七年级认识三角形.docx
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七年级认识三角形
认识三角形
(1)
1:
三角形三边关系:
“三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边”.
2:
1、能从右图中找出4个不同的三角形吗?
2、这些三角形有什么共同的特点?
一、新课:
1、在右下图中你能用符号表示上面的三角形吗?
2、它的三个顶点分别是___________________,三条边分别是______________________,三个内角分别是____________________.
3、分别量出这三角形三边的长度,并计算任意两边之和以及任意两边之差.你发现了什么?
结论:
三角形任意两边之和大于第三边
三角形任意两边之差小于第三边
例:
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒,用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?
为什么?
长度为13cm的木棒呢?
长度为7cm的木棒呢?
二、巩固练习:
1、下列每组数分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?
为什么?
(单位:
cm)
(1)1,3,3;
(2)3,4,7;
(3)5,9,13;
(4)11,12,22;
(5)14,15,30.
2、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm,则第三边长X的取值范围是____________________.若X是奇数,则X的值是_______________,这样的三角形有_______个;若X是偶数,则X的值是_______________,这样的三角形又有_______个
3、一个等腰三角形的一边是2cm,另一边是9cm,则这个三角形的周长是___________cm
4、一个等腰三角形的一边是5cm,另一边是7cm,则这个三角形的周长是________________________________cm
5.2 认识三角形
(2)
一、复习:
1、填空:
(1)当0º<α<90º时,α是______角;
(2)当α=______º时,α是直角;
(3)当90º<α<180º时,α是______角;(4)当α=______º时,α是平角.
2、如右图,
∵AB∥CE,(已知)
∴∠A=_____,(_________________________)
∴∠B=_____,(_________________________)
练习1:
1、判断:
(1)一个三角形的三个内角可以都小于60º.( )
(2)一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角.( )
2、在△ABC中,
(1)∠C=70º,∠A=50º,则∠B=_______度;
(2)∠B=100º,∠A=∠C,则∠C=_______度;
(3)2∠A=∠B+∠C,则∠A=_______度.
3、在△ABC中,∠A=3xº∠=2xº∠=xº,求三个内角的度数.
解:
∵∠A+∠B+∠C=180º,(______________________)
∴3x+2x+x=_______
∴6x=_______
∴x=
从而,∠A=_______,∠B=_______,∠C=_______.
三、猜一猜:
.
一个三角形中三个内角可以是什么角?
(提醒:
一个三角形中能否有两个直角?
钝角呢?
)
按三角形内角的大小把三角形分为三类.
锐角三角形(acute trangle):
三个内角都是锐角;
直角三角形(right triangle):
有一个内角是直角.
钝角三角形(obtuse triangle):
有一个内角是钝角.
练习2:
1、观察三角形,并把它们的标号填入相应的括号内:
锐角三角形( );直角三角形( );
钝角三角形( ).
2、一个三角形两个内角的度数分别如下,这个三角形是什么三角形?
(1)30º和60º( );
(2)40º和70º( );
(3)50º和30º( );(4)45º和45º( ).
四、猜想结论:
简单介绍直角三角形,和表示方法,Rt△.
思考:
直角三角形中的两个锐角有什么关系?
结论:
直角三角形的两个锐角互余
举例(略)
练习3:
1、图中的直角三角形用符号写成_________,直角边是______和______,斜边是_______.
2、如图,在Rt△BCD,∠C和∠B的关系是______,其中∠C=55º,则∠B=________度.
3、如图,在Rt△ABC中,∠A=2∠B,则∠A=_______度,∠B=_______度;
小结:
1、三角形的三个内角的和等于180º;
2、三角形按角分为三类:
(1)锐角三角形;
(2)直角三角形;(3)钝角三角形.
直角三角形的两个锐角互余.
5.1 认识三角形(3)
三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线.简称三角形的角平分线.
如图:
∵AD是三角形ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC,
或:
∠BAC=2∠BAD=2∠CAD.
BDC
问题:
三角形有几条角平分线?
学生回答:
三条。
下面我们来看看三角形的三条角平分线有怎样的位置关系?
学生在动手与交流中,比较快的得到:
一个三角形共有三条角平分线,它们都在三角形内部,而且相交于一点.
例题:
△ABC中,∠B=80º∠C=40º,BO、CO平分∠B、∠C,则∠BOC=______.
连结三角形一个顶点和它对边中点的线段,叫做三角形这个边上的中线.简称三角形的中线.
如图:
∵AD是三角形ABC的中线,
∴BD=DC=
BC,
或:
BC=2BD=2DC.
BDC
问题:
三角形有几条中线?
学生回答:
三条。
下面我们来看看三角形的三条中线有怎样的位置关系?
一个三角形共有三条中线,它们都在三角形内部,而且相交于一点.
例题:
已知,AD是BC边上的中线,AB=5cm,AD=4cm,▲ABD的周长是12cm,求BC的长.
巩固练习:
1、AD是△ABC的角平分线(D在BC所在直线上),那么∠BAD=_______=
______.
AE是△ABC的中线(E在BC所在直线上),那么BE=___________=_______BC.
2、在△ABC中,∠BAC=60º,∠B=45º,AD是△ABC的一条角平分线,求∠ADB的度数.
小结:
(1)三角形的角平分线的定义;
(2)三角形的中线定义.
(3)三角形的角平分线、中线是线段.
(1)已知AD是三角形ABC的角平分线,则∠B=∠C;()
5.1 认识三角形(4)
1、★三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.
如图,线段AM是BC边上的高.
∵AM是BC边上的高,
∴AM⊥BC.
锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点.
1、直角三角形的三条高交于直角顶点处.
2、钝角三角形的三条高所在直线交于一点,此点在三角形的外部.
4、练习:
如图,
(1)共有___________个直角三角形;
(2)高AD、BE、CF相对应的底分别是_______,_____,____;
(3)AD=3,BC=6,AB=5,BE=4.
则S△ABC=___________,CF=_________,AC=_____________.
5、小结:
(1)锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点.
(2)直角三角形的三条高交于直角顶点处.
(3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点,此点在三角形的外部.
5.2 图形的全等
1.把下列两组图形投影出来:
(1)
(2)
说出两组图形中上、下两个图形的异同之处
2.形状相同且大小也相同的两个图形能够重合,反之亦然.
形状不同或大小不同的两个图形不能重合,不能重合的两个图形大小一定不相同.
3.能够重合的两个图形称为全等图形.
全等图形的形状和大小都相同
5.3 图案设计
在生活中,我们经常看到由全等图形拼成的美丽图案.例如在给定的三角形上,画出小鱼形状的图形,利用它就可以拼成下面这个美丽的图案.
2、根据课本中的图形设计出相应的图案:
5.4 全等三角形
(1)一个三角形共有______个顶点,_________个角,_______条边;
(2)已知△ABC,它的顶点是_______,它的角是___________,它的边是___________;
(3)两个图形完全重合指的是它们的形状___________,大小___________;
(4)完全重合的两条线段_________(填“相等”或“不相等”);
(5)完全重合的两个角_________(填“相等”或“不相等”).
1.全等三角形的定义及有关概念和性质.
(1)定义:
全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形.
2.全等三角形的符号表示及读法和写法.
”≌”读作全等
如图,∵△ABC≌DFE,(已知)
∴AB=DF,AC=DE,BC=FE,(全等三角形的对应边相等)
∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E.(全等三角形的对应角相等)
(1)全等用符号_________表示,读作__________.
(2)三角形ABC全等于三角形DEF,用式子表示为______________.
(3)已知△ABC和△A´B´C´中,∠A=∠A´,∠B=∠B´∠C=∠C´;AB=A´B´,BC=B´C´,AC=A´C´,则△ABC_______△A´B´C´.
(4)如右图△ABC≌△BCD,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则∠C与____是对应角;AB与_____是对应边,BC与_____是对应边,AC与____是对应边.
(5)判断题:
①全等三角形的对应边相等,对应角相等.( )
②全等三角形的周长相等.( )
③面积相等的三角形是全等三角形.( )
④全等三角形的面积相等.( )
三、性质应用举例
1.性质的基本应用.
例1 已知:
△ABC≌△DFE,∠A=96º,∠B=25º,DF=10cm.求∠E的度数及AB的长.
例2 如图,已知CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,△ABE≌△ACD,∠C=20º,AB=10,AD=4,G为AB延长线上一点.求∠EBG的度数和CE的长.
5.5 探索三角形全等的条件
(1)
1、全等三角形的__________相等,__________相等.
2、如图1,已知△AOC≌△BOD,则∠A=∠B,∠C=_______,______=∠2,对应边有AC=________,_______=OB,_______=OD.
3、如图2,已知△AOC≌△DOB,则∠A=∠D,∠C=_______,______=∠2,对应边有AC=________,OC=_______,AO=_______.
4、如图3,已知∠B=∠D,∠1=∠2,∠3=∠4,AB=CD,AD=CB,AC=CA.则△________≌△___________
5、判定两个三角形全等,依定义必须满足( )
(A)三边对应相等(B)三角对应相等
(C)三边对应相等和三角对应相等(D)不能确定
1、画出一个三角形,使它的三个内角分别为40º,60º,80º,
结论:
_________________________________________________________.
2、画出一个三角形,使它的三边长分别为3cm,4cm,7cm,
结论:
_________________________________________________________.
二、巩固练习:
1、下列三角形全等的是________________________________________.
2、三边对应相等的两个三角形全等,简写为_______或__________.
3、如图,AB=AC,BD=DC,求证:
△ABD≌△ACD.
4、如图,AM=AN,BM=BN,求证:
△AMB≌△ANB.
5、如图,AD=CB,AB=CD,求证:
∠B=∠D.
6、如图,PA=PB,PC是△PAB的中线,∠A=55º,求:
∠B的度数.
1、如图,AB=DC,BF=CE,AE=DF,你能找到一对全等的三角形吗?
2、如图,A、C、F、D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF你能找到哪两个三角形全等?
3、如图,已知AC=AD,BC=BD,CE=DE,则全等三角形共有______对,
5.5 探索三角形全等的条件
(2)
1、三边对应相等的两个三角形全等,简写为________或_______.
2、如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AD能平分∠BAC吗?
你能说明理由吗?
3、如图,
(1)∵AC∥BD(已知),
∴∠_____=∠_____(___________________).
(2)∵AD∥BC(已知),
∴∠_____=∠_____(___________________).
4、如图3,
∵EA⊥AD,FD⊥AD(已知),
∴∠_________=∠________=90º(___________________).
教学过程:
一、探索练习:
1、如果”两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,比如三角形的两个内角分别是60º和80º,它们所夹的边为2cm,你能画出2个三角形吗?
你画的三角形一定全等吗?
结论:
___________________________________________________________.
2、如果”两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,比如三角形两个内角分别是60º和45º,一条边长为3cm.你画的三角形一定全等吗?
结论:
___________________________________________________________.
二、巩固练习:
1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成_______或_________.
2、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成_______或_________.
3、如图,AB=AC,∠B=∠C,你能证明△ABD≌△ACE吗?
4、如图,已知AC与BD交于点O,AD∥BC,且AD=BC,你能说明BO=DO吗?
5、如图,∠B=∠C,AD平分∠BAC,你能证明△ABD≌△ACD?
若BD=3cm,则CD有多长?
6、如图,在△ABC中,BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,且BE=CF,那么BD与DC相等吗?
你能说明理由吗?
.
7、如图,已知AB=CD,∠B=∠C,你能说明△ABO≌△DCO吗?
三、提高练习:
1、如图,AB∥CD,∠A=∠D,BF=CE,∠AEB=110º,求∠DCF的度数.
2、如图,在Rt△ACB中,∠C=90º,BE是角平分线,ED⊥AB于D,
且BD=AD,试确定∠A的度数.
5.5《边角边》第1课时
1.三角形全等的判定Ⅰ
(1)全等三角形具有”对应边相等、对应角相等”的性质.
如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO
是否能完全重合呢?
不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:
AO=CO,
∠AOB=∠COD,
BO=DO.
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
2.上述猜想是否正确呢?
不妨按上述条件画图并作如下的实验:
(1)读句画图:
①画∠DAE=45º,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③连结BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△A'B'C'.
(2)把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?
3.边角边公理.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称”边角边”或”SAS”)
二、三角形全等判定Ⅰ的应用
1.填空:
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是( )=( );还需要一个条件( )=( )(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:
( )=( ),( )=( )(这个条件可以证得吗?
).
2.例题
例1 已知:
AD∥BC,AD=CB(图3).
求证:
△ADC≌△CBA.
例2 已知:
AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图4).求证:
△ABD≌△ACE.
小结:
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
3.证明的书写格式:
(1)通过证明,先把题设中的间接条件转化成为可以直接用于判定三角形全等的条件;
(2)再写出在哪两个三角形中:
具备按边角边的顺序写出可以直接用于判定全等的三个条件,并用括号把它们括起来;
(3)最后写出判定这两个三角形全等的结论.
作业:
1.已知:
如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求证:
△ABE≌△ACF.
2.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
5.6 作三角形
(1)如图,使用直尺作图,看图填空.
① ② ③ ④
①过点____和_______作直线AB;
②连结线段___________;
③以点_______为端点,过点_______作射线___________;
④延长线段__________到_________,使得BC=2AB.
(2)
如图,使用圆规作图,看图填空:
①在射线AM上__________线段________=___________.
②以点______为圆心,以线段______为半径作弧交_________于点___________.
以点______为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠AOB两边,交_________于点___________,交________于点__________.
这部分内容是为让学生熟悉作法的语言表达而设的.教师应该让学生慢慢理解这种语言表达的意思.逐步学会自己口述表达自己的作图过程.
内容二(作一个三角形与已知三角形全等)
1、已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.
已知:
线段a,c,∠α.
求作:
ΔABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
作法与过程:
(1)作一条线段BC=a,
(2)以B为顶点,BC为一边,作角∠DBC=∠a;
(3)在射线BD上截取线段BA=c;
(4)连接AC,ΔABC就是所求作的三角形.
2、已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知:
线段∠α,∠β,线段c.
求作:
ΔABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
作法:
(1)作____________=∠α;
(2)在射线______上截取线段_________=c;
(3)以______为顶点,以_________为一边,作∠______=∠β,________交_______于点_______.ΔABC就是所求作的三角形.
3、已知三角形的三边,求作这个三角形.
已知:
线段a,b,c.
求作:
ΔABC,使得AB=c,AC=b,BC=a.
小结:
能根据题目给出的条件作出三角形.能口述作图过程.
5.7 利用三角形全等测距离
1、三边对应相等的两个三角形全等,简写为___________或__________;
2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成_______或_________;
3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成_______或_______;
4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成_______或_______;
5、全等三角形的性质:
两三角形全等,对应边_______,对应角_______;
6、如图;△ADC≌△CBA,那么∠ABC=∠____,AB=_____;
7、如图;△ABD≌△ACE,那么∠BDA=∠____,AD=_____.
一、探索练习:
如图:
A、B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意:
先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到E,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB;连接DE并测量出它的长度;
(1)DE=AB吗?
请说明理由
(2)如果DE的长度是8m,则AB的长度是多少?
二、巩固练习:
1.如图,山脚下有A、B两点,要测出A、B两点的距离.
(1)在地上取一个可以直接到达A、B点的点O,连接AO并延长到C,使AO=CO,你能完成下面的图形?
(2)说明你是如何求AB的距离.
2.如图,要量河两岸相对两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DF,使A、C、E在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,试说明理由.
3.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,完成右图并求出A、B的距离.
三、提高练习:
1.在一座楼相邻两面墙的外部有两点A、C,如图所示,请设计方案测量A、C两点间的距离.
2.如图,一池塘的边缘有A、B两点,试设计两种方案测量A、B两点间的距离
5.8 探索直角三角形全等的条件
1、判定两个三角形全等的方法:
_____、_____、_____、_______
2、如图,Rt△ABC中,直角边是_________、________,斜边是____________
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABC与△DEF___________(填”全等”或”不全等”)
根据______________(用简写法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,
则△ABC与△DEF___________(填”全等”或”不全等”)
根据______________(用简写法)
(3)若AB=DE,BC=EF,
则△ABC与△DEF___________(填”全等”或”不全等”)
根据______________(用简写法)
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF
则△ABC与△DEF___________(填”全等”或”不全等”)
根据______________(用简写法)
(一)探索练习:
(动手操作):
已知线段a,c(a 1、按步骤作图: ①作∠MCN=
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