第一章特殊的四边形.docx
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第一章特殊的四边形
1.1平行四边形及其性质(第1课时)
学习目标:
1、理解并掌握平行四边形的定义
2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2
3、提高综合运用知识的能力
学习重点:
平行四边形的定义,对角、对边相等的性质,以及性质的应用.
学习难点:
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
预习指导:
1、在四边形中,最常见、价值最大的是平行四边形,生活中也常见平行四边形的实例,如_______________________________________________________等,都是平行四边形。
2、____________________________________是平行四边形。
3、平行四边形的性质是:
_________________________________________.
学习过程:
一、学习新知
1、平行四边形的定义
(1)定义:
________________________________________叫做平行四边形。
(2)几何语言表述:
∵AB∥CDAD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形
(3)定义的双重性:
具备__________________的四边形,才是平行四边形,
反过来,平行四边形就一定具有性质。
(4)平行四边形的表示:
平行四边形ABCD记作_________,读作___________.
2、平行四边形的性质
平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?
已知:
如图
ABCD,
求证:
AB=CD,CB=AD.
分析:
要证AB=CD,CB=AD.我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等,因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________,我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论.
证明:
总结:
本题提供了证明线段相等的方法,也体现了数学中的转化思想。
在上题中你能证明∠B=∠D,∠BAD=∠BCD吗?
利用我们学过的方法试一试。
证明:
通过上面的证明,我们得到了:
平行四边形的性质定理1是_______________________________________.
平行四边形的性质定理2是_______________________________________.
二、应用举例:
例1、如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证:
AF=CE.
例2、
(1)在平行四边形ABCD中,∠A=500,求∠B、∠C、∠D的度数。
(2)在平行四边形ABCD中,∠A=∠B+400,求∠A的邻角的度数。
三、随堂练习
1、如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证AF=CE.
2、平行四边形的两邻边的比是2:
5,周长为28cm,求四边形的各边的长。
3、在平行四边形ABCD中,若∠A:
∠B=2:
3,求∠C、∠D的度数。
四、课堂小结:
1、平行四边形的概念。
2、平行四边形的性质定理及其应用。
五、当堂检测
1.填空:
(1)在
ABCD中,∠A=
,则∠B=度,∠C=度,∠D=度.
(2)如果
ABCD中,∠A—∠B=240°,则∠A=度,∠B=度,∠C=度,∠D=度.
(3)若
ABCD的周长为28cm,且AB:
BC=2∶5,则AB=cm,BC=cm,CD=cm,CD=cm.
2.(选择)在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是().
(A)对角相等(B)对角互补(C)邻角互补(D)内角和是
3.(选择)如图,在
ABCD中,如果EF∥AD,GH∥CD,
EF与GH相交与点O,那么图中的平行四边形一共有().
(A)4个(B)5个(C)8个(D)9个
4.如图,在
ABCD中,AC为对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,E、F为垂足,求证:
BE=DF.
5、如图,AD∥BC,AE∥CD,BD平分∠ABC,求证:
AB=CE
1.1平行四边形及其性质(第2课时)
学习目标:
1、掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和简单的证明题.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.
学习重点:
掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
学习难点:
能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和简单的证明题.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.
学习过程:
二、学习新知
如图,
EFGH中,连接对角线EG、HF,设它们分别交于点O.分别度量OH、OF的长度,你发现它们存在的数量关系是_________________.
猜想线段OG、OE之间的数量关系是_______________________.
证明你的猜想:
由此我们可以得到平行四边形的性质定理3_____________________________.
二、应用举例:
例题
已知:
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.
求证:
OE=OF.
分析:
要证OE=OF,根据图形分析,只要证明OE、OF所在的两个三角形__________≌___________.
证明:
若例1中的条件都不变,将EF转动到图b的位置,那么例1的结论是否成立?
若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图c和图d),例1的结论是否成立,说明你的理由.
三、随堂练习
1、在平行四边形中,周长等于48,
1已知一边长12,求各边的长
2已知AB=2BC,求各边的长
3已知对角线AC、BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各边的长
2、如图,
ABCD中,AE⊥BD,∠EAD=60°,
AE=2cm,AC+BD=14cm,则△OBC的周长
是_______cm.
3、
ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成
,
的两条线段,则
ABCD的周长是_____
.
四、课堂小结:
平行四边形的对角线具备的性质是_________________________.
五、当堂检测
1.判断对错
(1)在
ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.()
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.()
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等.()
(4)平行四边形是轴对称图形.()
2.在ABCD中,AC=6、BD=4,则AB的范围是________.
3.在平行四边形ABCD中,已知AB、BC、CD三条边的长度分别为(x+3),(x-4)和16,则这个四边形的周长是.
4.公园有一片绿地,它的形状是平行四边形,绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB=15cm,AD=12cm,AC⊥BC,求小路BC,CD,OC的长,并算出绿地的面积.
1.2平行四边形的判定(第1课时)
学习目标:
1、在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边来判定平行四边形的方法.
2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.
3、培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.
学习重点:
理解和掌握平行四边形的判定定理。
预习指导:
1、平行四边形定义是____________________________________.
2、平行四边形性质是
(1)_____________________________________________.
(2)_______________________________________________________________.
3、平行四边形的判定定理是
(1)_____________________________________.
(2)________________________________________________________________.
学习过程:
三、学习新知
小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?
请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件,思考并探讨:
(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?
(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?
(3)你能说出你的做法及其道理吗?
(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?
你能用文字语言表述出来吗?
(5)证明以上发现的平行四边形的判定发方法。
平行四边形的判定定理
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知:
求证:
证明:
平行四边形的判定定理
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知:
求证:
证明:
二、应用举例
例题:
已知:
如图,
ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,
求证:
BE=DF.
三、随堂练习
已知:
如图,
ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.
求证:
四边形BEDF是平行四边形.
四、课堂小结
平行四边形的判定定理
(1)是________________________________________.
平行四边形的判定定理
(2)是________________________________________.
五、当堂检测
1、已知如图,O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点,EF经过点O,且与AB交于E,与CD交于F。
求证:
四边形AECF是平行四边形。
2、已知:
如图,△ABC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF∥AC,求证:
BE=CF
1.2平行四边形的判定(第2课时)
学习目标:
1、在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用对角线
来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.
3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.
学习重点:
理解和掌握平行四边形的判定定理。
学习难点:
几何推理方法的应用。
学习过程:
四、学习新知
已知:
如图,平行四边形HGFE中,HF与GE交与点O,HO=OF,GO=OE,
求证:
四边形HGFE是平行四边形。
由此,我们可以得到平行四边形的判定方法:
平行四边形的判定定理(3)__________________________________________________________.
五、应用举例
例题:
已知:
如图
ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点,并且AE=CF.
求证:
四边形BFDE是平行四边形.
分析:
欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明.
证明:
三、随堂练习
1.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,
(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=____cm,CD=____cm时,四边形ABCD为平行四边形;
(2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=___cm,DO=___cm时,四边形ABCD为平行四边形.
2.已知:
如图,
ABCD中,点E、F分别在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:
EO=OF.
3.证明:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
四、课堂小结:
我们学习了平行四边形的定义,性质、判定。
平行四边形的性质和判定尤为重要,同学们要掌握好。
希望同学们在证明每一道题时,认真分析已知条件,有些题可能是一题多解,比较一下使用哪种判定方法最简便。
往往是已知条件最集中的地方,就是解决问题的突破口。
学生掌握平行四边形的五个判定方法,这些判定的方法是:
从边看:
①的四边形是平行四边形;
②的四边形是平行四边形;
③的四边形是平行四边形.
从对角线看:
的四边形是平行四边形.
从角看:
的四边形是平行四边形.
五、当堂检测
1、在四边形ABCD中,AC交BD于点O,若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD是平行四边形。
()
2、在四边形ABCD中,AC交BD于点O,若OC=且,则四边形ABCD是平行四边形。
3、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是().
A、对角线互相垂直B、对角线相等C对角线互相垂直且相等D对角线互相平分
4、已知如图,O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点,EF经过点O,且与AB交于E,与CD交于F。
求证:
四边形AECF是平行四边形。
5、已知:
如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是OA、OC的中点,求证:
BM∥DN,且BM=DN。
1.3特殊的平行四边形(第1课时)
学习目标:
1、理解矩形的意义,知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2、掌握矩形的性质定理,会用定理进行有关的计算与证明。
3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
学习重点:
掌握矩形的性质定理,会用定理进行有关的计算与证明。
学习难点:
掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用
学习过程:
一、学习新知
自学教材13页—15页内容完成以下题目:
1、叫做矩形。
矩形是________的平行四边形。
2、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质:
(1)矩形具有平行四边形具有的一切性质。
(2)矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:
特殊在“角”上的性质是_____________________________________________.
特殊在“对角线”上的性质是:
_______________________________________.
3、从矩形的性质可以说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.
二、应用举例:
例题:
在直角三角形ABC中,∠C=90°,CD是AB边上的中线,∠A=30°,
AC=5
,求△ADC的周长。
三、随堂练习
1、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线,该垂线分直角为1:
3两部分,则该垂线与另一条对角线的夹角为()
A、22.5°B、45°C、30°D、60°
2、已知:
如图2,矩形ABCD中,E是BC上
一点,
于F,若
。
求证:
CE=EF。
3、如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在F的位置,BF交AD于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积。
四、课堂小结
五、当堂检测
1、矩形的两条对角线的夹角为60°,较短的边长为4.5厘米,则对角线长为。
2、
如图5,在矩形ABCD中,
,求这个矩形的周长。
3、折叠矩形ABCD纸片,先折出折痕BD,再折叠使A落在对角线BD上A′位置上,折痕为DG。
AB=2,BC=1。
求AG的长。
1.3特殊的平行四边形(第2课时)
学习目标:
1、能应用矩形定义、判定定理,解决简单的证明题和计算题,进一步培养分析能力。
2、培养综合应用知识分析解决问题的能力。
学习重点:
能应用矩形定义、判定定理,解决简单的证明题和计算题,进一步培养分析能力。
学习难点:
培养综合应用知识分析解决问题的能力
学习过程:
二、学习新知
自学教材16页—17页内容完成以下题目:
1、运用定义证明一个平行四边形是矩形,只需证明__________________.
2、矩形相对于一般平行四边形来讲,特殊在“对角线”和“角”上。
通过自学,我们可以从“对角线”和“角”两方面得到矩形的判定定理:
矩形的判定定理
(1):
________________________________________________.
矩形的判定定理
(2):
________________________________________________.
二、应用举例
例题:
如图,M、N分别是平行四边形ABCD对
边AD、BC的中点,且AD=2AB,
求证:
四边形PMQN是矩形。
分析:
(1)从条件出发:
由M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点,且AD=2AB,我们很容易得到AM=________,从而得到∠AMB=∠_______.又因为AD∥BC,可得∠AMB=∠_______,所以可得∠_______=∠_______。
同理可得∠BAN=∠MAN.
(2)要证四边形PMQN是矩形,根据矩形的判定定理,可证四边形PMQN有三个角是直角。
根据分析完成证明:
三、随堂练习
已知
的对角线
,
相交于
,△
是等边三角形,
,求这个平行四边形的面积
四、课堂小结
五、当堂检测
1、在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案,其中正确的是().
A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三角形是否都为直角
2、能判断四边形是矩形的条件是()
A、两条对角线互相平分B、两条对角线相等
C、两条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直。
3、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC,证明:
四边形ABCD是矩形.
4、已知四边形ABCD中AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:
四边形EFGH是矩形。
1.3特殊的平行四边形(第3课时)
学习目标:
1、理解菱形的定义。
2、探究归纳菱形的性质。
3、掌握菱形的判定方法。
4、培养综合运用知识分析解决问题的能力。
学习重点:
理解菱形的定义。
探究归纳菱形的性质。
掌握菱形的判定方法。
学习难点:
培养综合运用知识分析解决问题的能力。
学习过程:
三、学习新知
自学教材17页—19页内容完成以下题目:
1、叫做菱形。
菱形是________的平行四边形。
2、从菱形的意义可以探究菱形具有的性质:
(1)菱形具有平行四边形具有的一切性质。
(2)菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质:
特殊在“边”上的性质是_____________________________________________.
特殊在“对角线”上的性质是:
_______________________________________.
3、我们可以从“对角线”和“角”两方面得到菱形的判定定理:
菱形的判定定理
(1):
________________________________________________.
菱形的判定定理
(2):
________________________________________________.
二、应用举例:
例题:
如图,已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高,∠ABC的平分线交AD于M交AC于E,∠DAC的平分线交CD于N.证明:
四边形AMNE是菱形.
分析:
(1)由已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高
很容易得到∠ABC=∠________,
又∠ABC的平分线交AD于M交AC于E,∠DAC的平分线交CD于N,可得∠_____=∠_____=∠_____=∠_____.
(2)要证四边形AMNE是菱形可证其四条边相等,或证对角线互相垂直平分。
根据分析完成证明:
三、随堂练习
1、菱形周长为40,一条对角线长为16,则另一条对角线长为,这个菱形的面积为。
2、已知菱形的一边长为,4厘米,则它的周长为
3、在四边形ABCD中,若已知AB∥CD,则再增加条件即可使四边形ABCD成为平行四边形。
若再补充条件__________,则四边形ABCD为菱形
4、矩形ABCD的对角线相交于O,DE∥AC,CE∥SD,求证四边形OCED是菱形。
四、课堂小结
五、当堂检测
1、棱形的周长为8.4cm,相邻两角之比为5:
1,那么菱形一组对边之间的距离为()
A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD、2.1cm
2、菱形ABCD中∠A=120°,周长为14.4,则较短对角线的长度为。
3、菱形的面积为50平方厘米,一个角为30°,则它的周长为。
4、在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交AC于F,交AB于E,
则,∠CDF=()
A、80°B、70°C、65°D、50°
5、小明和小亮在做一道习题,若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件,使得四边形ABCD是菱形。
小明补充的条件是AB=BC;小亮补充的条件是AC=BD,你认为下列说法正确的是()
A、小明、小亮都正确B、小明正确,小亮错误
C、小明错误,小亮正确D、小明、小亮都错误
6、下列命题中是真命题的是( )
A.对角线互相平分的四边形是菱形
B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7、在菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF,过点C做CG∥EA交FA于H,交AD于G,若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求∠AHC的度数。
8、AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证四边形AEDF是菱形。
1.3特殊的平行四边形(第4课时)
学习目标:
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
学习重点:
掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算
学习难点:
理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
学习过程:
四、学习新知
自学教材19页—20页内容完成以下题目:
1、叫做正方形。
正方形是________的矩形,也是_______的菱形。
2、从正方形的意义可以探究正方形具有的性质:
(1)正方形具有平行四边形具有的一切性质。
(2)正方形具有矩形具有的一切性质。
(3)正方形具有菱形具有的一切性质。
(4)正方形的对角线具有的性质是___________________________________.
3、正方形的判定方法是:
(1)_____________________________________的矩形是正方形。
(2)_____________________________________的菱形是正方形。
二、应用举例:
例题1:
已知:
如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE交CD于F,
求证:
AE=BE+DF.
例题2:
已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证:
四边形CFDE是正方形.
三、随堂练习
1.已知:
如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.
求证:
EA⊥AF.
2.已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:
OE=OF
四、课堂小结:
正方形的概念、性质和判定,正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
五、当堂检测
1、正方形的四条边______,四个角_____
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