届人教A版文科数学数列不等式单元测试.docx
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届人教A版文科数学数列不等式单元测试
一、单选题
1.【2018河南郑州高三一模】已知的定义域为,数列满足
且是递增数列,则的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由于是递增数列,所以,且,即,解得或,所以,选D.
2.【2018湖南衡阳高三一模】当为正整数时,定义函数表示的最大奇因数.如
,则()
A.342B.345C.341D.346
【答案】A
3.【2018陕西高三一模】已知数列是等差数列,,其中公差.若是和的等比中项,则()
A.398B.388C.189D.199
【答案】C
4.【2018江西高三质监】已知等比数列的首项,前项和为,若,则数列
的最大项等于()
A.-11B.C.D.15
【答案】D
【解析】由已知得,,
所以,由函数的图像得到,当时,数列的最大项等于15.
故选:
D
5.【2018甘肃兰州高三一模】设,则()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】.
故选A.
6.【2018甘肃兰州高三一模】等比数列中各项均为正数,是其前项和,满足,则()
A.B.C.D.
【答案】D
7.【2018安徽马鞍山高三质监二】已知数列满足对时,,且对,有
,则数列的前50项的和为()
A.2448B.2525C.2533D.2652
【答案】B
【解析】由题得,
.
故选B.
点睛:
本题的难点在于通过递推找到数列的周期.可以先通过列举找到数列的周期,再想办法证明.由于问题中含有的项数较多,且有规律性,所以要通过分析递推找到数列的周期.
8.【2018广东茂名高三一模】记函数在区间内的零点个数为,则数列的前20项的和是()
A.430B.840C.1250D.1660
【答案】A
点睛:
函数零点的求解与判断
(1)直接求零点:
令,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;
(2)零点存在性定理:
利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线,且,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;
(3)利用图象交点的个数:
将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.学
9.【2018河南高三4月适应性考试】已知等差数列,的前项和分别为,,若,则实数()
A.B.C.D.3
【答案】A
【解析】由于,都是等差数列,且等差数列的前n项和都是所以不妨设
所以,故选A.
点睛:
本题解题需要灵活性,可以直接特取.由于,都是等差数列,且等差数列的前n项和都是所以不妨设这样提高了解题效率.
10.【2018河北唐山高三一模】设是任意等差数列,它的前项和、前项和与前项和分别为,则下列等式中恒成立的是()
A.B.
C.D.
【答案】D
11.【2018湖南郴州高三一模】设等差数列的前项和为,已知,为整数,且,则数列前项和的最大值为()
A.B.1C.D.
【答案】A
【解析】a1=9,a2为整数,可知:
等差数列{an}的公差d为整数,
由Sn≤S5,∴a5≥0,a6≤0,则9+4d≥0,9+5d≤0,解得,d为整数,d=﹣2.
∴an=9﹣2(n﹣1)=11﹣2n.
,
∴数列前项和为
令bn=,由于函数f(x)=的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性,可知:
0<b1<b2<b3<b4,b5<b6<b7<…<0,∴bn≤b4=1.∴最大值为=.
故选:
A
12.【2018陕西咸阳高三一模】已知实数,满足,若,则的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】C
点睛:
(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法.
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几何意义.
13.【2018新疆维吾尔自治区高三一模】设,,,则的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】A
14.【2018宁夏银川高三4月质检】若满足约束条件,则的最大值是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域如图所示:
联立,解得,化为,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最大,.
故选C.
点睛:
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:
(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);
(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.学
15.【2018辽宁大连高三一模】已知首项与公比相等的等比数列中,满足(,),则的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】A
16.【2018安徽马鞍山高三质监二】已知为椭圆上关于长轴对称的两点,分别为椭圆的左、右顶点,设分别为直线的斜率,则的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设,
由题得,
所以,故选C.
点睛:
本题的难点在于计算出要观察变形
再联想到基本不等式解答.观察和数学想象是数学能力中的一个重要组成部分,所以平时要有意识地培养自己的数学观察想象力.
17.【2018四川广元高三一模】设实数,满足,则的最小值为()
A.B.2C.-2D.1
【答案】C
【解析】实数,满足的平面区域如图
目标函数经过时最小,解得,所以最小值为,故选C.
点睛:
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:
(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);
(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
二、填空题
18.【2018湖南永州高三三模】设实数满足约束条件,则的最大值是_______.
【答案】1
【解析】
19.【2018湖南衡阳高三一模】设,在约束条件下,目标函数的最小值为-5,则的值为__________.
【答案】
【解析】
画出不等式组表示的可行域,如图所示,由,可得
,由,得在轴上的截距越大,就越小,平移直线
,由图知,当直线过点时,取得最小值,的最小值为
,故答案为.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:
(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);
(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
20.【2018重庆高三4月二诊】已知实数,满足若目标函数在点处取得最大值,则实数的取值范围为__________.
【答案】
21.【2018上海普陀高三一模】设函数(且),若是等比数列()的公比,且,则的值为_________.
【答案】
22.【2018安徽宣城高三二调】已知各项都不相等的等差数列,满足,且,则数列项中的最大值为__________.
【答案】6
【解析】设等差数列的公差为.
∵
∴
∴
∵
∴,即.
∴或(舍去)
∴等差数列的首项为,公差为,则.
∴
联立,即,解得.
∴
∴数列项中的最大值为
故答案为.
点睛:
求解数列中的最大项或最小项的一般方法:
(1)研究数列的单调性,利用单调性求最值;
(2)可以用或;
(3)转化为函数最值问题或利用数形结合求解.学
23.【2018甘肃兰州高三一模】已知数列满足,若
,则数列的通项__________.
【答案】
点睛:
数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:
①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.
24.【2018陕西西安八校联考】数列中,为数列的前项和,且,则这个数列前项和公式__________.
【答案】
25.【2018河北唐山高三一模】数列满足,若时,,则的取值范
围是__________.
【答案】
【解析】,
故填.
点睛:
本题的难点在于解题思路,看到这种递推关系,要能确定这种数列可以通过构造求出数列的通项,再利用数列的单调性性质即可得到的取值范围.
26.【2018四川广元高三一模】在数列中,,,设
,是数列的前项和,则__________.
【答案】
27.【2018广西梧州高三一模】已知数列的前项和为,且,,则
__________.
【答案】
【解析】由,得,,∴
,,∴,∴,∴是首项为4,
公比为2的等比数列,∴,∴,当时,,∴
,故答案为.
三、解答题
28.【2018黑龙江大庆高三一模】已知为等差数列的前项和,且.记,其中表示不超过的最大整数,如.
(I)求
(II)求数列的前200项和.
【答案】(Ⅰ);;.
(Ⅱ)524.
试题解析:
(Ⅰ)设等差数列的公差为
由已知,根据等差数列性质可知:
∴.
∵,所以
∴
∴,,.
(Ⅱ)当时,,共2项;
当时,,共10项;
当时,,共50项;
当时,,共138项.
∴数列的前200项和为.
29.【2018湖南衡阳高三一模】等差数列中,,为等比数列的前项和,且,若成等差数列.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】
(1),;
(2).
【解析】试题分析:
(1)在等差数列中,设公差为,由,
从而可得;设等⽐比数列列的公⽐比为,由
从而可得的通项公式;
(2)结合
(1)可得.
当,当时,利用“错位相减法”,结合等比数列的求和公式即可求得数列的前项和.
(2).
当.
当时,,
①
②
--②
.
.
30.【2018四川德阳高三二诊】已知数列满足,(为常数).
(1)试探究数列是否为等比数列,并求;
(2)当时,求数列的前项和.
【答案】
(1).
(2).
【解析】试题分析:
(1)由已知,当时,数列不是等比数列,
当时数列是以为首项,2为公比的等比数列.
(2)由
(1)知,所以,由错位相减法可得数列的前项和.
(2)由
(1)知,所以,
①
②
①-②得:
.
所以.
31.【2018湖南衡阳高三一模】已知各项均不为零的数列的前项和为,且对任意的,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,数列的前项和为,求证:
.
【答案】
(1)
(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)第
(1)问,一般利用项和公式求数列的通项公式.
(2)第
(2)问,先求出,再利用错位相减法求数列的前项和=,最后证明.
(2)∵,∴,
∴,
,两式相减得:
所以.
32.【2018宁夏银川高三4月质检】已知数列为公差不为零的等差数列,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,记数列的前项和为,求证:
.
【答案】
(1);
(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)由成等比数列得,根据,即可求得公差,从而可得数列的通项公式;
(2)由
(1)求得,结合放缩法得,从而可证.
试题
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