如下: 从左图可知: 剩下的体积分上下两部分阴影的体积,下面阴影的体 积为V=Sh,r=3,h=4匕=36二;上面阴影的体积V是上 面部分体积V3的一半,即V2=1Vb,V3与V的比为高的比(同底), 2 33 即V3=-Vi,V2=-Vi=27兀,故总体积Vo=V2+Vi=63兀. 24 第二种体积求法: V3二Sh=54二,其余同上,故总体积Vo=V27=63二. 【2016四川(理)】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该 三棱锥的体积是 【答案】—: 【解析】: •三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,结合给定的三棱锥的正视图, 可得: 三棱锥的底面是底为2「: ;,高为1,棱锥的高为1,故棱锥的体积7=二X(丄X员X)xd' 3囤 r)组成一个几何体,该几何体三视图中则r=() 【2015新课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20n, 【答案】A【解析】根据三视图可判断其为圆锥, •••底面半径为1高为2, •-v专ex15=¥ •••长方体的体积0=2(1-丄一厂)2x,Q=-x2-4x+2, 2 0=上x-4x+2=0,x==,x=2,[23 十=「, •••可判断(0,二)单调递增,(二,2)单调递减, 0最大值=2(1-丄 16 27 '■> /3. 8 2JI 27 2K 971 •••原工件材料的利用率为 D-ABE的体积为Vi, 【2014山东理】三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥 P-ABC的体积为V2,则「 1 【答案】丄 4 【解析】取两个棱锥的底在同一平面,比较底与两棱锥的高,利用体积公式求体积比 设点A到平面PBC的距离为h. 【2014? 江西】一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是() 【解析】几何体的俯视图,轮廓是矩形,几何体的上部的棱都是可见线段,所以C、D不正确;几何体的 上部的棱与正视图方向垂直,所以A不正确, 故选: B. 【2014? 湖北】在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2, 2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和 A.①和②B.③和①C.④和③D.④和② 【解析】在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为 A.4.5,8B.4.5,8C.4(J5+1),8D.8,833 【答案】B 由图可知PO=2,OG1,所以PE^,22125, 所以V=-x4X2=8,S=42.5丄=4.5. 332 【2013上海文19】如图,正三棱锥O-ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积. 【解析】由已知条件可知,正三棱锥O—ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形, 经计算得底面△ABC的面积为,3•所以该三棱锥的体积为 设O'是正三角形ABC的中心. 由正三棱锥的性质可知,OO'垂直于平面ABC. 延长AO交BC于D,得AD=、3,OD=仝. 3 又因为OO=1,所以正三棱锥的斜高OD=乙3. AQ/Q 故侧面积为一X6X—-=2.3. 23 所以该三棱锥的表面积为 3 3+2,3=33, 因此,所求三棱锥的体积为 -3,表面积为3.3. 3 【2012湖南(文)】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,E,C,都可能是该几何体的
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- 视图 还原 方法 总结